? 7.2.1復數(shù)的乘、除運算
導學案
編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波
【學習目標】
1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法計算
2.理解復數(shù)乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律.
3.理解共軛復數(shù)的概念.
【自主學習】
知識點1 復數(shù)的乘法
1.復數(shù)的乘法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.復數(shù)乘法的運算律
對任意復數(shù)z1、z2、z3∈C，有
交換律
z1·z2＝z2·z1
結合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法對加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3


知識點2 共軛復數(shù)
如果兩個復數(shù)滿足實部相等，虛部互為相反數(shù)時，稱這兩個復數(shù)為共軛復數(shù)，z的共軛復數(shù)用表示.即z＝a＋bi，則＝a－bi.

知識點3 復數(shù)的除法
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
則＝＝＝＋i.


【合作探究】
探究一 復數(shù)乘法的運算
【例1】計算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
解　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.

歸納總結：

【練習1】計算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
(3)(1＋i)2.
解　(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i；
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；
(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.


探究二 復數(shù)除法的運算
【例2】計算：(1)＋；
(2)＋.
[分析]　復數(shù)的除法法則，通過分子、分母都乘以分母的共軛復數(shù)，使“分母實數(shù)化”，這個過程與“分母有理化”類似．
[解]　(1)因為＝
＝＝i－1，
＝＝＝－i.
所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.
(2)＋＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.

歸納總結：

【練習2】計算：(1)；(2).
解　(1)＝＝＝1－i；
(2)＝＝＝－1－3i.


探究三 共軛復數(shù)
【例3】已知復數(shù)z滿足z·＋2i·z＝4＋2i，求復數(shù)z.
[分析]　設z＝x＋yi(x，y∈R)→由題意得到方程組求x，y的值→得到復數(shù)z.
[解]　設z＝x＋yi(x，y∈R)，則＝x－yi，
由題意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.

歸納總結：

【練習3】若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求f(－z).
解　因為f(z)＝2z＋－3i，
所以f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i
＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i.
又f(＋i)＝6－3i，
所以2＋z－2i＝6－3i.
設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，
所以2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i，
即3a－bi＝6－i.
由復數(shù)相等的定義，得
解得
所以z＝2＋i，
故f(－z)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.


課后作業(yè)
A組 基礎題
一、選擇題
1.已知復數(shù)，則z的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
利用復數(shù)的代數(shù)形式的運算法則，先求出z，由此利用復數(shù)的定義能求出z的虛部．
【詳解】,故的虛部為
故選：B
【點睛】本題考查復數(shù)的虛部的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意復數(shù)的代數(shù)形式的合理運用．
2.復數(shù)的虛部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】：D
【分析】
先利用復數(shù)除法運算化簡，即可求虛部.
【詳解】，
所以虛部為：
故選: D
【點睛】本題主要考查了復數(shù)的除法運算，考查了求復數(shù)的虛部，屬于基礎題.
3.復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內對應的點所在象限為( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】：A
【分析】
先對復數(shù)進行化簡，然后得到其共軛復數(shù)，再找到其再復平面對應的點，得到答案.
【詳解】，
所以
在復平面對應的點為，在第一象限.
故選：A.
【點睛】本題考查復數(shù)的運算，共軛復數(shù)，復數(shù)在復平面對應的點，屬于簡單題.
4.若復數(shù)，在復平面內對應的點關于軸對稱，且，則復數(shù)的共軛復數(shù)為（ ）
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】：D
【分析】
根據(jù)復數(shù)的幾何意義得到，再根據(jù)復數(shù)的乘除法運算法則可得結果.
【詳解】解:依題意可得，
所以，
故選：D
【點睛】本題考查了復數(shù)的幾何意義和復數(shù)的乘除法運算，屬于基礎題.
5.已知復數(shù)是關于的方程的一個根，則實數(shù)的值分別為（ ）
A. 6,8 B. 12,0 C. 12,26 D. 24,26
【答案】：C
【分析】
由條件可知，化簡求值.
【詳解】由條件可知是方程的一個實數(shù)根，則
化簡為：，
即 ，解得：.
故選：C
【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)計算，重點考查計算化簡能力，屬于基礎題型.
6.復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則z在復平面內對應的點位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】：A
【分析】
化簡復數(shù)，再求復數(shù)對應復平面的點所在的象限.
【詳解】，則在復平面內對應的點是，位于第一象限.
故選：A
【點睛】本題考查復數(shù)的除法計算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題型.
7.設復數(shù)，則（ ）.
A. B. C. 2 D. 1
【答案】：A
【分析】
根據(jù)復數(shù)的運算法則計算出，結合復數(shù)模長公式即可得結果.
【詳解】由，得.
故選：A.
【點睛】本題主要考查了復數(shù)的四則運算，復數(shù)模長的概念，屬于基礎題.
8.（多選題）已知復數(shù)，則（ ）
A. B. z的虛部是
C. 若，則， D.
【答案】：CD
【分析】
取特殊值可判斷A選項的正誤；由復數(shù)的概念可判斷B、C選項的正誤；由復數(shù)模的概念可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A選項，取，則，A選項錯誤；
對于B選項，復數(shù)的虛部為，B選項錯誤；
對于C選項，若，則，，C選項正確；
對于D選項，，D選項正確.
故選：CD.
【點睛】本題考查復數(shù)相關命題真假的判斷，涉及復數(shù)的計算、復數(shù)的概念以及復數(shù)的模，屬于基礎題.
9.（多選題）若復數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是（ ）
A. z的虛部為 B.
C. 為純虛數(shù) D. z的共軛復數(shù)為
【答案】：ABC
【分析】
首先利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡后得：，然后分別按照四個選項的要求逐一求解判斷即可.
【詳解】因為，
對于A：的虛部為，正確；
對于B：模長，正確；
對于C：因為，故為純虛數(shù)，正確；
對于D：的共軛復數(shù)為，錯誤.
故選：ABC.
【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的有關概念，考查邏輯思維能力和運算能力，側重考查對基礎知識的理解和掌握，屬于?？碱}.
10.（多選題）已知復數(shù)(a,,i為虛數(shù)單位),且,下列命題正確的是( )
A. z不可能為純虛數(shù)
B. 若z的共軛復數(shù)為,且,則z是實數(shù)
C. 若,則z是實數(shù)
D. 可以等于
【答案】：BC
【分析】
根據(jù)純虛數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)為實數(shù)等知識，選出正確選項.
【詳解】當時,,此時為純虛數(shù),A錯誤;若z的共軛復數(shù)為,且,則,因此,B正確;由是實數(shù),且知,z是實數(shù),C正確;由得,又,因此,,無解,即不可以等于,D錯誤.
故選：BC
【點睛】本小題主要考查復數(shù)的有關知識，屬于基礎題.
11.（多選題）已知復數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則下列關于復數(shù)z的結論正確的是（　?。?br /> A.
B. 復數(shù)z的共軛復數(shù)為＝﹣1﹣i
C. 復平面內表示復數(shù)z的點位于第二象限
D. 復數(shù)z是方程x2+2x+2＝0的一個根
【答案】：ABCD
【分析】
利用復數(shù)的除法運算求出，再根據(jù)復數(shù)的模長公式求出，可知正確；根據(jù)共軛復數(shù)的概念求出，可知正確；根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知正確；將代入方程成立，可知正確.
【詳解】因為（1﹣i）z＝2i，所以，所以，故正確；
所以，故正確；
由知，復數(shù)對應的點為，它在第二象限，故正確；
因，所以正確.
故選：ABCD.
【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算，考查了復數(shù)的模長公式，考查了復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.
二、填空題
12.若復數(shù)，則_________.
【答案】：

【分析】
利用復數(shù)的除法法則將復數(shù)表示為一般形式，然后利用復數(shù)的模長公式可計算出的值.
【詳解】，因此，.
故答案為：.
【點睛】本題考查復數(shù)模的計算，同時也考查了復數(shù)的除法運算，考查計算能力，屬于基礎題.
13.已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則_____________．
【答案】：
【分析】
由條件設，再化簡，列式求解.
【詳解】是純虛數(shù)，則設
，
，解得：.
故答案為：
【點睛】本題考查根據(jù)復數(shù)的特征求參數(shù)的取值范圍，重點考查計算能力，屬于基礎題型.
14.已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)是__________．
【答案】：

【分析】
利用復數(shù)的模長公式求出，并求出，利用共軛復數(shù)的定義可得出結果.
【詳解】，，則，
因此，的共軛復數(shù)是.
故答案為：.
【點睛】本題考查復數(shù)模長和共軛復數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎題.
15.若復數(shù)滿足，則在復平面內與復數(shù)z對應的點Z位于第______象限.
【答案】：四
【分析】
求出復數(shù)，進而可得答案.
【詳解】因，
所以在復平面內與復數(shù)對應的點為，
復數(shù)對應的點位于第四象限.
故答案為：四.
【點睛】本題考查復數(shù)的運算及幾何意義，是基礎題.
三、解答題
16.已知復數(shù)，若，且z在復平面內對應的點位于第四象限．
（1）求復數(shù)z；
（2）若，求實數(shù)a、b的值．
【答案】：（1）z＝1﹣i； （2）a＝﹣3，b＝4．

【分析】
（1）由已知求得，結合在復平面內對應的點位于第四象限可得，則復數(shù)可求；
（2）把代入，整理后由兩個復數(shù)相等對應實部虛部分別相等即可求解．
【詳解】解：（1），，
，得．
又在復平面內對應的點位于第四象限，
，
即；
（2）由（1）得，
，
，
，

解得，．
【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，考查復數(shù)模的求法，屬于基礎題．
17.已知復數(shù).
（1）當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z為純虛數(shù)；
（2）當時，計算.
【答案】：（1）；（2）.

【分析】
（1）由復數(shù)為純虛數(shù)得出其實部為零，虛部不為零，進而可解得實數(shù)的值；
（2）當時，由復數(shù)的四則運算法則可計算得出的值.
【詳解】（1）復數(shù)為純虛數(shù)，則，解得；
（2）當時，，
.
【點睛】本題考查利用復數(shù)類型求參數(shù)，同時也考查了復數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎題.
18.已知復數(shù)z滿足，且復數(shù)為實數(shù)
（1）求復數(shù)z
（2）求的值
【答案】：（1）或；（2）
【分析】
（1）設，得方程組求解即可得復數(shù)
（2）利用復數(shù)乘除運算求解模長
【詳解】（1）設，則因為復數(shù)為實數(shù)，則，又，
解得 或
故或
（2）


B組 能力提升
一、選擇題
1.在復平面內，復數(shù)對應向量（O為坐標原點），設，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉的角為，則，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，,則 ，由棣莫弗定理導出了復數(shù)乘方公式:,則 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】：A
【分析】
先將復數(shù)化為的形式，然后再根據(jù)由棣莫弗定理得到的復數(shù)的乘方公式計算即可．
【詳解】由題意得復數(shù)可化為，
所以．
故選A．
【點睛】本題以復數(shù)的運算為載體考查新信息問題，解題的關鍵是通過理解題意得到復數(shù)三角形式的乘方公式，考查計算和閱讀理解的能力，屬于基礎題．
2.已知復數(shù)，則（ ）
A. －1 B. 1 C. D. 11
【答案】：B
【分析】
由等比數(shù)列的求和公式及的性質求解即可.
【詳解】,
,
故選：B
【點睛】本題主要考查了虛數(shù)單位的性質，等比數(shù)列的求和公式，復數(shù)的除法運算，屬于容易題.
3.（多選題）已知復數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列結論正確的是（ ）
A. B. 復數(shù)z的共軛復數(shù)
C. 復數(shù)z的虛部等于－1 D.
【答案】：ACD
【分析】
首先化簡復數(shù)，再分別分析四個選項，利用復數(shù)的相關定義判斷.
【詳解】
所以，故A正確；復數(shù)的共軛復數(shù)，故B不正確；
復數(shù)的虛部等于-1，故C正確；，.故D正確.
故選：ACD
【點睛】本題考查復數(shù)的的化簡，定義，運算律，屬于基礎題型.
4.（多選題）在復平面內，下列說法正確的是（ ）
A. 若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則
B. 若復數(shù)z滿足，則
C. 若復數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是
D. 若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z對應點的集合是以原點O為圓心，以1為半徑的圓
【答案】：AD
【分析】
根據(jù)復數(shù)的運算及相關概念一一判斷可得；
【詳解】解：對于A：，，，所以，故A正確；
對于B：設，，所以，若，則，則或或，當時，故B錯誤；
復數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是且，故C錯誤；
若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z對應點的集合是以原點O為圓心，以1為半徑的圓，故D正確；
故選：AD
【點睛】本題考查復數(shù)的運算及相關概念的理解，屬于基礎題.


二、填空題
5.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則________.
【答案】：1
【分析】
利用復數(shù)的四則運算求出，再求其模．
【詳解】因為，所以，則.
故答案為：1.
【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算，考查復數(shù)模的運算，屬于基礎題．



三、解答題
6.已知復數(shù)z滿足|z|，z的實部大于0，z2的虛部為2.
（1）求復數(shù)z；
（2）設復數(shù)z，z2，z﹣z2之在復平面上對應的點分別為A，B，C，求（）的值.
【答案】：（1）1+i；（2）﹣2.
【分析】
（1）先設出復數(shù)的表達式,結合已知條件中,實部大于,和的虛部為,列出方程求解出復數(shù)的表達式.
（2）由（1）求出復數(shù)的表達式,即可得到,,在復平面上對應的點坐標,進而求出結果.
【詳解】（1）設復數(shù)z=x+yi,x、y∈R;
由|z|,得x2+y2=2;
又z的實部大于即x>0,
z2=x2﹣y2+2xyi的虛部為2xy=2,
所以xy=1;
解得x=1,y=1;
所以復數(shù)z=1+i;
（2）復數(shù),則,;
則A（1,1）,B（0,2）,C（1,﹣1）;
所以.
【點睛】本題考查了求復數(shù)的表達式及復數(shù)的幾何意義,解題時的方法是設出復數(shù)的表達式,按照題意得到方程組進行求解,本題較為基礎.
7.已知復數(shù)w滿足為虛數(shù)單位，．
(1)求z；
(2)若(1)中的z是關于x的方程的一個根，求實數(shù)p，q的值及方程的另一個根．
【答案】：（1）．（2），，．
【分析】
利用復數(shù)的運算計算出w，代入z即可得出．
把代入關于x的方程，利用復數(shù)相等解出p，q，即可得出．
【詳解】 ，，
．
是關于x的方程的一個根，
，，
，q為實數(shù)，，
解得，．
解方程，得
實數(shù)，，方程的另一個根為．
【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
8.已知復數(shù)，，其中為實數(shù)，為虛數(shù)單位.
（1）若復數(shù)在復平面內對應的點在第三象限，求的取值范圍；
（2）若是實數(shù)（是的共扼復數(shù)），求的值.
【答案】：（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)復數(shù)對應點所在的象限得出關于實數(shù)的不等式組，解出即可；
（2）根據(jù)是實數(shù)，得出該復數(shù)的虛部為零，可求出實數(shù)的值，再利用復數(shù)的模長公式可計算出的值.
【詳解】（1）復數(shù)在復平面內對應的點在第三象限，則，解得，即.故實數(shù)的取值范圍是；
（2），，
.
是實數(shù)，，解得，
，.
【點睛】本題考查利用復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的概念求參數(shù)，同時也考查了復數(shù)模長的計算，考查計算能力，屬于中等題.

9.已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，和b是關于x的方程的兩個根.
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若復數(shù)z滿足，說明在復平面內z對應的點Z的集合是什么圖形？并求該圖形的面積
【答案】：（1），（2）點的集合是以原點為圓心，以1和為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，包括邊界；面積為

【分析】
（1）根據(jù)復數(shù)的分類求解，然后由韋達定理可求得；
（2）根據(jù)模的幾何意義說明結論．
【詳解】解：（1）因為為純虛數(shù)，
所以，即，
解得，
此時，由韋達定理得，
.
（2）復數(shù)滿足，即，
不等式的解集是圓的外部（包括邊界）所有點組成的集合，
不等式的解集是圓的內部（包括邊界）所有點組成的集合，
所以所求點的集合是以原點為圓心，以和為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，包括邊界.
.
【點睛】本題考查復數(shù)的分類、韋達定理，考查復數(shù)模的幾何意義，屬于基礎題．




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高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

7.2 復數(shù)的四則運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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