專(zhuān)題17.1  勾股定理（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．2. 掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．3. 熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的線段最值和實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.         （2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.　 （3）理解勾股定理的一些變式：，， .要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為，較小的直角邊長(zhǎng)都為，斜邊長(zhǎng)都為），大正方形的面積可以表示為，也可以表示為，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為，，斜邊長(zhǎng)為，則．證明：梯形ABCD的面積為，也可以表示為，∴，整理得：；方法二：（1）圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理． 　證明： ，所以.要點(diǎn)三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段.利用勾股定理，求最值【典型例題】類(lèi)型一、勾股定理的證明1．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，請(qǐng)你利用圖1或圖2證明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求證：a2+b2＝c2．利用圖1進(jìn)行證明：證明：∵∠DAB＝90°，點(diǎn)C，A，E在一條直線上，BC∥DE，則CE＝a+b，∵S四邊形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，又∵S四邊形BCED＝（a+b）2，∴ab+c2+ab＝（a+b）2，∴a2+b2＝c2．利用圖2進(jìn)行證明：證明：如圖，連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a，∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．【思路點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)圖法來(lái)證明勾股定理.類(lèi)型二、勾股定理的直接應(yīng)用2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°① 若 a=40，c=41， 則 b=            ；②若 c=13， b=5，則 a=            ；③ 己 知 a：b=3：4， c=15， 則 a=       ；b=       ．解：∵在中，，∴,（1）∵，>0,∴；（2）∵，>0∴（3）∵，∴設(shè)，又∵，，∴，∴，∴；故答案為：①9；②12；③9；12.【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再?zèng)Q定用勾股原式還是變式．舉一反三：【變式1】求下列直角三角形未知邊AB的長(zhǎng)解：∵在中，，∴，又∵，∴．∴.【思路點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和等于斜邊長(zhǎng)的平方．【變式2】如圖，在中，，若，，則上的高是多少？解：Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，CB=8，∴由勾股定理，得．由面積公式，得，即，∴．【思路點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理和三角形面積公式的應(yīng)用，正確掌握直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類(lèi)型三、利用勾股定理作長(zhǎng)度為的線段3.細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題．OA22=，；OA32=12+，；OA42=12+，…（1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變規(guī)律：OAn2=______；Sn=______．（2）求出OA10的長(zhǎng)．（3）若一個(gè)三角形的面積是，計(jì)算說(shuō)明他是第幾個(gè)三角形？（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．【答案】（1）OAn2＝n；Sn＝；（2）OA10＝；（3）說(shuō)明他是第20個(gè)三角形；（4）．【解析】（1）利用已知可得OAn2，注意觀察數(shù)據(jù)的變化，
（2）結(jié)合（1）中規(guī)律即可求出OA102的值即可求出，
（3）若一個(gè)三角形的面積是，利用前面公式可以得到它是第幾個(gè)三角形，
（4）根據(jù)題意列出式子即可求出．解：（1）結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可得：OAn2＝n；Sn＝；（2）∵OAn2＝n，∴OA10＝；（3）若一個(gè)三角形的面積是，根據(jù)：Sn＝＝，∴＝2＝，∴說(shuō)明他是第20個(gè)三角形，（4）S12+S22+S32+…+S102，＝，＝，＝，＝．故答案為（1）OAn2＝n；Sn＝；（2）OA10＝；（3）說(shuō)明他是第20個(gè)三角形；（4）．【點(diǎn)撥】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)，勾股定理的應(yīng)用.【變式】如圖，直線l垂直數(shù)軸于原點(diǎn)在數(shù)軸上，用尺規(guī)作出表示的點(diǎn)E（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【答案】如圖所示，見(jiàn)解析；點(diǎn)E是表示．【分析】由，根據(jù)勾股定理可知：作一個(gè)直角邊分別為2、3的直角三角形，斜邊即為，然后以原點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，與原點(diǎn)左側(cè)交點(diǎn)即為所求.解：由，根據(jù)勾股定理可知：作一個(gè)直角邊分別為2、3的直角三角形，斜邊即為，然后以原點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，與原點(diǎn)左側(cè)交點(diǎn)即為所求.如圖所示，點(diǎn)E是表示．【點(diǎn)撥】此題考查的是在數(shù)軸上找到表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)，利用勾股定理畫(huà)出長(zhǎng)度為的線段是解決此題的關(guān)鍵.類(lèi)型四、勾股定理的方程思想 4.如圖，在中， ，為邊上一點(diǎn)，且，．
（1）求的長(zhǎng)；    （2）若，求的面積．解：（1）設(shè)，則，在中，，，則，解得（負(fù)值舍去），．（2），，，．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式】古代數(shù)學(xué)的“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高9尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為3尺，問(wèn)折處高幾尺？即：如圖，尺，尺，則等于多少尺？解：設(shè)尺，則尺，由題意得：，則是直角三角形，由勾股定理得：，即，解得，即尺，答：等于4尺．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．類(lèi)型五、利用勾股定理求最值5.如圖，等腰中，，，點(diǎn)E是的垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】【分析】根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，則AE＝BE，故BE＋DE的最小值為AD時(shí)最小，由垂線段最短得當(dāng)AD⊥BC時(shí)最短，由于△ABC是等腰三角形，可得BD＝2，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．解：連接AD，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A．∴AE＝BE．∴BE＋DE的最小值為AD．∵由垂線段最短則當(dāng)AD⊥BC時(shí)最短．∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝6，BC＝4，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，BD＝2．∴AD＝＝．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)和利用軸對(duì)稱構(gòu)造最短路線是解答此題的關(guān)鍵．【變式】如圖，一個(gè)高，底面周長(zhǎng)的圓柱形水塔，現(xiàn)制造一個(gè)螺旋形登梯，為了減小坡度，要求登梯繞塔環(huán)繞一周半到達(dá)頂端，問(wèn)登梯至少為___________長(zhǎng)．【答案】20m．【分析】要求登梯的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，借助于勾股定理．解：將圓柱表面按一周半開(kāi)展開(kāi)呈長(zhǎng)方形，     ∵圓柱高16m，底面周長(zhǎng)8m，設(shè)螺旋形登梯長(zhǎng)為xm，∴x2=（1×8+4）2+162=400， ∴登梯至少=20m故答案為：20m【點(diǎn)撥】本題考查圓柱形側(cè)面展開(kāi)圖新問(wèn)題，涉及勾股定理，掌握按要求將圓柱側(cè)面展開(kāi)圖形的方法，會(huì)利用圓周，高與對(duì)角線組成直角三角形，用勾股定理解決問(wèn)題是關(guān)鍵． 類(lèi)型六、利用勾股定理解決折疊問(wèn)題6.如圖，點(diǎn)E為矩形的邊上一點(diǎn)，以為折痕將向上折疊，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若，，則的長(zhǎng)是__________．【答案】10【分析】根據(jù)折疊與勾股定理的性質(zhì)求出AF=4,設(shè)BC為x，則AD=x=FC，得到DF=x-4,在Rt△CDF中得到FC2=DF2+CD2，故可求出BC的長(zhǎng)．解：∵折疊，，，∴EF=5，BC=FC∴AF=設(shè)BC為x，則AD=x=FC，DF=x-4,由CD=AB=AE+BE=8∴在Rt△CDF中得到FC2=DF2+CD2，故x2=(x-4)2+82，解得x=10即BC=10故答案為：10．【點(diǎn)撥】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知折疊的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．【變式】如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知AB＝3，AD＝9，則BE的長(zhǎng)為_____．解：根據(jù)翻折性質(zhì)：，則，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得：解得：故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折的性質(zhì)及勾股定理求解邊長(zhǎng)，熟練運(yùn)用勾股定理建立方程求解是解題關(guān)鍵．類(lèi)型七、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題7.某段限速公路m上規(guī)定小汽車(chē)的行駛速度不得超過(guò)70千米/小時(shí)，如圖所示，已知測(cè)速站C到公路m的距離CD為米，一輛在該公路上由北向南勻速行駛的小汽車(chē)，在A處測(cè)得測(cè)速站在汽車(chē)的南偏東30°方向，在B處測(cè)得測(cè)速站在汽車(chē)的南偏東60°方向，此車(chē)從A行駛到B所用的時(shí)間為3秒（1）求從A到B行駛的路程（2）通過(guò)計(jì)算判斷此車(chē)是否超速？解：（1）設(shè)BD=x米，則有BC=2x米，由題意得：∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，∴∠CAB=∠BCA，∴AB=BC=2x米，∵AD⊥CD，米，∴米，∴米，∴，解得，∴AB=60米；（2）由（1）得：AB=60米，∴此小汽車(chē)的速度為：60÷3=20m/s，∵70千米/小時(shí)=m/s，∴20m/s>m/s，∴此車(chē)超速．【總結(jié)升華】本題主要考查方位角及含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握方位角及含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式】如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交匯，．公路上處距點(diǎn)240米．如果火車(chē)行駛時(shí)，周?chē)?/span>200米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響．那么火車(chē)在鐵路上沿方向以72千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，處受噪音影響的時(shí)間為多少？（補(bǔ)充知識(shí)：在直角三角形中，所對(duì)的直角邊是斜邊長(zhǎng)的一半）【答案】處受噪音影響的時(shí)間為16秒．【分析】首先過(guò)點(diǎn)A作AC⊥MN，求出最短距離AC的長(zhǎng)度，然后在MN上取點(diǎn)B、D，使AB=AD=200，根據(jù)勾股定理得出BC和CD的長(zhǎng)度，即可求出BD，然后計(jì)算出時(shí)間即可．解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥MN， ∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米<200米，
在MN上取點(diǎn)B、D，使AB=AD=200，當(dāng)火車(chē)在BD上時(shí)A處產(chǎn)生噪音影響，
∵AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小時(shí)=20米/秒，
∴影響時(shí)間應(yīng)是：320÷20=16秒．答：處受噪音影響的時(shí)間為16秒．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，解本題要點(diǎn)在于找出受影響的路段，從而利用勾股定理求出其長(zhǎng)度．

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