A級(jí)——基礎(chǔ)過關(guān)練
1.已知a＝(－5，6，1)，b＝(6，5，0)，則a與b( )
A.垂直 B.不垂直也不平行
C.平行且同向 D.平行且反向
【答案】A 【解析】因?yàn)閍＝(－5，6，1)，b＝(6，5，0)，所以a·b＝－5×6＋6×5＋1×0＝0，所以a⊥b.故選A.
2.已知向量a＝(1，0，1)，b＝(2，0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，則k的值等于( )
A.1 B. eq \f(3,5)C. eq \f(2,5)D. eq \f(1,5)
【答案】D 【解析】由已知得|a|＝ eq \r(2)，|b|＝2 eq \r(2)，且a·b＝0，由(ka＋b)·(a＋kb)＝2得k|a|2＋k|b|2＋(k2＋1)a·b＝2，即2k＋8k＝2，解得k＝ eq \f(1,5).故選D.
3.(2023年杭州檢測(cè))已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為( )
A. eq \f(5π,6)B. eq \f(2π,3)C. eq \f(π,3)D. eq \f(π,6)
【答案】D 【解析】因?yàn)閍·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，所以cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a|×|b|)＝ eq \f(3,\r(2)×\r(6))＝ eq \f(\r(3),2).又因?yàn)椤碼，b〉∈[0，π]，所以a與b的夾角為 eq \f(π,6).故選D.
4.(2023年鄂州檢測(cè))已知空間三點(diǎn)A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)，若 eq \(AP,\s\up6(→))∥ eq \(BC,\s\up6(→))，且| eq \(AP,\s\up6(→))|＝ eq \r(14)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(4，－2，2)
B.(－2，2，4)
C.(4，－2，2)或(－2，2，4)
D.(－4，2，－2)或(2，－2，4)
【答案】C 【解析】設(shè)P(x，y，z)，則 eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y，z－3)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，因?yàn)?eq \(AP,\s\up6(→))∥ eq \(BC,\s\up6(→))，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(BC,\s\up6(→))＝(3λ，－2λ，－λ)，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝3λ，,y＝－2λ，,z－3＝－λ，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3λ＋1，,y＝－2λ，,z＝－λ＋3，))所以P(3λ＋1，－2λ，－λ＋3).又因?yàn)閨 eq \(AP,\s\up6(→))|＝ eq \r(14)，所以 eq \r((3λ)2＋(－2λ)2＋(－λ)2)＝ eq \r(14)，解得λ＝1或λ＝－1，所以P(4，－2，2)或P(－2，2，4).故選C.
5.已知{a，b，c}是空間的一個(gè)單位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空間的另一個(gè)基底.若向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(4，2，3)，則在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為( )
A.(4，0，3) B.(1，2，3)
C.(3，1，3) D.(2，1，3)
【答案】C 【解析】設(shè)向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p＝4a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，整理得4a＋2b＋3c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝2，,z＝3，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，,z＝3，))所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)是(3，1，3).故選C.
6.記{i，j，k}為單位正交基底，若向量a＝2i－j＋k，b＝4i＋9j＋k，則這兩個(gè)向量的位置關(guān)系是( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.以上答案都不正確
【答案】B 【解析】向量a＝2i－j＋k，b＝4i＋9j＋k，則向量a，b的坐標(biāo)為a＝(2，－1，1)，b＝(4，9，1).因?yàn)閍·b＝8－9＋1＝0，故a，b兩個(gè)向量的位置關(guān)系為垂直.
7.(多選)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，則下列結(jié)論不正確的是( )
A.a＋b＝(10，－5，－6)
B.a－b＝(2，－1，－6)
C.a·b＝10
D.|a|＝6
【答案】ABC 【解析】a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，a·b＝22，|a|＝6，所以A，B，C錯(cuò).
8.已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b與b垂直，則k＝________.
【答案】7 【解析】因?yàn)?ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0.所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－( eq \r(12＋22＋32))2＝0，解得k＝7.
9.若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.
【答案】(－∞，－2) 【解析】a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，設(shè)a，b的夾角為θ，因?yàn)棣葹殁g角，所以cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)0，|b|>0，所以a·b

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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