有一組鄰邊相等,并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。
正方形的 兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角
正方形的對(duì)邊平行且相等
正方形的四個(gè)角都是直角
平行四邊形、矩形、菱形的判定
有一組鄰邊相等,并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。
既是矩形又是菱形(或者既是菱形又是矩形)的四邊形是正方形。
兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。
你能總結(jié)出正方形有哪些判定方法嗎?
1)一組鄰邊相等的矩形是正方形 2) 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形
老師說(shuō)下列三個(gè)圖形都是正方形,你相信嗎?
有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。
既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。
① 對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形 。
② 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形。
③ 對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊 形是正方形。
④ 四條邊都相等的四邊形是正方形。
⑤ 四個(gè)角都相等的四邊形是正方形。
⑥ 四邊相等,有一個(gè)角是直角的四 邊形是正方形。
( )
如圖:△ABC中, ∠ACB=90°,CD平分∠ACB, DE ⊥BC,DF ⊥AC,垂足分別為E,F.     求證:四邊形CFDE是正方形.
 要證明四邊形CFDE是正方形,可以先證四邊形CFDE是矩形,然后再證明有一組鄰邊相等;也可以先證四邊形CFDE是菱形,然后再證有一個(gè)角是直角.
∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC,
又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°,
∴四邊形 CFDE是矩形
∴四邊形 CFDE是正方形
你能用另外一種方法完成證明嗎?
(角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)
(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形),
(有一組鄰邊相等的矩形是正方形).
已知:如圖點(diǎn)A' 、 B' 、 C'、D'分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn),并且AA‘=BB’=CC‘=DD’。求證:四邊形A'B'C'D'是正方形
①由已知正方形證三角形全等;②證得菱形;③再證直角; ④是正方形
①證明是正方形就先證是菱形, 即證四邊相等;②再證又是矩形,即證明有一個(gè)角是直角。
證明:∵四邊形ABCD是正方形,
又∵A`A=B`B=C`C=D`D,
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴四邊形A`B`C`D`是菱形。
又∵∠AD`A`=∠BA`B`, ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°,
∵∠D`A`B`=180°—(∠AA`D`+∠BA`B`)=90°,
∴AB=BC=CD=DA。
∴D`A=A`B=B`C=C`D。
∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`,A`D`=A`B`=B`C`=C`D`。
∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 °。
∴四邊形A`B`C`D`是正方形。
一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)
1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么?
2、你有什么收獲?說(shuō)出來(lái)與大家分享。
1、定義法 2、矩形菱形法 3、對(duì)角線(xiàn)法
特殊的平行四邊形的判定小結(jié)

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3 正方形的性質(zhì)與判定

版本: 北師大版

年級(jí): 九年級(jí)上冊(cè)

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