1．隨機(jī)試驗(yàn)(1)定義：把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)．(2)特點(diǎn)：①試驗(yàn)可以在__________下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且_______個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先__________出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．
2．樣本點(diǎn)和樣本空間(1)定義：我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的__________稱為樣本點(diǎn)，____________的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間．(2)表示：一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn)．如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．
【預(yù)習(xí)自測(cè)】寫(xiě)出下列試驗(yàn)的樣本空間：(1)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)足球賽，觀察甲隊(duì)比賽結(jié)果(包括平局)________；(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中次品數(shù)________．【答案】(1)Ω＝{勝，平，負(fù)}　(2)Ω＝{0,1,2,3,4}【解析】(1)對(duì)于甲隊(duì)來(lái)說(shuō)，有勝、平、負(fù)三種結(jié)果．(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，其次品的個(gè)數(shù)可能為0,1,2,3,4，不可能再有其他結(jié)果．
【預(yù)習(xí)自測(cè)】判斷下列命題是否正確．(對(duì)的畫(huà)“√”，錯(cuò)的畫(huà)“×”)(1)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的．(　　)(2)某同學(xué)競(jìng)選本班班長(zhǎng)成功是隨機(jī)事件．(　　)(3)連續(xù)拋擲一枚硬幣2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一個(gè)樣本點(diǎn)．(　　)【答案】(1)×　(2)√　(3)×
【解析】(1)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)也可能是無(wú)限的．(2)由隨機(jī)事件的定義知正確．(3)“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的樣本點(diǎn)．
(2)并事件(和事件)
(3)交事件(積事件)
(4)互斥(互不相容)
【預(yù)習(xí)自測(cè)】判斷下列命題是否正確．(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)從裝有6個(gè)小球的袋子中任取2個(gè)小球，則事件“至少1個(gè)是紅球”與“至多1個(gè)紅球”是對(duì)立事件．(　　)(2)在擲骰子的試驗(yàn)中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”和事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3”的交事件為“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為6”．(　　)(3)若事件A和B為互斥事件，且P(A∪B)＝1，則A和B為對(duì)立事件．(　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√【解析】(1)兩個(gè)事件的交事件為“只有1個(gè)紅球”，故不是對(duì)立事件．(2)兩事件的交事件為“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4或6”．(3)因?yàn)锳與B互斥，且P(A∪B)＝1，故A與B不同時(shí)發(fā)生，且必然有一個(gè)發(fā)生，所以A和B為對(duì)立事件．
指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：(1)某人購(gòu)買福利彩票一注，中獎(jiǎng)500萬(wàn)元；(2)三角形的內(nèi)角和為180°；(3)沒(méi)有空氣和水，人類可以生存下去；(4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面向上；(5)從分別標(biāo)有1,2,3,4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號(hào)標(biāo)簽；(6)科學(xué)技術(shù)達(dá)到一定水平后，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”將會(huì)出現(xiàn)．
素養(yǎng)點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．解：(1)購(gòu)買一注彩票，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，所以是隨機(jī)事件．(2)所有三角形的內(nèi)角和均為180°，所以是必然事件．(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒(méi)有空氣和水，人類無(wú)法生存，所以是不可能事件．
(4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機(jī)事件．(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4號(hào)標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機(jī)事件．(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”不會(huì)出現(xiàn)，所以是不可能事件．
事件類型的判斷方法判斷一個(gè)事件是哪類事件要看兩點(diǎn)：一看條件，因?yàn)槿N事件都是相對(duì)于一定條件而言的；二看結(jié)果是否發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件．
1．下列事件不是隨機(jī)事件的是(　　)A．東邊日出西邊雨B．下雪不冷化雪冷C．清明時(shí)節(jié)雨紛紛D．梅子黃時(shí)日日晴【答案】B【解析】B是必然事件，其余都是隨機(jī)事件．故選B．
下列隨機(jī)事件中，一次試驗(yàn)各指什么？試寫(xiě)出試驗(yàn)的所有結(jié)果．(1)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣多次；(2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個(gè)元素組成集合A的子集．
題型2　樣本點(diǎn)與樣本空間
解：(1)一次試驗(yàn)是指“拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次”，試驗(yàn)的可能結(jié)果有4個(gè)：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次試驗(yàn)是指“從集合A中一次選取3個(gè)元素組成集合A的一個(gè)子集”，試驗(yàn)的結(jié)果共有4個(gè)：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．
【例題遷移1】　(變換問(wèn)法)在例2(2)中，從集合A中任取2個(gè)元素組成A的子集，有哪些？解：試驗(yàn)結(jié)果有6個(gè)：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．
【例題遷移2】　(變換條件)在例2(2)中集合A換為A＝{a，b，c，d，e}，其他條件不變，則結(jié)果如何？素養(yǎng)點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．解：試驗(yàn)結(jié)果有10個(gè)：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{c，d，e}，{b，d，e}．
確定樣本空間的方法(1)必須明確事件發(fā)生的條件．(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出問(wèn)題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫(xiě)，要做到既不重復(fù)也不遺漏．
2．袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個(gè)球，分別寫(xiě)出以下隨機(jī)試驗(yàn)的條件和結(jié)果．(1)從中任取1球；(2)從中任取2球．解：(1)條件為：從袋中任取1球．結(jié)果為：紅、白、黃、黑4種．(2)條件為：從袋中任取2球．若記(紅，白)表示一次試驗(yàn)中，取出的是紅球與白球，結(jié)果為：(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)6種．
從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．判斷上面給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．素養(yǎng)點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
題型3　事件關(guān)系的判斷
解：(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事件．
(2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．
互斥事件、對(duì)立事件的判定方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生；②對(duì)立事件首先是互斥事件，且必須有一個(gè)要發(fā)生．(2)利用集合的觀點(diǎn)來(lái)判斷設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B．①事件A與B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A與B對(duì)立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝Ω，即A＝?ΩB或B＝?ΩA．
3．從一批產(chǎn)品中取出3件產(chǎn)品，設(shè)A＝{3件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{3件產(chǎn)品全是次品}，C＝{3件產(chǎn)品不全是次品}，則下列結(jié)論正確是________(填寫(xiě)序號(hào))．①A與B互斥；②B與C互斥；③A與C互斥；④A與B對(duì)立；⑤B與C對(duì)立．【答案】①②⑤
【解析】A＝{3件產(chǎn)品全不是次品}，指的是3件產(chǎn)品全是正品，B＝{3件產(chǎn)品全是次品}，C＝{3件產(chǎn)品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3個(gè)事件，由此知：A與B是互斥事件，但不對(duì)立；A與C是包含關(guān)系，不是互斥事件，更不是對(duì)立事件；B與C是互斥事件，也是對(duì)立事件．所以正確結(jié)論的序號(hào)為①②⑤.
在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，B＝{出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}，C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}．(1)說(shuō)明以上4個(gè)事件的關(guān)系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．素養(yǎng)點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
解：在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本事件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A與事件B互斥，但不對(duì)立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對(duì)立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件．
(2)A∩B＝?，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1或3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1或2或4或6}．B∩D＝A4＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1或3或4或5}．
進(jìn)行事件運(yùn)算應(yīng)注意的問(wèn)題(1)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．(2)在一些比較簡(jiǎn)單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識(shí)來(lái)判斷，但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來(lái)推理．
4．對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機(jī)}，事件B＝{兩彈都沒(méi)擊中飛機(jī)}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是(　　)A．A?D　　　　　B．B∩D＝?C．A∪C＝D　　D．A∪B＝B∪D
【答案】D【解析】“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中，∴A∪B≠B∪D．故選D．
1．辨析隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件時(shí)要注意看清條件，在給定的條件下判斷是一定發(fā)生(必然事件)，還是不一定發(fā)生(隨機(jī)事件)，還是一定不發(fā)生(不可能事件)(體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng))．2．寫(xiě)試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，要按順序?qū)懀貏e要注意題目中的有關(guān)字眼，如“先后”“依次”“順序”“放回”“不放回”等．
3．互斥事件和對(duì)立事件都是針對(duì)兩個(gè)事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系．在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能兩個(gè)都發(fā)生；而兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生，但是不可能兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，也不可能兩個(gè)事件都不發(fā)生．所以兩個(gè)事件互斥，它們未必對(duì)立；反之兩個(gè)事件對(duì)立，它們一定互斥．
1．下面的事件：①實(shí)數(shù)的絕對(duì)值大于等于0；②從標(biāo)有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥∫粡?，得?號(hào)簽；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1 ℃結(jié)冰，其中是必然事件的有(　　)A．①　　B．②　　C．③　　D．①②【答案】A【解析】①是必然事件；②是隨機(jī)事件；③是不可能事件．故選A．
2．某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)A．至多有一次中靶B．兩次都中靶C．兩次都不中靶D．只有一次中靶【答案】C【解析】由于事件“至少有一次中靶”和“兩次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它們互為互斥事件．故選C．
3．(2019年攀枝花教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))從含有10件正品、2件次品的12件產(chǎn)品中，任意抽取3件，則必然事件是(　　)A．3件都是正品　　B．3件都是次品C．至少有1件次品　　D．至少有1件正品【答案】D【解析】從10件正品，2件次品，從中任意抽取3件，A：3件都是正品是隨機(jī)事件，B：3件都是次品不可能事件，C：至少有1件次品是隨機(jī)事件，D：因?yàn)橹挥?件次品，所以從中任意抽取3件必然會(huì)抽到正品，即至少有1件是正品是必然事件．故選D．
4．下列給出五個(gè)事件：①某地2月3日下雪；②函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)在定義域上是增函數(shù)；③實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不小于0；④存在x∈R，x2＋1

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

10.1 隨機(jī)事件與概率

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