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　　　　　　　　　　　　　　勻變速直線運動的平均速度公式　v－t圖像求位移

[學習目標]　1.理解平均速度公式．并能用平均速度公式解決相關問題.2.會用v－t圖像求位移并判定變加速直線運動位移的大?。?br />
一、平均速度公式的理解與應用
導學探究　如圖1所示，如果勻變速直線運動的初速度為v0，末速度為v，這段時間中間時刻的瞬時速度為，試推導＝＝.

圖1
答案　方法一　解析法
在勻變速直線運動中，對于這段時間t，其中間時刻的瞬時速度＝v0＋at，該段時間的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定義式和勻變速直線運動的位移公式整理加工可得＝＝＝v0＋at＝＝＝＝，即＝＝.
方法二　圖像法

這段時間位移x＝t
平均速度＝＝
中間時刻的瞬時速度對應梯形中位線高，故＝
知識深化
1．平均速度公式：＝＝
(1)勻變速直線運動中任意一段時間t內的平均速度等于該段時間的中間時刻的瞬時速度，還等于該段時間初、末速度矢量和的一半．
(2)若同時涉及位移與時間而不涉及加速度，選用平均速度公式及中間時刻瞬時速度公式＝，＝.
2．三個平均速度公式的比較
＝適用于任何運動；
＝及＝僅適用于勻變速直線運動．
某汽車從車站由靜止開出，做勻加速直線運動，運動了12 s時，發(fā)現(xiàn)還有乘客沒上來，于是汽車立即做勻減速直線運動至停下，共歷時20 s，運動了50 m，求汽車在上述運動中的最大速度的大小．
答案　5 m/s
解析　由于汽車在前、后兩階段均做勻變速直線運動，設最大速度為vm，則x1＝t1①
x2＝t2②
由①＋②得x1＋x2＝(t1＋t2)
解得vm＝＝5 m/s.
2019年6月6日，中國科考船“科學”號對馬里亞納海溝南側系列海山進行調查，船上搭載的“發(fā)現(xiàn)”號遙控無人潛水器完成了本航次第10次下潛作業(yè)，“發(fā)現(xiàn)”號下潛深度可達6 000 m以上，如圖2所示．潛水器完成作業(yè)后上浮，上浮過程初期可看作勻加速直線運動．今測得潛水器相繼經(jīng)過兩段距離為8 m的路程，第一段用時4 s，第二段用時2 s，則其加速度大小是(　　)

圖2
A. m/s2 B. m/s2
C. m/s2 D. m/s2
答案　A
解析　根據(jù)勻變速直線運動中間時刻的速度等于平均速度可知：v1＝ m/s＝2 m/s；v2＝ m/s＝4 m/s
再根據(jù)加速度的定義可知：a＝＝ m/s2＝ m/s2.故選A.
二、 v－t圖像求位移
1．利用v－t圖像求位移
v－t圖線與時間軸所圍的“面積”表示位移．“面積”在時間軸上方表示位移為正，“面積”在時間軸下方表示位移為負；通過的位移為時間軸上、下“面積”絕對值之差．通過的路程為時間軸上、下“面積”絕對值之和．
2．理解
(1)初速度為v0的勻加速直線運動的v－t圖像如圖3甲，其中v0t與矩形面積相等，at2與三角形面積相等，所以x＝v0t＋at2.
(2)當物體做勻減速直線運動時，如圖乙，公式中的a取負值．相當于從勻速直線運動的位移中“減去”了一部分．
　　
圖3
某一做直線運動的物體的v－t圖像如圖4所示，根據(jù)圖像求：

圖4
(1)物體距出發(fā)點的最遠距離；
(2)前4 s內物體的位移大??；
(3)前4 s內物體通過的路程．
答案　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m
解析　(1)當物體運動了3 s時，物體距出發(fā)點的距離最遠，xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m；
(2)前4 s內物體的位移大小x＝|x1|－|x2|＝|v1t1|－|v2t2|＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m；
(3)前4 s內物體通過的路程s＝|x1|＋|x2|＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m.
針對訓練1　(多選)一輛汽車從靜止開始由甲地出發(fā)，沿平直公路開往乙地，汽車先做勻加速直線運動，接著做勻減速直線運動，開到乙地剛好停止，其速度－時間圖像如圖5所示，那么0～t0和t0～3t0 兩段時間內(　　)

圖5
A．加速度大小之比為3∶1
B．位移大小之比為1∶2
C．平均速度大小之比為2∶1
D．平均速度大小之比為1∶1
答案　BD
解析　加速度a＝，由題圖知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，則＝，A項錯誤；位移大小之比等于v－t圖線與t坐標軸所圍圖形的面積之比，即＝，B項正確；平均速度＝，＝1，C項錯誤，D項正確．
針對訓練2　某物體做直線運動，物體的v－t圖像如圖6所示．若初速度的大小為v0，末速度的大小為v1，則在0～t1時間內物體的平均速度________(選填“大于”“等于”或“小于”).

圖6
答案　大于
3．v－t圖像與x－t圖像的比較
內容
種類
v－t圖像
x－t圖像
圖線斜率
表示加速度
表示速度
圖線與時間軸所圍面積
表示位移
無意義
兩圖線交點坐標
表示速度相同，不表示相遇，往往是距離最大或最小的臨界點
表示相遇
相同點
表示物體做直線運動

(2020·廣元天立國際學校高二月考)有四個物體A、B、C、D，物體A、B運動的x－t圖像如圖7甲所示；物體C、D從同一地點沿同一方向運動的v－t圖像如圖乙所示．根據(jù)圖像做出的以下判斷中正確的是(　　)

圖7
A．物體A和B均做勻變速直線運動
B．在0～3 s的時間內，物體A、B的間距逐漸減小
C．t＝3 s時，物體C、D的位移相同
D．在0～3 s的時間內，物體C與D的間距逐漸增大
答案　D
解析　由題圖甲看出：物體A和B的位移－時間圖像都是傾斜的直線，斜率都不變，速度都不變，說明兩物體都做勻速直線運動，故A錯誤；由題圖甲看出，在0～3 s的時間內，物體A的位移都大于B的位移，且從圖像上可以看出兩者之間的距離一直在增大，故B錯誤；由題圖乙可以看出C、D兩物體的v－t圖線在t＝3 s交于一點，所以此時刻C、D的速度一定相同，根據(jù)v－t圖線與t軸所圍面積表示位移以及物體C、D從同一地點沿同一方向運動可知，t＝3 s時物體C、D的位移不相同，故C錯誤；由題圖乙看出：在0～3 s的時間內，D的速度較大，C、D間距離增大，故D正確．


考點一　平均速度公式的運用
1．(2020·河南省高一月考)如圖1所示是我國航母戰(zhàn)斗機在航母上的起飛過程．假設該戰(zhàn)斗機起飛前從靜止開始做勻加速直線運動，達到起飛速度v所通過的位移為x，則該戰(zhàn)斗機起飛前的運動時間為(　　)

圖1
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由平均速度公式可知x＝t，即t＝，故A正確，B、C、D錯誤．
2．一物體從固定斜面上某點由靜止開始沿斜面做勻加速直線運動，經(jīng)過3 s后到達斜面底端，并在水平地面上做勻減速直線運動，又經(jīng)過9 s停止，已知物體經(jīng)過斜面和水平地面交接處時速度大小不變，則物體在斜面上的位移與在水平地面上的位移之比是(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
答案　C
解析　設物體到達斜面底端時的速度為v，
則物體在斜面上的平均速度1＝，
在斜面上的位移x1＝1t1＝t1
在水平地面上的平均速度2＝，
在水平地面上的位移x2＝2t2＝t2
所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故選C.
3．一輛汽車在水平地面上沿直線行駛，在0～2t時間內做勻加速直線運動，速度由0變?yōu)関.在2t～3t時間內做勻減速直線運動，速度由v變?yōu)?，在這兩段時間內，下列說法正確的是(　　)
A．加速度的大小之比為2∶1
B．位移的大小之比為2∶1
C．平均速度的大小之比為1∶2
D．平均速度的大小之比為2∶1
答案　B
解析　根據(jù)題意作出汽車運動的v－t圖像，如圖所示．

根據(jù)圖像的斜率表示加速度，可得加速度的大小之比a1∶a2＝∶＝1∶2，故A錯誤；位移的大小之比x1∶x2＝v·2t∶vt＝2∶1，故B正確；平均速度的大小之比1∶2＝∶＝1∶1，故C、D錯誤．
考點二　v－t圖像的應用
4.(2021·山西大學附中月考)如圖2是物體做直線運動的v－t圖像，由圖可知，該物體(　　)

圖2
A．0～2 s內和0～4 s內的位移不相等
B．0～2 s內和0～4 s內的平均速度大小不相等
C．第1 s內和第4 s內的位移大小不相等
D．第3 s內和第4 s內的加速度不相同
答案　B
解析　0～2 s內物體的位移x2＝ m＝1.5 m，則平均速度2＝＝0.75 m/s.0～4 s內物體的位移x4＝1.5 m＝x2，則平均速度4＝＝0.375 m/s，A錯，B對．第1 s內和第4 s內位移大小均為0.5 m，C錯．第3 s內和第4 s內加速度均為－1 m/s2，D錯．
5.(多選)做直線運動的物體的v－t圖像如圖3所示．由圖像可知(　　)

圖3
A．前10 s物體的加速度為0.5 m/s2，后5 s物體的加速度為－1 m/s2
B．15 s末物體回到出發(fā)點
C．前15 s內物體的位移為37.5 m
D．前10 s內物體的平均速度為2.5 m/s
答案　ACD
解析　在v－t圖像中，圖線斜率表示加速度，故前10 s物體的加速度為a1＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，后5 s物體的加速度為a2＝ m/s2＝－1 m/s2，故A正確；v－t圖線與時間軸所圍“面積”表示位移，故物體在前15 s內的位移為x＝×15×5 m＝37.5 m；前10 s內的平均速度＝＝ m/s＝2.5 m/s，故B錯誤，C、D正確．
6．(多選)做直線運動的物體甲的x－t圖像和物體乙的v－t圖像分別如圖4甲、乙所示，則關于這兩個物體的運動情況，下列說法正確的是(　　)

圖4
A．甲在0～6 s時間內運動方向不變，它通過的總位移大小為4 m
B．甲在0～6 s時間內平均速度為零
C．乙在0～6 s時間內通過的總位移為零
D．乙在0～6 s時間內加速度大小不變，方向發(fā)生了變化
答案　AC
解析　位移－時間圖像中圖線的斜率表示速度，甲在整個過程中圖線的斜率不變，知甲運動的速度不變，總位移為Δx＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A正確，B錯誤；乙在0～6 s內，先向負方向做勻減速直線運動，后向正方向做勻加速直線運動，速度的方向在第3 s時發(fā)生改變，圖線與時間軸圍成的面積表示位移，則乙在0～6 s內總位移為零，故C正確；速度－時間圖像中圖線的斜率表示加速度，題圖乙中圖線的斜率不變，知乙的加速度大小不變，方向也未發(fā)生改變，故D錯誤．
7.如圖5是某物體運動的v－t圖像，根據(jù)圖像求：

圖5
(1)0～6 s內物體的位移為________．
(2)0～2 s內物體的平均速度1＝__________，4～5 s內物體的平均速度2＝___________，1______(選填“＞”“＝”或“＜”)2.
答案　(1)6.5 m　(2)1 m/s　1 m/s?。?br /> 解析　(1)0～5 s內物體向正方向運動
位移x1＝ m＝7 m
5～6 s內物體的位移x2＝－ m＝－0.5 m
0～6 s內物體的位移x＝x1＋x2＝6.5 m
(2)1＝＝1 m/s
2＝＝1 m/s
1＝2.

8．做勻變速直線運動的物體在時間t內的位移為x，設這段位移內中間位置的瞬時速度為v，則(　　)
A．無論是勻加速還是勻減速直線運動，均有v＜
B．無論是勻加速還是勻減速直線運動，均有v＞
C．無論是勻加速還是勻減速直線運動，均有v＝
D．勻加速直線運動時，v＜；勻減速直線運動時，v＞
答案　B
解析　等于t時間內物體的平均速度，也等于t時間內中間時刻的瞬時速度，又因為無論是勻加速還是勻減速直線運動中，任意一段時間內的平均速度總小于中間位置的瞬時速度，故有v＞，故選項B正確．
9．(2021·江蘇宿遷市高一上期末)甲、乙、丙、丁四輛車由同一地點向同一方向運動，甲、乙的x－t圖像和丙、丁的v－t圖像如圖6所示，下列說法中正確的是(　　)

圖6
A．0～t1時間內甲車路程小于乙車路程
B．0～t1時間內的某時刻甲、乙兩車速度相等
C．t2時刻，丙、丁兩車相遇
D．t2時刻丙車加速度比丁車的加速度小
答案　B
10．(2021·鎮(zhèn)江市丹徒高中月考)中國自主研發(fā)的“暗劍”無人機，時速可超過2馬赫．在某次試飛測試中，起飛前無人機沿地面做勻加速直線運動，加速過程中連續(xù)經(jīng)過兩段均為120 m的測試距離，用時分別為2 s和1 s，則無人機的加速度大小是(　　)
A．20 m/s2 B．40 m/s2
C．60 m/s2 D．80 m/s2
答案　B
11．(2021·鎮(zhèn)江市丹徒高中月考)汽車以10 m/s的速度在平直公路上勻速行駛，某時刻駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方15 m處的斑馬線上有行人，經(jīng)過0.5 s反應時間后，采取剎車禮讓行人，汽車恰好停在斑馬線前．汽車運動的v－t圖像如圖7所示，則汽車剎車時的加速度大小為(　　)

圖7
A．20 m/s2 B．6 m/s2
C．5 m/s2 D．4 m/s2
答案　C
解析　減速位移x′＝(15－10×0.5) m＝10 m，減速時間設為t′，x′＝t′，得t′＝2 s，a＝＝5 m/s2，C正確．
12．(2020·山西太原高一上期中)我國“蛟龍?zhí)枴陛d人潛水器進行下潛試驗，從水面開始豎直下潛，最后返回水面，其v－t圖像如圖8所示，則下列說法正確的是(　　)

圖8
A．0～4 min和6～10 min兩時間段平均速度大小相等
B．全過程中的最大加速度為0.025 m/s2
C．3～4 min和6～8 min加速度方向相反
D．本次下潛的最大深度為6 m
答案　A
解析　根據(jù)v－t圖像與橫軸圍成的面積表示位移，則0～4 min內的位移大小為：x＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m；6～10 min內位移大小為x′＝×3.0×240 m＝360 m，可知，0～4 min和6～10 min兩時間段位移大小相等，所用時間相等，則平均速度大小相等，故A正確；v－t圖線的傾斜程度表示加速度的大小，0～1 min和3～4 min加速度最大，大小為a＝＝ m/s2≈0.033 m/s2，故B錯誤；v－t圖像的斜率的正負反映加速度的方向，可知3～4 min和6～8 min加速度方向相同，故C錯誤；由題圖可知t＝4 min時“蛟龍?zhí)枴毕聺摰阶钌钐?，最大深度為：s＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m，故D錯誤．

13.甲、乙兩汽車在一平直公路上同向行駛．在t＝0到t＝t1的時間內，它們的v－t圖像如圖9所示．在這段時間內(　　)

圖9
A．汽車甲的平均速度比乙大
B．汽車乙的平均速度等于
C．甲、乙兩汽車的位移相同
D．汽車甲的加速度大小逐漸減小，汽車乙的加速度大小逐漸增大
答案　A
解析　因為v－t圖線與t坐標軸所圍的面積表示物體的位移，故在0～t1時間內，甲車的位移大于乙車，故根據(jù)＝可知，甲車的平均速度大于乙車，選項A正確，C錯誤；因為乙車做變減速運動，故平均速度不等于，選項B錯誤；因為v－t圖線的切線斜率的絕對值等于物體的加速度大小，故甲、乙兩車的加速度大小均逐漸減小，選項D錯誤．

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