? 10.1.1有限樣本空間與隨機事件
導(dǎo)學(xué)案
編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波
【學(xué)習目標】
1.了解樣本空間、隨機事件的含義
2.了解必然事件、不可能事件的含義
【自主學(xué)習】
知識點1 1．事件的分類
(1)我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點．
(2)全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，如果一個隨機試驗有n個可能的結(jié)果w1，w2，…，wn，則稱樣本空間Ω＝{w1，w2，…，wn}為有限樣本空間．
(3)樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件；只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．
(4)Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．
(5)空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為不可能事件．

知識點2 對事件分類的兩個關(guān)鍵點
(1)條件：在條件S下事件發(fā)生與否是與條件相對而言的，沒有條件，無法判斷事件是否發(fā)生．
(2)結(jié)果發(fā)生與否：有時結(jié)果較復(fù)雜，要準確理解結(jié)果包含的各種情況．


【合作探究】
探究一 樣本點的確定
【例1】在一個不透明的口袋中裝有大小相同標號不同的5張卡片，其中3張紅色，2張白色．
(1)從中一次摸出兩張卡片，此試驗共有多少個樣本點？
(2)從中先后各取一張卡片(每次取后立即放回)，此試驗共有多少個樣本點？
[分析]　(1)一次摸出兩張卡片，這兩張卡片是沒有順序的，是無序問題；(2)先后各取一張卡片，則這兩張卡片是有順序的，前后是有區(qū)別的．
【答案】　不妨記3張紅色卡片為1,2,3號，2張白色卡片為4,5號．
(1)“從中一次摸出兩張卡片”，無順序，故這個試驗中等可能出現(xiàn)的結(jié)果有10種，分別為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)(其中(1,2)表示摸到1號、2號卡片)，故共有10個樣本點．
(2)“從中先后各取一張卡片(每次取后立即放回)”，有順序，故這個試驗中的樣本點有25個．

歸納總結(jié)：試驗結(jié)果的有序與無序是確定樣本點時要考慮的重要因素，所以要認真閱讀題干中的關(guān)鍵詞，判斷是否要考慮順序問題.


【練習1】從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，連續(xù)取兩次．
(1)當不放回抽取時，寫出樣本空間Ω1；
(2)當放回抽取時，寫出樣本空間Ω2.
【答案】：(1)Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，b1)}．
(2)Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}．
探究二 樣本空間的分析
【例2】將一枚骰子先后拋擲兩次，則：
(1)一共有幾個樣本點？
(2)“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”包含幾個樣本點？
[分析]　根據(jù)事件的特點列舉即可．
【答案】方法1：(列舉法)：
(1)用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示骰子第1次出現(xiàn)的點數(shù)，y表示骰子第2次出現(xiàn)的點數(shù)，則試驗的樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36個樣本點．
(2)“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”包含以下10個樣本點：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
方法2：(列表法)：
如圖所示，坐標平面內(nèi)的數(shù)表示相應(yīng)兩次拋擲后出現(xiàn)的點數(shù)的和，樣本點與所描點一一對應(yīng)．

(1)由圖知，樣本點總數(shù)為36.
(2)“點數(shù)之和大于8”包含10個樣本點(已用虛線圈出)．
方法3：(樹狀圖法)：
一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹狀圖表示．如圖所示：

(1)由圖知，共36個樣本點．
(2)“點數(shù)之和大于8”包含10個樣本點(已用“√”標出)．

歸納總結(jié)：(1)列舉法：把試驗的全部結(jié)果一一列舉出來.此方法適合于較為簡單的試驗問題.
(2)列表法：將樣本點用表格的方式表示出來，通過表格可以弄清樣本點的總數(shù)，以及要求的事件所包含的樣本點個數(shù).列表法適用于較簡單的試驗問題，樣本點個數(shù)較多的試驗不適合用列表法.
(3)樹狀圖法：樹狀圖法是使用樹狀的圖形把樣本點列舉出來的一種方法，樹狀圖法便于分析樣本點間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對于較復(fù)雜的問題，可以作為一種分析問題的主要手段，樹狀圖法適用于較復(fù)雜的試驗問題.
【練習2】　一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5個球，其中3個白球，2個黑球，從中一次摸出2個球．
(1)共有多少個樣本點？
(2)2個都是白球包含幾個樣本點？
【答案】(1)采用列舉法．
分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，則有以下樣本點：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(其中(1,2)表示摸到1號、2號)．
(2)“2個都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三個樣本點．


課后作業(yè)
A組 基礎(chǔ)題
一、選擇題
1．某校高一年級要組建數(shù)學(xué)、計算機、航空模型三個興趣小組，某學(xué)生只選報其中的2個，則樣本點共有(　 　)
A．1個　　　B．2個　　　C．3個　　　D．4個
【答案】C
解析：該生選報的所有可能情況是：數(shù)學(xué)和計算機、數(shù)學(xué)和航空模型、計算機和航空模型，所以樣本點有3個．
2．在8件同類產(chǎn)品中，有5件正品，3件次品，從中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是(　 　)
A．4件都是正品
B．至少有一件次品
C．4件都是次品
D．至少有一件正品
【答案】D
解析：抽取4件中至多3件次品，即至少有一件正品．選D.
3．先后拋擲均勻的1分、2分硬幣各一枚，觀察落地后硬幣的正、反面情況，則下列事件包含3個樣本點的是(　 　)
A．“至少一枚硬幣正面向上”
B．“只有一枚硬幣正面向上”
C．“兩枚硬幣都是正面向上”
D．“兩枚硬幣一枚正面向上，另一枚反面向上”
【答案】A
解析：“至少一枚硬幣正面向上”包括“1分正面向上，2分正面向下”“1分正面向下，2分正面向上”“1分、2分都正面向上”三個樣本點．故選A.
4．下列現(xiàn)象中，不可能事件是(　　)
A．三角形的內(nèi)角和為180°
B．a(chǎn)⊥α，b⊥α，a∥b
C．銳角三角形中兩內(nèi)角和小于90°
D．三角形中任意兩邊之和大于第三邊
【答案】C　[銳角三角形中兩內(nèi)角和大于90°.]
5．下列事件中的隨機事件為(　　)
A．若a，b，c都是實數(shù)，則a(bc)＝(ab)c
B．沒有水和空氣，人也可以生存下去
C．拋擲一枚硬幣，反面向上
D．在標準大氣壓下，溫度達到60 ℃時水沸騰
【答案】C　[A中的等式是實數(shù)乘法的結(jié)合律，對任意實數(shù)a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在沒有空氣和水的條件下，人是絕對不能生存下去的，故B是不可能事件．拋擲一枚硬幣時，在沒得到結(jié)果之前，并不知道會是正面向上還是反面向上，故C是隨機事件．在標準大氣壓的條件下，只有溫度達到100 ℃，水才會沸騰，當溫度是60 ℃時，水是絕對不會沸騰的，故D是不可能事件．]
6．某校高一年級要組建數(shù)學(xué)、計算機、航空模型三個興趣小組，某學(xué)生只選報其中的2個，則試驗的樣本點共有(　　)
A．1個 B．2個　　　
C．3個　　　 D．4個
【答案】C　[該生選報的所有可能情況是：{數(shù)學(xué)和計算機}，{數(shù)學(xué)和航空模型}，{計算機和航空模型}，所以試驗的樣本點共有3個．]
7．下列事件中，隨機事件的個數(shù)為(　　)
①三角形內(nèi)角和為180°；②三角形中大邊對大角，大角對大邊；③三角形中兩個內(nèi)角和小于90°；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
【答案】A　[若兩內(nèi)角的和小于90°，則第三個內(nèi)角必大于90°，故不是銳角三角形，∴③是隨機事件，而①②④均為必然事件．]
8．從1,2,3,4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，那么“這2個數(shù)的和大于4”包含的樣本點數(shù)為(　　)
A．2個 B．3個
C．4個 D．5個
【答案】C　[從1,2,3,4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，則試驗的樣本空間為Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4) }. 其中“這2個數(shù)的和大于4”包含的樣本點有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4個．]
二、填空題
9．投擲兩枚骰子，點數(shù)之和為8所包含的樣本點有______個．
【答案】5　[樣本點為(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5個．]
10．下列試驗中是隨機事件的有________．
①某收費站在一天內(nèi)通過的車輛數(shù)；②一個平行四邊形的對邊平行且相等；③某運動員在下屆奧運會上獲得冠軍；④某同學(xué)在回家的路上撿到100元錢；⑤沒有水和陽光的條件下，小麥的種子發(fā)芽．
【答案】①③④　[①③④都是隨機事件，②是必然事件，⑤是不可能事件．]
11．從1,2,3，…，10中任意選一個數(shù)，這個試驗的樣本空間為________，滿足“它是偶數(shù)”樣本點的個數(shù)為________．
【答案】Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　5　[樣本空間為Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中滿足“它是偶數(shù)”樣本點有：2,4,6,8,10，共有5個．]
三、解答題
12．設(shè)集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一個樣本點．
(1)寫出試驗的樣本空間．
(2)用集合表示事件M＝“a＋b＝5”包含的樣本點．
【答案】(1)這個試驗的樣本空間為Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．
13．已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標．
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；
(3)寫出“第一象限內(nèi)的點”所包含的樣本點．
【答案】　(1)Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4,3)，(5,3)，(6,3)}．
(2)試驗樣本點的總數(shù)是12.
(3)“第一象限內(nèi)的點”所包含的樣本點為：(3,5)，(3,6)，(5,3)，(6,3)．
14．現(xiàn)在甲、乙、丙三人玩剪刀、石頭、布的出拳游戲，觀察其出拳情況．
(1)寫出該試驗的樣本空間；
(2)“三人出拳相同”包含的樣本點有哪些？
【答案】(1)以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石頭、丙出布．
Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)“三人出拳相同”包含的樣本點有：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．


B組 能力提升
一、選擇題
1．拋擲兩枚骰子，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為X，則“X>4”表示試驗的結(jié)果為(　 　)
A．第一枚為5點，第二枚為1點
B．第一枚為5或6點，第二枚為1點
C．第一枚為6點，第二枚為1點
D．第一枚為1點，第二枚為6點
【答案】C
解析：拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為X，所以“X>4”即“X＝5”表示的試驗結(jié)果為“第一枚為6點，第二枚為1點”．
2．“連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記錄朝上的點數(shù)”，該試驗的樣本點共有(　　)
A．6種　　　　 B．12種
C．24種 D．36種
【答案】D　[試驗的全部樣本點為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種．]
3．在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不是隨機事件的是(　　)
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
【答案】C　[25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，則“3件都是次品”不是隨機事件．]
4.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},從集合A中任取不相同的兩個數(shù)作為點P的坐標,則事件“點P落在x軸上”包含的基本事件共有(　　)
A.7個 B.8個
C.9個 D.10個
【答案】C
解析“點P落在x軸上”包含的基本事件的特征是縱坐標為0,A中有9個非零數(shù),故選C.
5.(多選題)在10名學(xué)生中,男生有x名,現(xiàn)從10名學(xué)生中任選6人去參加某項活動:①至少有1名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①為必然事件,②為不可能事件,③為隨機事件,則x可能的值為(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
【答案】AB
解析依題意知,10名同學(xué)中,男生人數(shù)少于5人,但不少于3人,故x=3或4.
二、填空題
6．下列試驗中，隨機事件有________，必然事件有________．(填序號)
①長度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形；②打開電視機，正好在播新聞；③從裝有3個黃球、5個紅球的袋子中任摸4個，全部都是黃球；④下周六是晴天．
【答案】②④　①　[①是必然事件，③是不可能事件，②④是隨機事件．]
7.投擲兩枚骰子,點數(shù)之和為8的樣本點有　　　　　個,點數(shù)之和不大于4的樣本點有　　　　　個.?
【答案】5　6
解析點數(shù)之和為8的樣本點有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5個.點數(shù)之和不大于4的樣本點有(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),共6個.
8.一袋中裝有10個紅球、8個白球、7個黑球,現(xiàn)在把球隨機地一個一個摸出來,為了保證在第k次或第k次之前能首次摸出紅球,則k的最小值為　　　　.?
【答案】16
解析至少需摸完黑球和白球共15個.
三、解答題
9．設(shè)有一列北上的火車，已知停靠的站由南至北分別為S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站買票，乙在S6站買票．設(shè)試驗的樣本空間Ω表示火車所有可能?？康恼荆預(yù)表示甲可能到達的站的集合，B表示乙可能到達的站的集合．
(1)寫出該試驗的樣本空間Ω；
(2)寫出A，B包含的樣本點；
(3)鐵路局需為該列車準備多少種北上的車票？
【答案】(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)鐵路局需要準備從S1站發(fā)車的車票共計9種，
從S2站發(fā)車的車票共計8種，……，從S9站發(fā)車的車票1種，合計共9＋8＋…＋2＋1＝45(種)．
10.現(xiàn)在甲、乙、丙三人玩剪刀、石頭、布的出拳游戲,觀察其出拳情況.
(1)寫出該試驗的樣本空間;
(2)事件“三人出拳相同”包含的樣本點有哪些?
解用J,S,B分別表示剪刀、石頭、布.
(1)Ω={(J,J,J),(J,J,S),(J,S,J),(S,J,J),(J,J,B),(J,B,J),(B,J,J),(J,S,S),(S,J,S),(S,S,J),(J,B,B),(B,J,B),(B,B,J),(S,S,S),(S,S,B),(S,B,S),(B,S,S),(B,B,S),(B,S,B),(S,B,B),(B,B,B),(J,S,B),(J,B,S),(S,J,B),(S,B,J),(B,J,S),(B,S,J)}.
(2)事件“三人出拳相同”包含下列三個樣本點:(J,J,J),(S,S,S),(B,B,B).
　已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-bx+1,設(shè)集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4}.試驗:分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)a和b得到數(shù)對(a,b).
(1)寫出這個試驗的樣本空間;
(2)寫出事件“函數(shù)y=f(x)有零點”包含的樣本點的個數(shù);
(3)寫出事件“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)”所包含的樣本點.
【答案】(1)這個試驗的樣本空間為Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
(2)函數(shù)y=f(x)有零點等價于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6個樣本點.
(3)由題意知a>0,函數(shù)y=f(x)圖像的對稱軸為直線x=,在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),所以有≤1,滿足條件的樣本點為(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4).


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10.1 隨機事件與概率

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