?北師大版數(shù)學(xué)九上 1.3正方形的性質(zhì)與判定單元測(cè)試提升卷
B卷
一． 選擇題（共30分）
1．一張正方形紙片按如圖①、圖②依次對(duì)折后，再按如圖③虛線裁剪，最后把得到的圖④展開鋪平，所得到的圖形是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
2.圖中有三個(gè)正方形，若陰影部分面積為4個(gè)平方單位，則最大正方形的面積是（ ）平方單位．

A．12 B．24 C．32 D．36
【答案】D
【詳解】
如解圖，由題意知是等腰直角三角形，設(shè)，
∵，
∴，
∵最大正方形的面積．

故選：D．
3．如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，點(diǎn)M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）

A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】
根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故選：C．
4.如圖，在正方形ABCD內(nèi)，，連接EF，若，兩塊陰影部分的面積和為4，則正方形ABCD的面積為（ ）

A．17 B．24 C．26 D．32
【答案】B
【分析】
如圖延長(zhǎng)BF交CE于N，延長(zhǎng)DE交AF于M，只要證明四邊形MENF是正方形，即可解決問題．
【詳解】
解：如圖延長(zhǎng)BF交CE于N，延長(zhǎng)DE交AF于M，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，∠BAF=∠DCE，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠ABF+∠CBN=90°，
∠BAF=∠CBN，同理∠ABF=∠BCN，
∴△ABF≌△CBN，同理△ABF≌△DAM，
∴AF=BN=CE=DM，BF=CN=DE=AM，
∴EM=MF=FN=NE，
∴四邊形MENF是菱形，
∵∠FNE=90°，
∴四邊形MENF是正方形，
∵EF=，
∴正方形MENF的面積為=16，
∴正方形ABCD的面積=4×2+16=24，
故選：B．
5.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列條件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述條件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】正方形的判定
【解析】【解答】解：①添加AC⊥BD，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成為正方形；
②添加AB=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成為正方形；
③添加∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=B∠AC=45°，
∴AB=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成為正方形；
④∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，則AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成為正方形；
綜上，①②③符合題意，
故答案為：B．

6.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，從下列條件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，選出其中兩個(gè)，使平行四邊形ABCD變?yōu)檎叫危旅娼M合錯(cuò)誤的是（　?。?

A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，
所以平行四邊形ABCD是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，
所以平行四邊形ABCD是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，由④得對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，
所以平行四邊形ABCD是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由④得對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，
所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，故本選項(xiàng)符合題意；
故答案為：D．

7．下列命題正確的是（　?。?
A．有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形
B．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形
C．對(duì)角線相等的菱形是正方形
D．對(duì)角線互相平分的矩形是正方形
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，原命題是假命題；
B、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，原命題是假命題；
C、對(duì)角線相等的菱形是正方形，是真命題；
D、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，原命題是假命題；
故答案為：C.
8.如圖四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別在線段BC、DC上，∠BAE＝30°.若線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與線段AF重合，則旋轉(zhuǎn)的角度是（　?。?

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與線段AF重合，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAE=30°，
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=90°-∠BAE-∠DAF=90°-30°-30°=30°，
∴旋轉(zhuǎn)角為30°.
故答案為：A.
9.如圖，在平行四邊形 ABCD 中， AD=2AB=2 ， ∠ABC=60° ， E ， F 是對(duì)角線 BD 上的動(dòng)點(diǎn)，且 BE=DF ， M ， N 分別是邊 AD ，邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)．下列四種說(shuō)法：
①存在無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形 MENF ；
②存在無(wú)數(shù)個(gè)矩形 MENF ；
③存在無(wú)數(shù)個(gè)菱形 MENF ；
④存在無(wú)數(shù)個(gè)正方形 MENF ．其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MN，MF，NF，ME，NE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，AD∥BC，OB=OD
∴∠MAO=∠NCO，
在△MAO和△NCO中
∠MAO=∠NCOAO=CO∠AOM=∠CON
∴△MAO≌△NCO（ASA）
∴OM=ON；
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
∵M(jìn)，N是邊AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)是BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)OM=ON時(shí)四邊形MENF一定是平行四邊形，
∴ 存在無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形MENF，故①正確；
∵四邊形MENF是平行四邊形，
∴當(dāng)MN=EF時(shí)，四邊形MENF是矩形，
∵M(jìn)，N是邊AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)是BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴存在無(wú)數(shù)個(gè)矩形MENF，故②正確；
∵點(diǎn)E，F(xiàn)是BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴只需MN⊥EF，OM=ON，
就存在無(wú)數(shù)個(gè)菱形MENF，故③正確；
只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，則四邊形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一個(gè)，故④不符合題意；
∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有3個(gè).
故答案為：C.
10.已知：正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠DBC的角平分線BF交CD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，OF=1，則AB=（　?。?br />
A．2+2 B．22?2 C．4?22 D．22+2
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定；正方形的性質(zhì)；角平分線的定義
【解析】【解答】解：如圖，作FH∥BC交BD于點(diǎn)H.

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，OB=OC，∠BOC=90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF=∠OBC，∠OFH=∠OCB，
∴∠OHF=∠OFH，
∴OH=OF=1，F(xiàn)H=12+12=2，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF=∠FBC=∠BFH，
∴BH=FH=2，
∴OB=OC=1+2，
∴AB=BC=2OB=2+2.
故答案為：A.

二． 填空題（共24分）
11.如圖，四邊形ABCD和四邊形OMNP都是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，正方形OMNP繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過程中分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形OEBF的面積為　 ?。?br />
【答案】4
【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，過點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H，
∵四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，
∴OA=OC，∠ABC=90°，AB=BC，
∴OG∥BC，OH∥AB，

∴四邊形OGBH是矩形，OG=OH=12AB=12CB，∠GOH=90°，
∴S四邊形OGBH=OG2=(12AB)2=(12×4)2=4，
∵∠FOH+∠FOG=90°，∠EOG+∠FOG=90°，
∴∠FOH=∠EOG，
∵∠OGE=∠OHF=90°，OG=OH，
∴△OGE≌△OHF，
∴S△OGE=S△OHF，
∴S四邊形OGBH=S四邊形OEBF，
∴S四邊形OEBF=4，
故答案為：4．

12.如圖，連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，還要添加　 　，才能保證四邊形EFGH是正方形.

【答案】AC⊥BD，AC=BD， AC⊥BD
【知識(shí)點(diǎn)】正方形的判定；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：當(dāng)AC⊥BD，AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形.
∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF= 12 AC，GH∥AC，GH= 12 AC，EH∥BD，EH= 12 BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
當(dāng)AC⊥BD，AC=BD時(shí)，EF⊥EH，EF=EH，
∴四邊形EFGH為正方形.
故答案為：AC⊥BD，AC=BD.
13.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且 ∠EAF=45° ，AE交BD于M點(diǎn)，AF交BD于N點(diǎn).下列結(jié)論：①BM2+DN2=MN2 ；②AE=AF ；③EA平分 ∠BEF ；④△CEF 的周長(zhǎng)等于 2AB ，其中正確結(jié)論的序號(hào)是 　 　.（把你認(rèn)為所有正確的都填上）

【答案】①③④
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；角平分線的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH，連接NH，

∵∠EAF=45° ，
∴∠EAF=∠HAF=45° ，
∵△ABM 繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 得到△ADH ，
∴BM=DH ， AH=AM ， ∠ABM=∠ADH ，
又∵AN=AN ，
∴△AMN≌△AHN ，
∴MN=HN ，
而 ∠HDN=∠HDA+∠ADB=∠MBA+∠ADB=45°+45°=90° ，
∴在 Rt△HDN 中， DH2+DN2=HN2 ，
∴BM2+DN2=MN2 ，
故①正確；
②由題知 AB=AD ， ∠ABE=∠ADF=90° ，只有兩個(gè)條件不能得到 △ABE≌△ADF ，
∴AE≠AF ，
故②錯(cuò)誤；
③將 △ABE 繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 得到△ADG ，

∵∠ABE=∠ADG=90° ， ∠ADF=90° ，
∴∠GDF=∠ADF+∠ADG=90°+90°=180° ，
∴點(diǎn)G、D、F三點(diǎn)共線，
由旋轉(zhuǎn)可得 BE=DG ， AE=AG ， ∠BAE=∠DAF ，
∵∠EAF=45° ，
∴∠EAF=∠GAF=45° ， AE=AG ，
又∵AF=AF ，
∴△AEF≌△AGF ，
∴∠AEF=∠AGF
又∵∠AEB=∠AGF ，
∴∠AEF=∠AEB ，
∴EA平分 ∠BEF ；
④由③可知 △AEF≌△AGF ，
∴EF=GF ，
∵GF=GD+DF=BE+DF ， AB=BC=CD ，
∴△CEF 的周長(zhǎng) =CE+EF+CF
=CE+BE+DF+CF
=BC+CD
=2AB ，
故④正確；
綜上所述：正確的有①③④.
故答案為：①③④.
14.如圖，在正方形ABCD中，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°

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3 正方形的性質(zhì)與判定

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