四　空間直角坐標(biāo)系(15分鐘　30分)1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)相同B．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同C．向量的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同D．向量的坐標(biāo)與向量－的坐標(biāo)相同【解析】選D.因?yàn)?/span>＝－，所以向量的坐標(biāo)與向量－的坐標(biāo)相同．2．已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA＝AB＝AC＝1.如圖建立空間直角坐標(biāo)系Axyz.設(shè)G為△PBC的重心，則的坐標(biāo)為(　　)A．        B．C．        D．【解析】選D.由題意，可知B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1).取BC的中點(diǎn)M，則M.連接PM.因?yàn)?/span>G為△PBC的重心，設(shè)G的坐標(biāo)為(x，y，z)，由＝，得(x，y，z－1)＝，從而得G.則＝.3．設(shè){i，j，k}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，則向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐標(biāo)分別是________．【解析】因?yàn)?/span>{i，j，k}是單位正交基底，根據(jù)空間向量坐標(biāo)的概念知a＝(3，2，－1)，b＝(－2，4，2).答案：(3，2，－1)，(－2，4，2)4．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD＝1，則的坐標(biāo)為________．【解析】因?yàn)?/span>PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以M，P(0，0，1)，C(－1，1，0)，則N，所以＝.答案：5．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝3，DC＝5，DD1＝4，在如圖建立的空間直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)B1與向量的坐標(biāo)．【解析】記x，y，z軸正方向上的單位向量分別為i，j，k，則＝3i，＝5j，＝4k，所以＝＋＋＝＋＋＝3i＋5j＋4k＝(3，5，4)，即B1的坐標(biāo)為(3，5，4).＝＋＋＝－＋＝5j－3i＋4k＝－3i＋5j＋4k＝(－3，5，4).(20分鐘　40分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．點(diǎn)M(－1，3，－4)在坐標(biāo)平面Oxy，Oxz，Oyz內(nèi)的射影的坐標(biāo)分別是(　　)A．(－1，3，0)，(－1，0，－4)，(0，3，－4)B．(0，3，－4)，(－1，0，－4)，(0，3，－4)C．(－1，3，0)，(－1，3，－4)，(0，3，－4)D．(0，0，0)，(－1，0，0)，(0，2，30)【解析】選A.點(diǎn)M在平面Oxy，Oxz，Oyz內(nèi)的射影的坐標(biāo)中，分別是豎坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)為0(其余的坐標(biāo)不變).2．已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基底{，， }下的坐標(biāo)為(2，1，－3)，則向量a在基底{，， }下的坐標(biāo)為(　　)A．(2，1，－3)       B．(－1，2，－3)C．(1，－8，9)       D．(－1，8，－9)【解析】選B.因?yàn)?/span>a＝2＋－3＝2－－3＝－＋2－3，所以向量a在基底{，，}下的坐標(biāo)為(－1，2，－3).3．設(shè){i，j，k}是單位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，則向量p在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(　　)A．(12，14，10)       B．(10，12，14)C．(14，12，10)       D．(4，3，2)【解析】選A.依題意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(12，14，10).4．已知向量和在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)分別為(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，則向量在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)是(　　)A．       B．C．        D．【解析】選A.因?yàn)?/span>＝－＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，所以＝＝－a－b－c，所以向量在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)是.二、填空題(每小題5分，共10分)5．若四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．【解析】由四邊形ABCD是平行四邊形知＝，設(shè)D(x，y，z)，則＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1，12，－6)，所以解得即D點(diǎn)坐標(biāo)為(5，13，－3).答案：(5，13，－3)6．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(2，1，－1)，則p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為________．【解析】由題意知p＝2a＋b－c，則向量p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為(1，1，1).設(shè)向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又因?yàn)?/span>p＝2a＋b－c，所以解得x＝，y＝，z＝－1，所以p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為.答案：(1，1，1)　三、解答題7．(10分)如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，PO＝1，M是PC的中點(diǎn)．設(shè)＝a，＝b，＝c.(1)用向量a，b，c表示.(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求的坐標(biāo)．【解析】(1)因?yàn)?/span>＝＋，＝，＝，＝－，＝＋，所以＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.(2)設(shè)a＝i，b＝j，z軸上的單位向量為k，則c＝i＋j＋k，所以＝－i＋j＋i＋j＋k＝－i＋j＋k＝.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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