人教A版 (2019)選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何1.3 空間向量及其運算的坐標表示課后作業(yè)題-試卷下載-教習網(wǎng)

五　空間向量運算的坐標表示(15分鐘　30分)1．已知a＝，b＝，則a與b(　　)A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向【解析】選A.因為a＝，b＝，所以a·b＝－5×6＋6×5＋1×0＝0，所以a⊥b.2．已知向量a＝，b＝，若·＝2，則k的值等于(　　)A．1 B． C． D．【解析】選D.由已知得＝，＝2，且a·b＝0，由·＝2得k|a|2＋k|b|2＋a·b＝2，即2k＋8k＝2，解得k＝.3．若向量a＝，b＝，且a，b 夾角的余弦值為，則x等于(　　)A．2 B．－2C．－2或 D．2或－【解析】選C.cos 〈a，b〉＝＝＝，解得x＝－2或x＝.4．已知a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，a⊥b，則x＋y的值是________．【解析】因為a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，|a|＝6，a⊥b，所以解得或因此x＋y＝1或－3.答案：－3或15．如圖，BC＝2，原點O是BC的中點，點A的坐標為，點D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.(1)求向量的坐標．(2)求與的夾角的余弦值．【解析】(1)過D作DE⊥BC于E，則DE＝CD·sin 30°＝，OE＝OB－BD cos 60°＝1－＝，所以D點坐標為，又因為C(0，1，0)，所以＝.(2)依題設(shè)，A點坐標為，所以＝，＝(0，2，0)，則與的夾角的余弦值為cos 〈，〉＝＝－.(30分鐘　60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則＝＝是a∥b的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】選A.設(shè)＝＝＝λ，則有a＝λb(b≠0)，所以a∥b，即正推成立；若b＝0，恒有a∥b但，，均無意義，逆推不成立．2．若四棱錐P-ABCD中底面ABCD是平行四邊形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，則PA與底面ABCD的關(guān)系是(　　)A．相交 B．垂直C．平行 D．成60°角【解析】選B.·＝－2－2＋4＝0，·＝－4＋4＋0＝0，即AP⊥AB，AP⊥AD，且AB∩AD＝A，則PA⊥平面ABCD.3．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，則cos 〈a，b〉＝(　　)A． B． C． D．【解析】選C.由已知，得a＝(1，，)，b＝(1，0，)，所以cos 〈a，b〉＝＝＝.4．已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1為正方體．則下列結(jié)論不正確的是(　　)A．＝B．＝0C．向量與向量的夾角是120°D．正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為【解析】選D.不妨設(shè)正方體的棱長為1，以{，， }為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則各點坐標為A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).因為＝(0，0，－1)＋(－1，0，0)＋(0，1，0)＝(－1，1，－1)，所以()2＝| |2＝3；3＝3| |2＝3×12＝3.故A正確，不符合題意．因為＝(－1，1，－1)，＝(0，1，1)，所以＝0＋1－1＝0.故B正確，不符合題意．因為＝(－1，0，1)，＝(0，1，－1)，所以·＝0＋0－1＝－1，||＝，||＝，所以cos 〈，〉＝＝＝－，所以向量與向量的夾角是120°，故C正確，不符合題意．因為AB⊥AA1，所以·＝0，所以|··|＝|0·|＝0，故D錯誤，符合題意．二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．已知點P是△ABC所在的平面外一點，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，則(　　)A．AP⊥AB B．AP⊥ BPC．BC＝ D．AP∥ BC【解析】選AC.因為·＝0，故A正確；＝(3，－3，－3)，·＝3＋6－3＝6≠0，故B不正確；＝(6，1，－4)，＝＝，故C正確；＝(1，－2，1)，＝(6，1，－4)，各個對應(yīng)分量的比值不同，故D不正確．6．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝(－1，5，－3)，下列等式中正確的是(　　)A．(a·b)c＝b·cB．(a＋b)·c＝a·(b＋c)C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2D．|a＋b＋c|＝|a－b－c|【解析】選BCD.A.左邊為向量，右邊為實數(shù)，顯然不相等，不正確；B.左邊＝(4，2，2)·(－1，5，－3)＝0，右邊＝(1，2，3)·(2，5，－4)＝2＋10－12＝0，所以左邊＝右邊，因此正確．C．a＋b＋c＝(3，7，－1)，左邊＝32＋72＋(－1)2＝59，右邊＝12＋22＋32＋32＋0＋(－1)2＋(－1)2＋52＋(－3)2＝59，所以左邊＝右邊，因此正確．D．由C可得：左邊＝，因為a－b－c＝(－1，－3，7)，所以|a－b－c|＝，所以左邊＝右邊，因此正確．綜上可得BCD正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．已知a＝，b＝，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是________．【解題指南】利用空間向量的夾角為鈍角求參數(shù)的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為兩向量數(shù)量積為負，且兩向量不共線，結(jié)合空間向量的坐標運算得出不等式組求解．【解析】由題意可知a·b<0且a與b不共線，則a·b＝3×－2×－3×1＝－2x－4<0，解得x>－2.若a與b共線，則＝，得x＝，因為a與b不共線，則x≠，因此實數(shù)x的取值范圍是∪.答案：∪8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為A1D1，BB1的中點，則cos ∠EAF＝________，EF＝________．【解析】以A為原點，AB，AD，AA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設(shè)正方體棱長為1，則E，F，所以＝，＝，＝，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以cos ∠EAF＝，EF＝||＝＝.答案：　四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知向量a＝，b＝，c＝(3，m，n).(1)求a－b；(2)若a∥c，求m，n；(3)求cos 〈a，b〉．【解析】(1)因為a＝，b＝，所以a－b＝－＝＝.(2)因為a＝，c＝，若a∥c，則＝＝，解得m＝6，n＝－6.(3)因為a＝，b＝，所以a·b＝1×4＋2×＋×4＝－8，＝＝3，＝＝6，cos 〈a，b〉＝＝＝－.10．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是DD1，BD，BB1的中點．(1)求證：EF⊥CF；(2)求與所成角的余弦值；(3)求CE的長．【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.則D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G，所以＝，＝，＝，＝.(1)因為·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.(2)因為·＝×1＋×0＋×＝，＝＝，＝＝，所以cos 〈，〉＝＝＝.(3)||＝＝.【創(chuàng)新遷移】1．已知＝，＝，＝，點Q在直線OP上運動，則當·取得最小值時，點Q的坐標為(O為坐標原點)(　　)A． B．C． D．【解析】選B.設(shè)Q(x，y，z)，則＝(x，y，z)，因為點Q在直線OP上運動，所以∥，所以＝＝，即y＝x，z＝2x，所以＝(x，x，2x)，所以·＝(－)·(－)＝(1－x，2－x，3－2x)·(2－x，1－x，2－2x)＝(1－x)(2－x)＋(2－x)(1－x)＋(3－2x)(2－2x)＝6x2－16x＋10，所以當x＝－＝時，·取得最小值，此時點Q的坐標為.2．已知空間三點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).(1)若＝，且a分別與，垂直，求向量a的坐標；(2)若∥，且＝2，求點P的坐標．【解析】(1)＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2).設(shè)a＝(x，y，z)，因為|a|＝，且a分別與，垂直，所以解得或所以a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1).(2)因為∥，所以可設(shè)＝λ.因為＝(3，－2，－1)，所以＝(3λ，－2λ，－λ).又因為＝2，所以＝2，解得λ＝±2.所以＝(6，－4，－2)或＝(－6，4，2).設(shè)點P的坐標為(x，y，z)，則＝(x，y－2，z－3).所以或解得或故所求點P的坐標為(6，－2，1)或(－6，6，5).