勻變速直線運(yùn)動的位移差公式　逐差法求加速度 [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解位移差公式并能解決相關(guān)問題.2.會用逐差法求加速度．一、位移差公式Δx＝aT21．內(nèi)容：做勻變速直線運(yùn)動的物體，在任意兩個連續(xù)相等的時間T內(nèi)的位移差是個常量，即Δx＝aT2.2.推導(dǎo)：如圖1，x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a(2T)2－(v0T＋aT2)＝v0T＋aT2，所以Δx＝x2－x1＝aT2.圖13．應(yīng)用(1)判斷物體是否做勻變速直線運(yùn)動如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，則a為一恒量，說明物體做勻變速直線運(yùn)動．(2)求加速度利用Δx＝aT2，可求得a＝.(多選)(2019·長春外國語學(xué)校月考)一質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動，第3 s內(nèi)的位移是2 m，第4 s內(nèi)的位移是2.5 m，求：(1)第2 s內(nèi)的位移大小；(2)第3 s末的速度大小；(3)質(zhì)點(diǎn)的加速度大小．答案　(1)1.5 m　(2)2.25 m/s　(3)0.5 m/s2解析　(1)由x3－x2＝x4－x3可知，第2 s內(nèi)的位移大小x2＝1.5 m；(2)第3 s末的瞬時速度等于2～4 s內(nèi)的平均速度，所以v3＝＝2.25 m/s；(3)由Δx＝aT2，得a＝＝0.5 m/s2.從斜面上某一位置每隔0.1 s靜止釋放一個相同的小球，釋放后小球做勻加速直線運(yùn)動，在連續(xù)釋放幾個小球后，對在斜面上滾動的小球拍下如圖2所示的照片(照片與實際大小相同)，測得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm.求：圖2(1)小球的加速度的大小；(2)拍攝時小球在B點(diǎn)時的速度的大小；(3)拍攝時C、D間的距離xCD；(4)A點(diǎn)的上方滾動的小球還有幾個．答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m　(4)2個解析　(1)由推論Δx＝aT2可知，小球加速度為a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2.(2)由題意知B點(diǎn)對應(yīng)AC段的中間時刻，所以B點(diǎn)的速度等于AC段的平均速度，即vB＝＝ m/s＝1.75 m/s.(3)由于連續(xù)相等時間內(nèi)位移差恒定，所以xCD－xBC＝xBC－xAB，得xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝0.25 m.(4)設(shè)A點(diǎn)處小球的速度為vA，由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s，所以A點(diǎn)處小球的運(yùn)動時間為tA＝＝0.25 s，所以在A點(diǎn)的上方滾動的小球還有2個．  二、逐差法求加速度1．紙帶上提供的數(shù)據(jù)為偶數(shù)段．(1)若已知連續(xù)相等時間內(nèi)的兩段位移．由x2－x1＝aT2，得a＝(2)若已知連續(xù)相等時間內(nèi)的四段位移．可以簡化成兩大段AC、CE研究xⅠ＝x1＋x2xⅡ＝x3＋x4tAC＝tCE＝2Ta＝＝(3)若已知連續(xù)相等時間內(nèi)的六段位移可以簡化成兩大段AD、DG研究xⅠ＝x1＋x2＋x3xⅡ＝x4＋x5＋x6a＝＝.2．紙帶上提供的數(shù)據(jù)為奇數(shù)段可以先舍去一個較小的數(shù)據(jù)，選取偶數(shù)段數(shù)據(jù)再利用上述方法求解．在“探究小車速度隨時間變化的規(guī)律”的實驗中，打點(diǎn)計時器打出的一條紙帶如圖3所示，A、B、C、D、E是在紙帶上所選的計數(shù)點(diǎn)，相鄰兩計數(shù)點(diǎn)間的時間間隔為0.1 s，各計數(shù)點(diǎn)與A計數(shù)點(diǎn)間的距離在圖中已標(biāo)出．則在打B點(diǎn)時，小車的速度為________ m/s，并可求得小車的加速度大小為________ m/s2.圖3答案　0.26　0.4解析　由紙帶數(shù)據(jù)經(jīng)計算可知小車在做勻變速直線運(yùn)動，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動某段時間中間時刻的瞬時速度等于該段時間內(nèi)的平均速度，可知vB＝＝ m/s＝0.26 m/s，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的推論Δx＝aT2，可知加速度a＝＝×10－3 m/s2＝0.4 m/s2.研究小車勻變速直線運(yùn)動的實驗裝置如圖4所示．其中斜面傾角θ可調(diào)，打點(diǎn)計時器的工作頻率為50 Hz，紙帶上相鄰兩計數(shù)點(diǎn)間的距離如圖5所示，其中每兩個相鄰計數(shù)點(diǎn)之間還有四個點(diǎn)未畫出．圖4圖5(1)部分實驗步驟如下：A．測量完畢，關(guān)閉電源，取出紙帶B．接通電源，待打點(diǎn)計時器工作穩(wěn)定后放開小車C．將小車停靠在打點(diǎn)計時器附近，小車尾部與紙帶相連D．把打點(diǎn)計時器固定在斜面上，讓紙帶穿過限位孔上述實驗步驟的正確順序是________．(用步驟前的字母填寫)(2)圖5中標(biāo)出的相鄰兩計數(shù)點(diǎn)間的時間間隔T＝________ s.(3)打計數(shù)點(diǎn)5時小車的瞬時速度大小的計算式為v5＝________.(4)為了充分利用紙帶上的測量數(shù)據(jù)，減小誤差，小車加速度大小的計算式應(yīng)為a＝________.答案　(1)DCBA　(2)0.1　(3)　(4)解析　(1)實驗步驟：先固定打點(diǎn)計時器，再放置小車，然后接通電源，釋放小車，最后關(guān)閉電源，取出紙帶，所以實驗步驟的正確順序是DCBA.(2)每兩個相鄰計數(shù)點(diǎn)之間還有四個點(diǎn)沒有畫出，所以相鄰兩計數(shù)點(diǎn)間的時間間隔T＝0.02 s×5＝0.1 s.(3)根據(jù)勻變速直線運(yùn)動某段時間中間時刻的瞬時速度等于該段時間的平均速度，有v5＝.(4)根據(jù)逐差法計算加速度，有a＝.(2020·山東濱州五校高一上期中聯(lián)考)如圖6所示為“測定小車做勻加速直線運(yùn)動加速度”的實驗中得到的一條紙帶，舍去開始比較密集的點(diǎn)，按時間順序標(biāo)注0、1、2、3、4、5共六個計數(shù)點(diǎn)，相鄰兩計數(shù)點(diǎn)間有四個點(diǎn)沒有畫出，相鄰兩計數(shù)點(diǎn)間的距離已在圖中標(biāo)出．已知交變電源的頻率為50 Hz.圖6(1)圖中紙帶________(選填“左”或“右”)端與小車相連；(2)相鄰兩計數(shù)點(diǎn)間的時間間隔為________ s；(3)由圖給數(shù)據(jù)可以計算出小車運(yùn)動的加速度a＝________ m/s2(保留2位有效數(shù)字)；(4)打下計數(shù)點(diǎn)2時小車的速度v2＝________ m/s(保留2位有效數(shù)字)；(5)若繼續(xù)取計數(shù)點(diǎn)6、7，則計數(shù)點(diǎn)6、7之間的距離應(yīng)為________ cm.答案　(1)左　(2)0.1　(3)2.0　(4)0.80　(5)17.00解析　(1)根據(jù)紙帶數(shù)據(jù)可知紙帶左端與小車相連．(2)相鄰兩計數(shù)點(diǎn)間的時間間隔T＝0.02 s×5＝0.1 s.(3)小車的加速度a＝＝×10－2 m/s2＝2.0 m/s2.(4)根據(jù)某段時間內(nèi)的平均速度等于這段時間中間時刻的瞬時速度，再結(jié)合速度公式v＝v0＋at，可得v2＝＋a×T＝×10－2 m/s＋2.0××0.1 m/s＝0.80 m/s.(5)由題圖和逐差法可知x67－x34＝x34－x01，解得x67＝2x34－x01＝(2×11.00－5.00) cm＝17.00 cm.處理紙帶數(shù)據(jù)的方法處理紙帶數(shù)據(jù)時，通常對位移、速度、加速度逐一處理：(1)可用“位移差”法判斷物體的運(yùn)動情況；(2)可利用勻變速直線運(yùn)動中一段時間內(nèi)的平均速度等于該段時間內(nèi)中間時刻的瞬時速度求打紙帶上某點(diǎn)時物體的瞬時速度；(3)可用逐差法求加速度，以便充分利用測量數(shù)據(jù)，減小誤差．考點(diǎn)一　位移差公式的應(yīng)用1．(多選)如圖1所示，物體做勻加速直線運(yùn)動，A、B、C、D為其運(yùn)動軌跡上的四點(diǎn)，測得AB＝2 m，BC＝3 m，且物體通過AB、BC、CD所用的時間均為0.2 s，則下列說法正確的是(　　)圖1A．物體的加速度為20 m/s2B．物體的加速度為25 m/s2C．CD＝4 mD．CD＝5 m答案　BC解析　由勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律，連續(xù)相等時間內(nèi)的位移差為常數(shù)，即Δx＝aT2，可得：a＝＝25 m/s2，故A錯誤，B正確；根據(jù)CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正確，D錯誤．2．一物體從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，已知第3 s內(nèi)與第2 s內(nèi)的位移之差是6 m，則可知(　　)A．物體運(yùn)動的加速度大小為3 m/s2B．第2 s末的速度大小為12 m/sC．第1 s內(nèi)的位移大小為1 mD．物體在前4 s內(nèi)的平均速度大小為15 m/s答案　B解析　根據(jù)Δx＝aT2可得物體運(yùn)動的加速度a＝＝ m/s2＝6 m/s2，A錯誤；第2 s末的速度v2＝at2＝6×2 m/s＝12 m/s，B正確；第1 s內(nèi)的位移x1＝at12＝×6×12 m＝3 m，C錯誤；物體在前4 s內(nèi)的位移x4＝at42＝×6×42 m＝48 m，則物體在前4 s內(nèi)的平均速度＝＝ m/s＝12 m/s，D錯誤．3.(多選)(2021·山西大學(xué)附中月考)如圖2，一質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)開始做勻加速直線運(yùn)動，隨后依次經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)．已知AB段、CD段距離分別為5 m、13 m，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過AB段、BC段、CD段時間相等，均為1 s，則(　　)圖2A．質(zhì)點(diǎn)的加速度大小為4 m/s2B．質(zhì)點(diǎn)的加速度大小為2 m/s2C．質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度大小為11 m/sD．質(zhì)點(diǎn)在B點(diǎn)的速度大小為6 m/s答案　AC解析　AB、BC、CD段時間相等，均為T＝1 s由x3－x1＝2aT2得a＝＝ m/s2＝4 m/s2由x2－x1＝x3－x2得BC段長度x2＝9 mB點(diǎn)對應(yīng)AC段的中間時刻，vB＝AC＝＝ m/s＝7 m/sC點(diǎn)對應(yīng)BD段的中間時刻，vC＝BD＝＝ m/s＝11 m/s，故A、C正確．4.如圖3所示，一物塊從一光滑且足夠長的固定斜面頂端O點(diǎn)無初速度釋放后做勻加速直線運(yùn)動，先后通過P、Q、N三點(diǎn)，已知物塊從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)與從Q點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)所用的時間相等，且PQ長度為2 m，QN長度為4 m，則由上述數(shù)據(jù)可以求出OP的長度為(　　)圖3A. m   B．1 mC. m   D．1.2 m答案　A解析　設(shè)物塊從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)與從Q點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)所用的時間均為t，加速度均為a，由Δx＝at2得，加速度：a＝＝＝，Q點(diǎn)的速度為PN段的平均速度：vQ＝PN＝＝，則OQ間的長度：xOQ＝＝×＝ m，則OP長度：xOP＝xOQ－xPQ＝(－2) m＝ m，故B、C、D錯誤，A正確．5．為了測定某轎車在平直路上啟動階段的加速度(轎車啟動時的運(yùn)動可近似看成是勻加速直線運(yùn)動)，某人拍攝了一張在同一底片上多次曝光的照片，如圖4所示，如果拍攝時每隔2 s曝光一次，轎車車身總長為4.5 m，那么這輛轎車的加速度為(　　)圖4A．1 m/s2   B．2.25 m/s2C．3 m/s2   D．4.25 m/s2答案　B解析　轎車車身總長為4.5 m，則題圖中每一小格為1.5 m，由此可算出兩段距離分別為x1＝12 m和x2＝21 m，又T＝2 s，則a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，故選B.考點(diǎn)二　逐差法求加速度6．(1)電火花計時器使用________電源(選填“直流”或“交流”)，工作電壓為________ V.(2)在某次用打點(diǎn)計時器(工作頻率為50 Hz)測定已知做勻變速直線運(yùn)動物體的加速度實驗中，所獲得的紙帶如圖5所示．選好0點(diǎn)后，每5個間隔點(diǎn)取一個計數(shù)點(diǎn)(中間的4個點(diǎn)圖中未畫出)，依次取得1、2、3、4點(diǎn)，測得的數(shù)據(jù)如圖所示．圖5則紙帶的加速度大小為________ m/s2，“1”這一點(diǎn)的速度大小為________ m/s.(結(jié)果均保留三位有效數(shù)字)答案　(1)交流　220　(2)0.800　0.461解析　(1)電火花計時器使用交流電源，工作電壓為220 V；(2)每5個間隔點(diǎn)取一個計數(shù)點(diǎn)，所以相鄰的計數(shù)點(diǎn)間的時間間隔T＝0.1 s，由逐差法得：a＝＝×10－2 m/s2＝0.800 m/s2，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動時間中點(diǎn)的速度等于該過程中的平均速度，可以求出打紙帶上1點(diǎn)時的速度大?。?/span>v1＝＝ m/s≈0.461 m/s.7．在“探究小車速度隨時間變化的規(guī)律”的實驗時，要用到打點(diǎn)計時器，打點(diǎn)計時器是一種計時儀器，其電源頻率為50 Hz，打點(diǎn)周期為0.02 s.(1)接通打點(diǎn)計時器電源和讓紙帶開始運(yùn)動，這兩個操作之間的時間順序關(guān)系是________．A．先接通電源，后讓紙帶運(yùn)動B．先讓紙帶運(yùn)動，再接通電源C．讓紙帶運(yùn)動的同時接通電源D．先讓紙帶運(yùn)動或先接通電源都可以(2)某同學(xué)在實驗中，用打點(diǎn)計時器記錄了被小車拖動的紙帶的運(yùn)動情況，在紙帶上確定了A、B、C、D、E、F、G共7個計數(shù)點(diǎn)，其相鄰點(diǎn)間的距離如圖6所示，每兩個相鄰計數(shù)點(diǎn)之間還有四個點(diǎn)未畫出，試根據(jù)紙帶上各個計數(shù)點(diǎn)間的距離，(計算結(jié)果均保留兩位有效數(shù)字)圖6①計算出打下D點(diǎn)時小車的瞬時速度為________ m/s.②計算出小車的加速度為________ m/s2.答案　(1)A　(2)①0.56　②0.808．在“研究小車做勻變速直線運(yùn)動”的實驗中，電源頻率為50 Hz，如圖7為一次記錄小車運(yùn)動情況的紙帶，圖中A、B、C、D、E、F、G為相鄰的計數(shù)點(diǎn)，在相鄰計數(shù)點(diǎn)之間還有4個點(diǎn)未畫出．圖7(1)根據(jù)紙帶可知，相鄰計數(shù)點(diǎn)之間的時間間隔為____ s，打C點(diǎn)時小車的瞬時速度為vC＝______ m/s，小車運(yùn)動的加速度a＝________ m/s2.(后兩空結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)(2)若交流電的頻率變?yōu)?/span>51 Hz而未被發(fā)覺，則測得的小車的速度值與真實值比較將偏________(選填“大”或“小”)．(已知打點(diǎn)周期T與交流電的頻率關(guān)系為T＝)答案　(1)0.1　0.20　0.50　(2)小解析　(1)電源頻率為50 Hz，則相鄰兩個點(diǎn)之間的時間間隔為0.02 s，由于相鄰計數(shù)點(diǎn)之間還有4個點(diǎn)未畫出，所以相鄰計數(shù)點(diǎn)之間的時間間隔為T＝0.1 s；利用中間時刻的速度等于這段時間內(nèi)的平均速度即可求得vC＝＝ m/s≈0.20 m/s；根據(jù)Δx＝aT2可得加速度為：a＝，代入數(shù)據(jù)可得：a＝0.50 m/s2.(2)當(dāng)交流電的頻率變?yōu)?/span>51 Hz時，打點(diǎn)的時間間隔減小，所以相鄰計數(shù)點(diǎn)之間的時間間隔T減小，而此時還是以50 Hz對應(yīng)的打點(diǎn)周期去計算，根據(jù)v＝可知測得的小車的速度值與真實值比較將偏小．

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