?18.2.1 矩形（知識講解）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理.
3.運用矩形性質(zhì)定理與判定定理計算或證明有關(guān)的角和線段.
【要點梳理】
要點一、矩形的定義
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
特別說明：矩形定義的兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角.即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件.
要點二、矩形的性質(zhì)
矩形的性質(zhì)包括四個方面：
1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
2.矩形的對角線相等；
3.矩形的四個角都是直角；
4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.
特別說明：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.
（2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直線）.對稱軸的交點就是對角線的交點（即對稱中心）.
（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.
要點三、矩形的判定
矩形的判定有三種方法：
1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2.對角線相等的平行四邊形是矩形.
3.有三個角是直角的四邊形是矩形.
特別說明：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.
要點四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
特別說明：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對一般三角形不可使用.
（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半.
（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.
【典型例題】
類型一、矩形的理解
1．求作：矩形ABCD，使它的對角線，且對角線夾角為60°．

【分析】作線段AC的垂直平分線交AC于點O，作等邊△AOB，延長BO，截取OD=OB，連接BC，CD，AD即可．
解：如圖，四邊形ABCD即為所求作．

【點撥】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
舉一反三：
【變式】如圖，在平行四邊形中，是直線上的兩點，；
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若四邊形是矩形，且，，，求的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）連接交于點，利用平行四邊形的性質(zhì)證明，，再證明，從而可得結(jié)論；
（2）利用勾股定理先求解，可得，再求解，結(jié)合矩形的性質(zhì)可得，從而可得答案.
證明：（1）連接交于點，

四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2），，，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
．
【點撥】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.
類型二、利用矩形的性質(zhì)求角
2．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形．
（2）DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝2∶1，則∠BDF的度數(shù)是多少？

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，然后根據(jù)矩形的判定定理，即可得到結(jié)論；
（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度數(shù)．
解：（1），
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴，
∴四邊形ABCD是矩形．
（2）∵，，
∴，
∵DF⊥AC，
∴，
∵OC＝OD，
∴，
∴．
【點撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，能靈活運用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.注意：矩形的對角線相等，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
舉一反三：
【變式】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊BC的中點，連接AE并延長，交DC的延長線于點F，連接AC，BF．
（1）求證：△ABE≌△FCE；
（2）當(dāng)四邊形ABFC是矩形時，若∠AEC＝120°，求∠D的度數(shù)．

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB∥DC，推出∠ABE=∠FCB，再由ASA即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//DC即AB//DF，
∴∠ABE=∠FCB，
∵點E是BC的中點，
∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中，

∴△ABE≌△FCE.
（2）∵四邊形ABFC是矩形，
∴AF=BC，AE=AF，BE=BC，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，
∵∠AEC=120°，
∴∠ABE=∠BAE=60°，
∵平行四邊形ABCD，
∴∠D=∠ABE=60°．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明△ABE≌△FCE是解題的關(guān)鍵．
類型三、利用矩形的性質(zhì)求線段
3．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，過點B作于點F，點E在BF的延長線上，且．
（1）求證：．
（2）若，F(xiàn)是AO的中點，求BC的長．

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，即可得到，從而可以推出，由此即可證明；
（2）由F是AO的中點，，得到，則，然后利用勾股定理求解即可．
解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）∵F是AO的中點，，
∴，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，
∴．
【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握矩形的性質(zhì)．
舉一反三：
【變式】如圖，四邊形ABCD是矩形．
（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線交AD于點E，連接CE；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若BE＝CE＝2，求AD的長．

【答案】（1）圖見解析；（2）．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖的方法即可得；
（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后證明是等腰直角三角形，最后根據(jù)勾股定理可得的長，從而得到．
解：（1）如圖，即為所作．

（2）∵四邊形為矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
．
【點撥】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖和矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
類型四、利用矩形的性質(zhì)求面積
4．如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，∠ABC＝∠ADC，對角線AC、BD交于點O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若AB＝1，求OEC的面積．

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）證出∠BAD＝∠BCD，得出四邊形ABCD是平行四邊形，得出OA＝OC，OB＝OD，證出AC＝BD，即可解決問題；
（2）作OF⊥BC于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BF=FC，由三角形中位線定理求出OF的長，由角的平分線的定義與∠ADC=90°求出EC的長，最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四邊形ABCD是矩形；

（2）過點O作OF⊥BC于F，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=1，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF是△BDC的中位線，
∴，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=45°，
∴在Rt△EDC中，EC=CD=1
∴△OEC的面積．

【點撥】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，角平分線的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，通過巧作輔助線構(gòu)造三角形中位線是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，將矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在E處，BE與AD相交于點F．若DE=4，BD=8．
（1）求證：BF=DF； （2）求△BDF的面積．

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）因為四邊形ABCD是矩形，折疊前后∠E=∠C=90°，ED=CD=AB，根據(jù)AAS可證明△ABF≌△EDF，可得BF=DF；
（2）利用勾股定理求出AD，設(shè)BF=DF=x，在△ABF中，利用勾股定理求出DF，再利用三角形面積公式計算．
解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，
由折疊可得，∠E=∠C=90°，ED=CD，
在△ABF和△EDF中，
，
∴△ABF≌△EDF（AAS），
∴BF=DF；
（2）∵CD=AB=DE=4，BD=8，
∴AD=BC==，
設(shè)BF=DF=x，則AF=AD-DF=-x，
在△ABF中，，
即，
解得：x=，
∴DF=，
∴△BDF的面積==．
【點撥】本題綜合考查圖形的折疊問題，勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積求法，折疊問題注意圖形折疊前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，此題難度不大．
類型五、利用矩形的性質(zhì)證明
5．如圖，矩形ABCD中，E、F是BC上的點，∠DAE=∠ADF．求證：BF=CE．

【分析】先證明，然后證明△ABE≌△DCF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．
解：∵四邊形是矩形，
∴，，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠AEB，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴BE-FE=CF-EF，即BF=CE．

【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，矩形中，是的中點，延長，交于點，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）當(dāng)平分時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析
【分析】（1）由題意可得，，進(jìn)而可說明四邊形是平行四邊形；
（2）平分，，，進(jìn)而可得到與的數(shù)量關(guān)系．
解：（1）證明：∵四邊形是矩形
∴，
∴
∵是的中點
∴
在和中

∴
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形．
（2）解：
證明：∵平分
∴
∴
∵
∴．
【點撥】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵與難點是靈活綜合運用幾何圖形的性質(zhì)．
類型六、坐標(biāo)系中的矩形
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形的兩邊分別在x軸和y軸的正半軸上，，現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C同時出發(fā)，P在線段上沿方向以每秒1.5個單位長度的速度勻速運動，運動到點A停止，Q在線段上沿方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，運動到點O停止，設(shè)運動時間為t秒．

（1）B點的坐標(biāo)為___________，_________，___________（用含t的代數(shù)式表示線段與線段的長度）
（2）當(dāng)t為怎樣的值時，的面積不小于的面積？
（3）的面積可以等于36嗎？如果可以請你求出對應(yīng)的t值，如果不可以請說明理由．
【答案】（1）B點的坐標(biāo)為，；（2）當(dāng)時，的面積不小于的面積；（3）的面積不可以等于36，理由見解析
【分析】根據(jù)矩形的長和寬表示點B的坐標(biāo)，根據(jù)速度和時間表示：，，可得結(jié)論；
根據(jù)的面積不小于的面積，列不等式，代入面積公式可得t的值，并根據(jù)已知確定t的取值范圍；
先根據(jù)的面積為36，列方程解出t=8， 根據(jù)內(nèi)即可得出結(jié)論．
解：（1）長方形的兩邊分別在x軸和y軸的正半軸上，
∴AB=OC=6，OA=9，
∴B點的坐標(biāo)為，
∵P在線段上沿方向以每秒1.5個單位長度的速度勻速運動， Q在線段上沿方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，
∴OP=1.5t，CQ=t，
∴，
故答案為（9，6）；；；
（2）∵， ，
若，
即，
解得，
∵點P在線段上沿方向以每秒1.5個單位長度的速度勻速運動，運動到點A停止，
∴，
∴，
∴當(dāng)時，的面積不小于的面積；
（3）的面積不可以等于36，理由如下：
∵，
若，
則，
∵，
∴的面積不可以等于36．
【點撥】本題是四邊形的綜合題，考查了三角形的面積求解，矩形的性質(zhì)，點的坐標(biāo)特點，圖形動點運動問題，難度適中，準(zhǔn)確利用動點表示出線段的長度是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，已知為坐標(biāo)原點，四邊形為長方形，，點是的中點，點在線段上運動．
（1）寫出點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)是腰長為5的等腰三角形時，求點的坐標(biāo)．

【答案】（1）A（10，0），B（10，4），C（0，4）；（2）（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BC=OA=10，AB=OC=4，從而求出各點坐標(biāo)；
（2）先求出OD，然后根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別利用三線合一、勾股定理等知識即可分別求出結(jié)論．
解：（1）∵四邊形為長方形，
∴BC=OA=10，AB=OC=4
∴A（10，0），B（10，4），C（0，4）；
（2）∵點是的中點，
∴OD=
①當(dāng)時，過點P作PE⊥OA于E，PE垂直平分

此時OE=，PE=OC=4
，不符合題意，舍去；
②當(dāng)OP==5時，點就是以點為圓心，以5為半徑畫弧與的交點，
在中，，
則的坐標(biāo)是（3，4）；
③當(dāng)DP==5時，點就是以點為圓心，以5為半徑的弧與的交點，此時點P有兩種情況，過作于點，

在中，，
當(dāng)在的左邊時，，
則的坐標(biāo)是（2，4）；
當(dāng)在的右側(cè)時，，
則的坐標(biāo)是（8，4），
故的坐標(biāo)為（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【點撥】此題考查的是矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理是解題關(guān)鍵．
類型七、矩形與折疊
7．如圖所示，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=6，BC=10，
（1）求BF的長； （2）求ECF的面積．

【答案】（1）8；（2）．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC，CD=AB，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AF=AD，利用勾股定理即可求出BF的長；
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得DE=EF，可得EF=，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得CF的長，利用勾股定理可求出CE的長，利用三角形面積公式即可得答案．
解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=10，
∴AD=BC=10，CD=AB=6，
∵折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，
∴AF=AD=10，
∴BF===8．
（2）∵折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，
∴DE=EF，
∴EF=，
∵BC=10，BF=8，
∴=2，
∵EF2=CF2+CE2，
∴，
解得：，
∴S△ECF===．
【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)及折疊性質(zhì)，矩形的對邊相等，四個角都是直角；圖形折疊前后，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；正確找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，在長方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是BC邊上一點，連接AE，將∠B沿直線AE折疊，使點B落在點處．
（1）如圖1，當(dāng)點E與點C重合時，與AD交于點F，求證：FA＝FC；
（2）如圖2，當(dāng)點E不與點C重合，且點在對角線AC上時，求CE的長．

【答案】（1）見解析；（2）CE=．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及折疊性質(zhì)證明∠FAC=∠FCA即可．
（2）由題意可得，根據(jù)勾股定理求出AC=5，進(jìn)而求出B'C=2，設(shè)CE= x．然后在Rt△中，根據(jù)勾股定理EC2=2+2列方程求解即可；
解：（1）如圖1，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴ADBC，
∴∠FAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ACF，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC．
（2）∵，如圖2， 設(shè)CE= x，


∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC2=AB2+BC2= 32+42=25，
∴AC=5，
由折疊可知：，，，
∴=5-3=2，
在Rt△中，EC2=2+2
∴x2=（4-x）2+22，
∴x=，
∴CE=．
【點撥】本題屬于矩形折疊問題，考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
類型八、直角三角形斜邊上的中線
8．如圖，在中，BD，CE分別是AC，AB邊上的高，F(xiàn)是BC的中點．
（1）求證：是等腰三角形； （2）若，，求BC的長．

【答案】（1）見解析；（2）4
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的判定解答即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理證得，，進(jìn)而證得=60°，則△DEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得即可求解．
解：（1）證明：∵BD，CE分別是AB、AC邊上的高，
∴，
∵點F是BC中點，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
同理，
∵，，
∴，
∴


又是等腰三角形，
∴是等邊三角形．
∴，
∴．

【點撥】本題考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，點E是邊BC延長線上一點，連接AE、DE，過點C作CF⊥DE于點F，且DF＝EF．
（1）求證：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面積．

【答案】（1）見解析；（2）39
【分析】（1）首先根據(jù)CF⊥DE，DF＝EF得出CF為DE的中垂線，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到CD＝CE，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD＝AD，即可證明AD＝CE；
（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計算．
解：（1）證明：∵DF＝EF
∴點F為DE的中點
又∵CF⊥DE
∴CF為DE的中垂線
∴CD＝CE
又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD是斜邊AB上的中線
∴CD＝=AD
∴AD＝CE
（2）解：由（1）得CD＝CE==5
∴AB=10
∴在Rt△ABC中，BC==8
∴EB=EC+BC=13
∴ ．
【點撥】此題考查了垂直平分線的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，三角形面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，三角形面積公式．
類型九、矩形判定定理的理解
9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC的中點，連接AD，E是邊CA延長線上一點，射線AF平分∠BAE．
（1）過點B作AF的垂線，垂足為G（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）所作的圖中，求證：四邊形BDAG是矩形．

【分析】
（1）利用基本作圖作BG⊥AF于G；
（2）先利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，再證明∠EAF＝∠ACB得到AF∥BC，所以AD⊥AF，然后利用BG⊥AF可判斷四邊形ADBG為矩形．
（1）解：如圖，BG為所作；

（2）證明：∵AB＝AC，D是邊BC的中點，
∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，
∵射線AF平分∠BAE，
∴∠EAF＝∠BAF，
∵∠EAB＝∠ABC＋∠ACB，
即∠EAF＋∠BAF＝∠ABC＋∠ACB，
∴∠EAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴AD⊥AF，
∴∠ADB＝∠DAG＝90°，
∵BG⊥AF，
∴∠BGA＝90°，
∴四邊形ADBG為矩形．
【點撥】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
舉一反三：
【變式】如圖,中,對角線?相交于點,若?是線段上兩動點,同時分別從?兩點都以1cm/s的速度向?運動．
（1）求證:不論、在任何位置,四邊形始終是平行四邊形;
（2）若cm,cm,當(dāng)運動時間為何值時,四邊形是矩形?

【答案】（1）見詳解,（2）當(dāng)運動時間或時,四邊形是矩形．
【分析】
（1）由平行四邊形ABCD的對角線互相平分得到AO=CO,BO=DO;由點E、F同時運動且運動相等可以得到AE=CF,則EO=FO,利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可求證,
（2）根據(jù)矩形的對角線相等,由此可以得到EF=BD,根據(jù)E?F兩點的運動路線,可以分兩種情況:點E?F未過點O時,有OE= OB,即AO-AE= BO:點E?F過點O時,有OE= OB時,即AE-AO=OE,即可求t的值．
解：（1）設(shè)運動時間為t,由題意得:AE=CF=t,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO,BO=DO,
∴EO=FO,
∴四邊形DEBF是平行四邊形,
即不論E、F在AC任何位置,四邊形DEBF始終是平行四邊形．
（2）
圖1 圖2
由題意可知: ,
,
又∵四邊形DEBF是矩形,∴BD=EF,
∴如圖1,當(dāng)OE= OB時,即AO-AE= BO時,有8-t=6,此時t=2s,
如圖2,當(dāng)OE= OB時,即AE-AO=OE,有t-8=6,此時t =14s．
∴當(dāng)t= 2s或14s時,四邊形DEBF是矩形．
【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定,熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定是解題的關(guān)鍵,本題還運用到了分類思想．
類型十、添加一個條件構(gòu)成矩形
10．如圖，，且，是的中點．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）連接、，直接寫出添加一個什么條件，使四邊形是矩形？（不用說明理由）

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）證出DB＝EC，即可用一組對邊平行且相等進(jìn)行證明；
（2）先證四邊形DBEA是平行四邊形，再添加條件使對角線相等即可．
【詳解】
（1）證明：∵E是AC中點，
∴AC＝2EC．
∵AC＝2DB，
∴DB＝EC．
又∵DB∥EC，
∴四邊形DBCE是平行四邊形．
（2）解：添加AB＝BC，理由如下：
連接AD、BE，如圖，

由（1）可得DB∥AE，DB＝AE，
∴四邊形DBEA是平行四邊形．
∵BC＝DE，AB＝BC，
∴AB＝DE．
∴四邊形DBEA是矩形．
【點撥】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，在中，點E是AD的中點，連接BE，BE、CD的延長線相交于點F，連接AF、BD．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）當(dāng)與滿足條件 時，四邊形ABDF是矩形．

【答案】（1）見解析；（2）∠BED=2∠C
【分析】
（1）要證明四邊形ABDF是平行四邊形，只要證明AB=DF即可，然后根據(jù)題目中的條件，利用平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法可以得到△BEA≌△FED，即可得到AB=DF；
（2）先寫出∠C與∠BED之間的關(guān)系，然后根據(jù)矩形的判定方法和平行四邊形的性質(zhì)，得到∠BAF=90°，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，即可得到四邊形ABDF是矩形．
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE=∠FDE，
∵點E是AD的中點，
∴AE=DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）∠BED=2∠C時，四邊形ABDF是矩形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAE=∠C，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BED=2∠BAE，
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴EB=EA，
由（1）知四邊形ABDF是平行四邊形，
∴BE=EF，
∴EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠BAE+∠ABE+∠EAF+∠EFA=180°，
∴∠BAE+∠EAF=90°，
∴四邊形ABDF是矩形．
【點撥】本題考查矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確平行四邊形的判定方法和矩形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
類型十一、證明四邊形是矩形
11．如圖，將?ABCD的邊AB延長到點E，使BE＝AB，連接DE，交邊BC于點F．
（1）求證：△BEF≌△CDF．
（2）連接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求證四邊形BECD是矩形．

【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得ABCD且AB=CD，進(jìn)而證明∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD, ASA證明△BEF≌△CDF.
（2）根據(jù)等邊對等角證明FD=FC，進(jìn)而證明，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可證明
證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴ABCD且AB=CD.
∵BE=AB,
∴BECD且BE=CD.
∴∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD,
∴△BEF≌△CDF.
(2)∵BECD且BE=CD.
∴四邊形BECD為平行四邊形,
∴DF=DE,CF=BC,
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴∠FCD=∠A,
∵∠BFD=∠FCD+∠FDC,∠BFD=2∠A,
∴∠FDC=∠FCD,
∴FD=FC.
又DF=DE,CF=BC,
∴BC=DE,
∴?BECD是矩形.
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，將□ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F，連接AC、BE．
（1）求證：四邊形ABEC是平行四邊形；
（2）若∠AFC=2∠ADC，求證：四邊形ABEC是矩形．

【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，AB=CD，然后根據(jù)CE=DC，得到AB=EC，，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”判斷即可；
（2）由（1）得的結(jié)論得四邊形ABEC是平行四邊形，再通過角的關(guān)系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，可得結(jié)論．
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，，
∴四邊形ABEC是平行四邊形；
（2）∵由（1）知，四邊形ABEC是平行四邊形，
∴FA=FE，F(xiàn)B=FC．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠AFC=2∠ADC，
∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四邊形ABEC是矩形．
【點撥】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)及矩形的判定，關(guān)鍵是先由平行四邊形的性質(zhì)證三角形全等，然后推出平行四邊形，再通過角的關(guān)系證矩形．
類型十二、根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定求角度
12．如圖，在四邊形中，對角線，相交于點，，，且．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，水的度數(shù)．

【答案】（1）見解析；（2）36°
【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，求得∠DAO＝∠ADO，推出AC＝BD，于是得到四邊形ABCD是矩形；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABO＝∠CDO，根據(jù)三角形的內(nèi)角得到∠ABO＝54°，于是得到結(jié)論．
（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形，
， ，
，
，
，
是矩形；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC＝4：3，
∴∠AOB：∠ABO＝4：3，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，
∴∠ABO＝54°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°?54°＝36°．
【點撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，已知在△OAB中AO＝BO，分別延長AO，BO到點C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，連接AD，DC，CB．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO為一組鄰邊作平行四邊形AOBE，連接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度數(shù)．

【答案】（1）見解析；（2）120°．
【分析】
（1）先說明四邊形ABCD是平行四邊形，可得AC＝2AO、BD＝2BO，進(jìn)而得到AC=BD，即可說明四邊形ABC D是矩形；
（2）如圖，連接OE與BD交于F，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得EO=AO，即△AEO是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求出答案．
證明：（1）∵OC＝AO，OD＝BO
∴四邊形ABCD是平行四邊形
∴AC＝2AO，BD＝2BO
又∵AO＝BO
∴AC＝BD
∴四邊形ABCD是矩形；
（2）如圖：連接OE與BD交于F
∵四邊形AOBE是平行四邊形
∴AE＝BO
又∵AO＝BO
∴AO＝AE
∵CE⊥AE
∴∠AEC＝90°
∵OC＝OA
∴OE＝AC＝AO
∴OE＝AO＝AE
∴△AOE是等邊三角形，
∴∠OAE＝60°
∵∠OAE＋∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．

【點撥】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，靈活應(yīng)用所學(xué)知識并正確添加輔助線成為解答本題的關(guān)鍵．
類型十三、根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定求線段
13．如圖，四邊形ABCD中，，，點E是AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在四邊形ABCD內(nèi)部，延長BG交DC于點F，連接EF．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）求證：；
（3）若點，，求DF的長．
【答案】
（1）證明見解析；
（2）證明見解析；
（3）
【分析】
（1）利用平行線的性質(zhì)可得∠C=90°，再根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形即可判定；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和中點的定義得出EG=ED，再用HL定理證明Rt△EGF≌Rt△EDF即可；
（3）利用DF分別表示BF和FC，再在Rt△BCF中利用勾股定理求解即可．
（1）證明：∵，
∴∠D+∠C=180°，
∵，
∴，
∴四邊形ABCD為矩形；
（2）證明：∵將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴△ABE≌△GBE，
∴∠BGE=∠A，AE=GE，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
∵點E是AD的中點，
∴EA=ED，
∴EG=ED，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；
∴；
（3）
解：∵四邊形ABCD為矩形，△ABE≌△GBE，
∴∠C=90°，BG=CD=AB=6，
∵；
∴，，
∴在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理，
，
即，
解得．
即．
【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定定理，折疊的性質(zhì)，勾股定理等．（1）掌握矩形的判定定理是解題關(guān)鍵；（2）能結(jié)合重點和折疊的性質(zhì)得出EG=ED是解題關(guān)鍵；（3）中能利用DF正確表示Rt△BCF中，BF和CF的長度是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，過A(0，4)的直線a垂直于y軸，點M(9，4)為直線a上一點，若點P從點M出發(fā)，以每秒2cm的速度沿直線a向左移動，點Q從原點同時出發(fā)，以每秒1cm的速度沿x軸向右移動，
（1）幾秒后PQ平行于y軸?
（2）在點P、Q運動的過程中，若線段OQ=2AP，求點P的坐標(biāo)．

【答案】（1）3秒后平行于軸；（2）或．
【分析】
（1）設(shè)秒后平行于軸，先求出的長，再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，由此建立方程，解方程即可得；
（2）分①點在點右側(cè)，②點在點左側(cè)兩種情況，分別根據(jù)建立方程，解方程即可得．
解：（1），
，
設(shè)秒后平行于軸，
，
垂直于軸，垂直于軸，平行于軸，
四邊形是矩形，
，即，
解得，
即3秒后平行于軸；
（2）由題意得：經(jīng)過秒后，，
垂直于軸，點在直線上，且點的坐標(biāo)為，
點的縱坐標(biāo)為4，
①當(dāng)點在點右側(cè)時，，
由得：，
解得，
，
此時點的坐標(biāo)為；
②當(dāng)點在點左側(cè)時，，
由得：，
解得，
，
此時點的坐標(biāo)為；
綜上，點的坐標(biāo)為或．
【點撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形、矩形的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（2），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
類型十四、根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定求面積
14．如圖，已知平行四邊形的對角線、交于點O，是等邊三角形，．
（1）求證：平行四邊形是矩形；
（2）求平行四邊形的面積．

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）根據(jù)等邊三角形及平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OB=OC=OD，從而得AC=BD，即可得到四邊形ABCD是矩形；
（2）由（1）可得AC=8cm，由勾股定理可求得BC的長，由矩形的面積公式即可計算出矩形的面積．
（1）證明：∵是等邊三角形，
∴OA=OB=4cm，∠OAB=∠OBA=60゜
∵四邊形是平行四邊形
∴OA=OC=4cm，OB=OD=4cm
∴OA=OB=OC=OD
即AC=BD
∴四邊形ABCD是矩形
（2）∵AC=2OA=8cm
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠B=90゜
∴由勾股定理得：
∴四邊形ABCD的面積=
【點撥】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，等邊三角形及平行四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△ABO是等邊三角形，，求□ABCD的面積．

【答案】16．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)求得，進(jìn)而證明四邊形是矩形，由勾股定理求得，再根據(jù)矩形的面積計算公式求解即可
解：∵△ABO是等邊三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD＝8，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝4，
∴矩形ABCD的面積＝4×8＝16．
【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)學(xué)案

專題18.7 菱形（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）學(xué)案：

這是一份專題18.7 菱形（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）學(xué)案，共8頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，要點梳理，典型例題，思路點撥，答案與解析，總結(jié)升華等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題18.5 矩形（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）學(xué)案：

這是一份專題18.5 矩形（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）學(xué)案，共15頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，要點梳理，典型例題，思路點撥，答案與解析，總結(jié)升華等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題17.1 勾股定理（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）學(xué)案：

這是一份專題17.1 勾股定理（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）學(xué)案，共14頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，要點梳理，典型例題，思路點撥，總結(jié)升華等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊18.2.3 正方形學(xué)案及答案

初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊18.2.3 正方形學(xué)案及答案
人教版八年級下冊18.2.2 菱形學(xué)案及答案

人教版八年級下冊18.2.2 菱形學(xué)案及答案
初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊第十七章 勾股定理17.1 勾股定理學(xué)案設(shè)計

初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊第十七章 勾股定理17.1 勾股定理學(xué)案設(shè)計
初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊第十七章 勾股定理17.1 勾股定理學(xué)案設(shè)計

初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊第十七章 勾股定理17.1 勾股定理學(xué)案設(shè)計
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊電子課本

18.2.1 矩形

版本： 人教版

年級： 八年級下冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部