追及和相遇問題 [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.會(huì)分析追及相遇問題，理解兩者速度相等為臨界條件.2.會(huì)根據(jù)位移關(guān)系、時(shí)間關(guān)系列方程．1．追及相遇問題兩物體在同一直線上一前一后運(yùn)動(dòng)，速度相同時(shí)它們之間可能出現(xiàn)距離最大、距離最小或者相遇(碰撞)的情況，這類問題稱為追及相遇問題．2．分析追及相遇問題的思路和方法(1)討論追及相遇問題的實(shí)質(zhì)是分析兩物體能否在同一時(shí)刻到達(dá)同一位置，注意抓住一個(gè)條件、用好兩個(gè)關(guān)系．一個(gè)條件速度相等這是兩物體是否追上(或相撞)、距離最大、距離最小的臨界點(diǎn)，是解題的切入點(diǎn)兩個(gè)關(guān)系時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系通過畫示意圖找出兩物體位移之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的突破口 (2)常用方法物理分析法抓住“兩物體能否同時(shí)到達(dá)同一位置”這一關(guān)鍵，認(rèn)真審題，挖掘題中的隱含條件，建立物體運(yùn)動(dòng)關(guān)系的圖景，并畫出運(yùn)動(dòng)情況示意圖，找出位移關(guān)系圖像法將兩者的v-t圖像畫在同一坐標(biāo)系中，然后利用圖像分析求解數(shù)學(xué)分析法設(shè)從開始到相遇的時(shí)間為t，根據(jù)條件列位移關(guān)系方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，用判別式進(jìn)行討論．若Δ＞0，即有兩個(gè)解，說明可以相遇兩次；若Δ＝0，說明剛好追上或相遇；若Δ<0，說明追不上或不能相碰 平直公路上有甲、乙兩輛汽車，甲以0.5 m/s2的加速度由靜止開始行駛，乙在甲的前方200 m處以5 m/s的速度做同方向的勻速運(yùn)動(dòng)，問：(1)甲何時(shí)追上乙？甲追上乙時(shí)的速度為多大？此時(shí)甲離出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？(2)在追趕過程中，甲、乙之間何時(shí)有最大距離？這個(gè)距離為多少？答案　(1)40 s　20 m/s　400 m　(2)10 s　225 m解析　(1)設(shè)甲經(jīng)過時(shí)間t追上乙，則有x甲＝a甲t2，x乙＝v乙t，根據(jù)追及條件，有a甲t2＝x0＋v乙t，代入數(shù)據(jù)解得t＝40 s和t＝－20 s(舍去)這時(shí)甲的速度v甲＝a甲t＝0.5×40 m/s＝20 m/s甲離出發(fā)點(diǎn)的位移x甲＝a甲t2＝×0.5×402 m＝400 m.(2)在追趕過程中，當(dāng)甲的速度小于乙的速度時(shí)，甲、乙之間的距離仍在繼續(xù)增大；但當(dāng)甲的速度大于乙的速度時(shí)，甲、乙之間的距離便不斷減??；當(dāng)v甲＝v乙，甲、乙之間的距離達(dá)到最大值．由a甲t′＝v乙，得t′＝＝ s＝10 s，即甲在10 s末離乙的距離最大．xmax＝x0＋v乙t′－a甲t′2＝200 m＋5×10 m－×0.5×102 m＝225 m.汽車以20 m/s的速度在平直公路上行駛時(shí)，制動(dòng)后40 s停下來．現(xiàn)在同一平直公路上以20 m/s的速度行駛時(shí)發(fā)現(xiàn)前方200 m處有一貨車以6 m/s的速度同向勻速行駛，司機(jī)立即制動(dòng)，則：(1)求汽車剎車時(shí)的加速度大小；(2)是否發(fā)生撞車事故？若發(fā)生撞車事故，在何時(shí)發(fā)生？若沒有撞車，兩車最近距離為多少？答案　(1)0.5 m/s2　(2)不會(huì)相撞　4 m解析　(1)汽車制動(dòng)加速度大小a＝＝0.5 m/s2(2)當(dāng)汽車減速到與貨車共速時(shí)t0＝＝28 s汽車運(yùn)動(dòng)的位移x1＝＝364 m此時(shí)間內(nèi)貨車運(yùn)動(dòng)的位移為x2＝vBt0＝168 mΔx＝x1－x2＝196 m＜200 m，所以兩車不會(huì)相撞．此時(shí)兩車相距最近，最近距離Δs＝x0－Δx＝200 m－196 m＝4 m.一輛小汽車以30 m/s的速度勻速行駛在高速公路上，突然發(fā)現(xiàn)正前方30 m處有一輛大卡車以10 m/s的速度同方向勻速行駛，小汽車緊急剎車，剎車過程中剎車失靈．如圖1所示，圖線a、b分別為小汽車和大卡車的v－t圖像(忽略剎車反應(yīng)時(shí)間)，以下說法正確的是(　　)圖1A．因剎車失靈前小汽車已減速，故不會(huì)發(fā)生追尾事故B．在t＝3 s時(shí)發(fā)生追尾事故C．在t＝5 s時(shí)發(fā)生追尾事故D．若緊急剎車時(shí)兩車相距40 m，則不會(huì)發(fā)生追尾事故且兩車最近時(shí)相距10 m答案　B解析　根據(jù)速度—時(shí)間圖線與時(shí)間軸所圍“面積”表示位移，由題圖知，t＝3 s時(shí)大卡車的位移為：xb＝vbt＝10×3 m＝30 m小汽車的位移為：xa＝×(30＋20)×1 m＋×(20＋15)×2 m＝60 m則：xa－xb＝30 m所以在t＝3 s時(shí)發(fā)生追尾事故，故B正確，A、C錯(cuò)誤；由v－t圖線可知在t＝5 s時(shí)兩車速度相等，小汽車相對于大卡車的位移：Δx＝×(20＋10)×1 m＋×10×4 m＝35 m<40 m則不會(huì)發(fā)生追尾事故且兩車最近時(shí)相距Δs＝x0－Δx＝5 m，故D錯(cuò)誤．追及相遇問題的常見情況初速度小者追初速度大者情景圖　勻加速追勻速　　勻速追勻減速勻加速追勻減速t＝t0以前(v2＜v1)兩物體距離增大t＝t0時(shí)(v1＝v2)相距最遠(yuǎn)t＝t0以后(v2＞v1)兩物體距離減小追及情況只能追上一次初速度大者追初速度小者情景圖　　勻減速追勻速　　勻速追勻加速勻減速追勻加速t0時(shí)刻以前(v2＞v1)兩物體距離減小t0時(shí)刻(v2＝v1)若Δx＝x0，恰好追上若Δx＜x0，追不上，有最小距離若Δx＞x0，相遇兩次 1．(多選)(2020·黃山市高一期末)A、B兩物體在同一直線上運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖1所示，已知在第4 s末兩物體相遇，則下列說法正確的是(　　) 圖1A．兩物體從同一地點(diǎn)出發(fā)B．出發(fā)時(shí)A在B前方4 m處C．兩物體運(yùn)動(dòng)過程中，A的加速度小于B的加速度D．第4 s末兩物體相遇之后，兩物體可能再相遇答案　BC解析　由速度－時(shí)間圖像與t軸所圍的“面積”表示位移可知，兩物體在0～4 s內(nèi)的位移不相等，而在第4 s末相遇，可知出發(fā)點(diǎn)不同，A錯(cuò)誤；xA＝×4×4 m＝8 mxB＝×6×4 m＝12 m已知在第4 s末相遇，則出發(fā)時(shí)A在B前方4 m處，B正確；由于A圖線的斜率小于B圖線的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正確；相遇后A的速度始終小于B的速度，所以兩物體不會(huì)再次相遇，D錯(cuò)誤．2．甲、乙兩輛汽車(均可看成質(zhì)點(diǎn))在平直的公路上沿同一方向做直線運(yùn)動(dòng)，t＝0時(shí)刻同時(shí)經(jīng)過公路旁的同一個(gè)路標(biāo)．在描述兩車運(yùn)動(dòng)的v－t圖像中(如圖2)，直線a、b分別描述了甲、乙兩車在0～20 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況．關(guān)于兩車之間的位置關(guān)系，下列說法正確的是(　　)圖2A．在0～10 s內(nèi)兩車逐漸靠近B．在10～20 s內(nèi)兩車逐漸遠(yuǎn)離C．在5～15 s內(nèi)兩車的位移相等D．在t＝10 s時(shí)兩車在公路上相遇答案　C3．(2021·常州一中高一上期中)甲、乙兩輛汽車沿同一方向做直線運(yùn)動(dòng)，兩車在某一時(shí)刻剛好經(jīng)過同一位置，此時(shí)甲的速度為5 m/s，乙的速度為10 m/s，甲車的加速度大小恒為1.2 m/s2.以此時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，它們的速度隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖3所示，根據(jù)以上條件可知(　　)圖3A．乙車做加速度先增大后減小的變加速運(yùn)動(dòng)B．在前4 s的時(shí)間內(nèi)，甲車的位移為29.6 mC．在t＝4 s時(shí)，甲車追上乙車D．在t＝10 s時(shí)，乙車又回到起始位置答案　B解析　v－t圖像的斜率表示物體的加速度，由題圖可知，乙的加速度先減小后增大，最后再減小，故A錯(cuò)誤；在前4 s的時(shí)間內(nèi)，甲車的位移為x＝v0t＋at2＝5×4 m＋×1.2×16 m＝29.6 m，故B正確；在t＝4 s時(shí)，兩車的速度相同，但經(jīng)過的位移不同，故兩車沒有相遇，故C錯(cuò)誤；在10 s前，乙車速度一直為正，乙車一直沿正方向運(yùn)動(dòng)，故乙車沒有回到起始位置，故D錯(cuò)誤．4．在十字路口，一輛汽車以0.5 m/s2的加速度從停車線啟動(dòng)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)恰好有一輛自行車以5 m/s的速度勻速駛過停車線與汽車同方向行駛，求：(1)什么時(shí)候它們相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？(2)在什么地方汽車追上自行車？追到時(shí)汽車的速度是多大？答案　(1)10 s時(shí)　25 m　(2)距停車線100 m處　10 m/s解析　(1)由題意知兩車速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，設(shè)所用時(shí)間為t汽車做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以v汽＝at＝v自代入數(shù)據(jù)得t＝10 s最遠(yuǎn)距離x＝x自－x汽＝v自t－at2＝25 m.(2)汽車追上自行車時(shí)，它們相對于停車線的位移相等，設(shè)汽車追上自行車所用時(shí)間為t′此時(shí)x自＝x汽，即：v自t′＝at′2.代入數(shù)據(jù)得t′＝20 s.此時(shí)距停車線距離x′＝v自t′＝100 m.此時(shí)汽車速度v汽′＝a t′＝10 m/s.5．A、B兩列火車，在同一軌道上同向行駛，A車在前，其速度vA＝10 m/s，B車在后，其速度vB＝30 m/s，因大霧能見度低，B車在距A車x0＝85 m時(shí)才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時(shí)B車立即剎車，但B車要經(jīng)過180 m才能停止．求：(1)B車剎車的加速度大小；(2)若B車剎車時(shí)A車仍按原速率行駛，兩車是否會(huì)相撞？若會(huì)相撞，將在B車剎車后何時(shí)相撞？若不會(huì)相撞，則兩車最近距離是多少？答案　(1)2.5 m/s2　(2)不會(huì)相撞　5 m解析　(1)設(shè)B車剎車過程的加速度大小為aB，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有0－vB2＝－2aBx解得aB＝2.5 m/s2(2)設(shè)經(jīng)過時(shí)間t兩車相撞，則有：vBt－aBt2＝x0＋vAt，即30t－×2.5t2＝85＋10t整理得t2－16t＋68＝0由Δ＝162－4×68＜0，可知t無實(shí)數(shù)解，即兩車不會(huì)相撞，速度相等時(shí)兩車相距最近，此時(shí)vA＝vB－aBt1，代入數(shù)據(jù)得t1＝8 s此過程中xB＝vBt1－aBt12＝160 mxA＝vAt1＝80 m，兩車的最近距離Δx＝x0＋xA－xB＝5 m.6．A、B兩車沿同一直線同方向運(yùn)動(dòng)，A車的速度vA＝4 m/s，B車的速度vB＝10 m/s.當(dāng)B車運(yùn)動(dòng)至A車前方7 m處時(shí)，A車的速度保持不變，B車剎車并以大小為a＝2 m/s2的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)，從該時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，求：(1)A車追上B車之前，兩車間的最大距離；(2)經(jīng)多長時(shí)間A車追上B車．答案　(1)16 m　(2)8 s解析　(1)當(dāng)B車速度等于A車速度時(shí)，兩車間距最大．設(shè)經(jīng)時(shí)間t1兩車速度相等，有：vB′＝vB－at1，vB′＝vAB車的位移：xB＝vBt1－at12，A車的位移：xA＝vAt1，則：Δxm＝xB＋7 m－xA，解得：Δxm＝16 m.(2)設(shè)B車停止運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間為t2，則t2＝＝5 s，此時(shí)A車的位移xA′＝vAt2＝20 m，B車的位移xB′＝vBt2－at22＝25 m，A、B兩車間的距離Δx＝xB′－xA′＋7 m＝12 m，A車追上B車還需時(shí)間t3＝＝3 s，故A車追上B車的總時(shí)間t＝t2＋t3＝8 s. 7．兩輛玩具小車在同一水平軌道上運(yùn)動(dòng)，在t＝0時(shí)刻，甲車在乙車前面s0＝4 m的地方以速度v0＝2 m/s勻速行駛，此時(shí)乙車立即從靜止開始做加速度a＝1 m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)去追甲車，乙車達(dá)到速度vm＝3 m/s后開始勻速運(yùn)動(dòng)．(1)從開始經(jīng)過多長時(shí)間乙車落后甲車最遠(yuǎn)，這個(gè)距離是多少？(2)從開始經(jīng)過多長時(shí)間乙車追上甲車，此時(shí)乙車通過位移的大小是多少？答案　(1)2 s　6 m　(2)8.5 s　21 m解析　(1)當(dāng)兩車速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，即v0＝at0，故t0＝2 s，此時(shí)兩車距離x＝s0＋v0t0－at02解得x＝6 m；(2)先研究乙車從開始到速度達(dá)到vm時(shí)與甲車的距離．對乙車：vm＝at1,2ax乙＝vm2對甲車：x甲＝v0t1解得x甲＝6 m，x乙＝4.5 m，t1＝3 sx甲＋s0>x乙，故乙車達(dá)到最大速度時(shí)未追上甲車，此時(shí)兩車間距為Δs＝x甲＋s0－x乙＝5.5 m，乙車追上甲車還需要時(shí)間t2＝＝ s＝5.5 s，故乙追上甲的總時(shí)間t總＝t1＋t2＝8.5 s，此時(shí)乙車的位移為x總＝x乙＋vmt2＝(4.5＋3×5.5) m＝21 m.8．一只氣球以10 m/s的速度勻速豎直上升，某時(shí)刻在氣球正下方距氣球6 m處有一小球以20 m/s的初速度豎直上拋，g取10 m/s2，不計(jì)小球受到的空氣阻力．(1)不考慮上方氣球?qū)π∏蜻\(yùn)動(dòng)的可能影響，求小球拋出后上升的最大高度和時(shí)間．(2)小球能否追上氣球？若追不上，說明理由；若能追上，需要多長時(shí)間？答案　(1)20 m　2 s(2)小球追不上氣球　理由見解析解析　(1)設(shè)小球上升的最大高度為h，時(shí)間為t，則h＝，解得h＝20 m，t＝，解得t＝2 s.(2)設(shè)小球達(dá)到與氣球速度相同時(shí)經(jīng)過的時(shí)間是t1，則v氣＝v小＝v0－gt1，解得t1＝1 s設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)氣球上升的高度為x氣，小球上升的高度為x小，則x氣＝v氣t1＝10 mx小＝v0t1－gt12＝15 m由于x氣＋6 m>x小，所以小球追不上氣球．

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