?單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(一)(第一章)
(120分鐘　150分)
一、單選題(每小題5分，共40分)
1．設(shè)直線l的方向向量v＝，平面α的法向量n＝，若l⊥α，則x＝(　　)
A．－1 B．0 C．5 D．4
【解析】選A.由l⊥α，則v∥n，
則存在非零常數(shù)λ，使得v＝λn，
即解得x＝－1.
2．空間中，與向量a＝(3，0，4)同向共線的單位向量為(　　)
A．e＝(1，0，1)
B．e＝(1，0，1)或e＝(－1，0，－1)
C．e＝
D．e＝或e＝
【解析】選C.因?yàn)閨a|＝＝5，
所以與a同向共線的單位向量e＝＝(3，0，4)＝.
3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點(diǎn)F是側(cè)面CD1的中心，且＝＋m－n，則m，n的值分別為(　　)
A．，－ B．－，－
C．－， D．，
【解析】選A.由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－.
4．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是(　　)

A. B． C． D．
【解析】選B.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則O，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，
C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，

所以＝，
由于AB⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1，
所以AB⊥A1D，又AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，
所以A1D⊥平面ABC1D1，
故平面ABC1D1的一個(gè)法向量為＝(1，0，1)，
所以O(shè)到平面ABC1D1的距離d＝＝＝.
5．已知空間中三點(diǎn)A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，則(　　)
A．與是共線向量
B．的單位向量是
C．與夾角的余弦值是
D．平面ABC的一個(gè)法向量是
【解析】選D.由題意，對(duì)于A，＝，＝，所以≠λ，
則與不是共線向量，所以A項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以的單位向量為或?br /> 所以B項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
對(duì)于C，向量＝，＝，
所以cos 〈，〉＝＝－，
所以C項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
對(duì)于D，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量是n＝，
因?yàn)椋?，＝?br /> 所以
即令x＝1，得n＝(1，－2，5)，
所以平面ABC的一個(gè)法向量為n＝，所以D項(xiàng)是正確的．
6．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D為AA1上一點(diǎn)．若二面角B1-DC-C1的大小為60°，則AD的長為(　　)

A. B． C．2 D．
【解析】選A.如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，

則C(0，0，0)，B1(0，2，2).
設(shè)AD＝a(0≤a≤2)，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，0，a)，＝(1，0，a)，＝(0，2，2).
設(shè)平面B1CD的法向量為m＝(x，y，z)，
則即令z＝－1，得m＝(a，1，－1).
又平面C1DC的一個(gè)法向量為n＝(0，1，0)，
則由cos 60°＝，得＝，
即a＝，故AD＝.
7．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱A1D1，D1D，A1B1的中點(diǎn)，給出下列命題：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1所成角為.正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】選C.設(shè)正方體棱長為2，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

A，C1，G，C，
E，D，B1，F(xiàn)，
B.
①＝，＝，·＝
－2＋2＋0＝0，所以AC1⊥EG，故①正確．
②＝，＝，不存在實(shí)數(shù)λ使＝λ，故GC∥ED不成立，故②錯(cuò)誤．
③＝，＝，＝，·＝0，·＝2≠0，故B1F⊥平面BGC1不成立，故③錯(cuò)誤．
④＝，＝，設(shè)EF和BB1所成角為θ，則cos θ＝＝＝，由于θ∈，所以θ＝，故④正確．
綜上所述，正確的命題有2個(gè)．
8．如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為半圓弧的中點(diǎn)，若異面直線BD和AB1所成角的余弦值為，則該幾何體的體積為(　　)

A.16＋8π B．32＋16π
C．32＋8π D．16＋16π
【解析】選A.設(shè)D在底面半圓上的射影為D1，連接AD1交BC于O，設(shè)A1D∩B1C1＝O1.
依題意半圓柱體底面直徑BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為半圓弧的中點(diǎn)，
所以AD1⊥BC，A1D⊥B1C1且O，O1分別是下底面、上底面半圓的圓心．
連接OO1，則OO1與上下底面垂直，所以O(shè)O1⊥OB，OO1⊥OA，又OA⊥OB，
以O(shè)B，OA，OO1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)幾何體的高為h，

則B，D，A，B1，
所以＝，＝，
由于異面直線BD和AB1所成的角的余弦值為，
所以＝
＝，即＝，h2＝16，h＝4.
所以幾何體的體積為×π×22×4＋×4×2×4＝16＋8π.
二、多選題(每小題5分，共20分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)
9．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為的是(　　)
A．＋＋ B．＋＋
C．－＋ D．＋＋
【解析】選ABCD.如圖所示：

對(duì)于A：＋＋＝＋＝，
對(duì)于B：＋＋＝＋＝，
對(duì)于C：－＋＝＋＝，
對(duì)于D：＋＋＝＋＝．
10．如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，則下列說法正確的是(　　)

A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1
【解析】選ACD.＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以∥，所以A1M∥D1P，由線面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.ACD正確．
11．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分別是AB，BB1，A1C上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．對(duì)于任意給定的點(diǎn)P，存在點(diǎn)Q使得D1P⊥CQ
B．對(duì)于任意給定的點(diǎn)Q，存在點(diǎn)R使得D1R⊥CQ
C．當(dāng)AR⊥A1C時(shí)，AR⊥D1R
D．當(dāng)A1C＝3A1R時(shí)，D1R∥平面BDC1
【解析】選ABD.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P，a∈，Q，
b∈，
設(shè)＝λ，得到R，λ∈.
＝，＝，·＝4－2b，
當(dāng)b＝2時(shí)，D1P⊥CQ，A正確；
＝，·＝2－2λb，取λ＝時(shí)，D1R⊥CQ，B正確；由AR⊥A1C，得·＝·
＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0，λ＝，此時(shí)·＝·＝－≠0，C錯(cuò)誤；A1C＝3A1R，則R，＝，設(shè)平面BDC1的法向量為n＝，則解得n＝，故·n＝0，故D1R∥平面BDC1，D正確．
12．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP⊥BD1，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是(　　)

A.VP-AA1D＝
B．點(diǎn)P必在線段B1C上
C．AP⊥BC1
D．AP∥平面A1C1D
【解析】選BD.對(duì)于A，因?yàn)镻在平面BCC1B1上，平面BCC1B1∥平面AA1D，所以P到平面AA1D的距離即為C到平面AA1D的距離，即為正方體棱長，
所以VP-AA1D＝S△AA1D·CD＝××1×1×1＝，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則A，P，B，D1，
B1，C，C1(0，1，1)，
所以＝，＝，＝，
因?yàn)锳P⊥BD1，所以·＝1－x－1＋z＝0，
所以x＝z，即P，
所以＝，
所以＝－x，
即B1，P，C三點(diǎn)共線，所以P必在線段B1C上，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋剑剑?br /> 所以·＝1－x＋x＝1，
所以AP與BC1不垂直，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)锳1，C1，D，
所以＝，＝，
設(shè)平面A1C1D的法向量n＝，
所以
令x＝1，則z＝－1，y＝1，
所以n＝，
所以·n＝x－1＋1－x＝0，即⊥n，
所以AP∥平面A1C1D，D正確．
三、填空題(每小題5分，共20分)
13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(0，0，1)為平面ABC外一點(diǎn)，其中A(1，1，0)，B(0，2，3)，若平面ABC的一個(gè)法向量為(1，m，1)，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為________．
【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，A(1，1，0)，B(0，2，3)，
所以＝，而平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(1，m，1)，
所以·n＝0，
即－1＋m＋3＝0，解得m＝－2，
所以n＝(1，－2，1)，點(diǎn)P(0，0，1)，
則＝，
則由點(diǎn)到平面的距離公式可得d＝＝＝.
答案：
14．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2，直線CC1與平面ACD1所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為________．

【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)DD1＝a，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，a)，
C1(0，2，a)，故＝(－2，2，0)，＝(－2，0，a)，＝(0，0，a).

設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，
則
可取n＝，
故cos 〈n，〉＝＝
＝，
又直線CC1與平面ACD1所成角的正弦值為，
所以＝，解得a＝4.
答案：4
15．如圖，在四面體D-ABC中，AD＝BD＝AC＝BC＝5，AB＝DC＝6.若M為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，則二面角D-MC-B的余弦值的取值范圍是________．

【解析】以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
計(jì)算得D，C(0，4，0)，M(a，0，0)(－3

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