1. 理解菱形的概念.
2. 掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理．
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、菱形的定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個(gè)特殊條件.
要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)
菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：
1.菱形的四條邊都相等；
2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點(diǎn)就是對稱中心.
要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.
（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.
（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.
要點(diǎn)三、菱形的判定
菱形的判定方法有三種：
1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
3.四條邊相等的四邊形是菱形.
要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.
【典型例題】
類型一、菱形的性質(zhì)
1、如圖，在菱形中，分別是和上的點(diǎn)，且
（1）求證：
（2）若，求的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法“SAS”即可證明△ADE≌△CDF；
（2）根據(jù)△ADE≌△CDF，得到∠ADE=∠CDF，然后根據(jù)四邊形ABCD是菱形，∠ADC=150°進(jìn)一步得到∠ADB=∠ADC=75°，從而∠EDB=∠ADB-∠ADE=∠ADB-∠CDF=25°．
【答案與解析】
（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AB=CB，AD=DC，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=150°，
∵∠ADB∠ADC=75°，
∵∠CDF=50°，
∴∠EDB=∠ADB-∠ADE=∠ADB-∠CDF=25°．
【總結(jié)升華】
本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記菱形的性質(zhì)．

舉一反三：
【變式】如圖，E、F分別是矩形ABCD的邊 BC、AD上的點(diǎn)，且BE ? DF．
（1）求證：四邊形 AECF 是平行四邊形；
（2）若四邊形 AECF 是菱形，且 CE ? 10，AB ? 8，求線段BE的長．
【分析】
（1）證明，利用一組對邊平行且相等證明平行四邊形；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再用勾股定理求出BE的長．
解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）∵四邊形AECF是菱形，
∴，
在中，．
【總結(jié)升華】本題考查平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些性質(zhì)定理進(jìn)行證明求解．
【答案】類型二、菱形的判定
2、如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對角線于點(diǎn)，，連接．若，求證：四邊形是菱形．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到AD=CB，AD∥CB，從而可以得到∠DAE=∠BCF，再根據(jù)DE∥BF和等角的補(bǔ)角相等，從而可以得到∠AED=∠CFB，然后即可證明△ADE和△CBF全等，從而可以得到DE=BF，再根據(jù)DE∥BF，即可得到四邊形EBFD是平行四邊形，再根據(jù)BE=DE，即可得到四邊形EBFD為菱形．
【答案與解析】
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE∥BF，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠AED=∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵BE=DE，
∴四邊形EBFD為菱形．
【總結(jié)升華】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
舉一反三：
【變式】在RtABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F．
（1）證明四邊形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面積．
（1）證明：如圖，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD＝DC＝BC，
∴四邊形ADCF是菱形；
（2）解：連接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DF＝AB＝5，
∵四邊形ADCF是菱形，
∴S＝AC?DF＝10．
【總結(jié)升華】本題主要考查平行四邊形與菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形與菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
類型三、菱形中的圖形變換
3、 如圖，在菱形中，，，為上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)．
（1）求菱形的面積；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【思路點(diǎn)撥】
（1）連接，，根據(jù)四邊形是菱形，，可得是等邊三角形，根據(jù)為中點(diǎn)，得到，，根據(jù)勾股定理有，利用即可得出菱形的面積；
（2）連接，根據(jù)四邊形為菱形，即有點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，得，可知當(dāng)點(diǎn)、、在一條線段上時(shí)，取值最小，即時(shí)， 根據(jù)（1）可解．
【答案與解析】
解：（1）如答圖，連接，，
∵四邊形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∵為中點(diǎn)．
∴，．
在中，．
∴．
（2）如答圖，連接，
∵四邊形為菱形，
∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱．
∴．
∴．
當(dāng)點(diǎn)、、在一條線段上時(shí)，取值最?。?br>即時(shí)，取得最小值．

【點(diǎn)撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形是軸對稱圖形的性質(zhì)，知道點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱是解題的關(guān)鍵．
【變式】如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：判斷四邊形是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；
（2）若，，求四邊形的面積．
（1）證明：四邊形是菱形． 理由如下
由題意可得， ，
∴，
∵FG∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵在矩形中，，
∴，
∴，∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
解得， ，
∴，
∴四邊形的面積是：．
【點(diǎn)撥】本題考查菱形的判定和性質(zhì)定理，涉及到等角對邊、勾股定理等知識點(diǎn)，比較綜合．

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