初中數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊第一章 特殊平行四邊形3 正方形的性質(zhì)與判定優(yōu)秀ppt課件

這是一份初中數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊第一章 特殊平行四邊形3 正方形的性質(zhì)與判定優(yōu)秀ppt課件，文件包含核心素養(yǎng)目標(biāo)132《正方形的判定》課件pptx、核心素養(yǎng)目標(biāo)132《正方形的判定》教案docx等2份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共34頁， 歡迎下載使用。
1.3.2 正方形的判定
北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊
教學(xué)目標(biāo)
1．探索并證明正方形的判定，了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；2．會運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計算 .
情景導(dǎo)入
什么是正方形？正方形有哪些性質(zhì)？
正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形.
正方形性質(zhì)：①四個角都是直角; ②四條邊都相等; ③對角線相等且互相垂直平分； ④既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形.
新知講解
如何判定一個四邊形是正方形呢？
判定一個四邊形為正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩條：
（1）先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；
（2）先證它是菱形，再證它有一個角為直角.
簡記 ： 即是矩形又是菱形就是正方形
新知講解
如圖，將一張矩形紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣才能剪出一個正方形？
剪下一個等腰直角三角形就能剪出一個正方形.
新知講解
方位角和距離
滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流．
有一個角是直角
有一組鄰邊相等
有一組鄰邊相等
有一個角是直角
對角線相等
對角線垂直
新知講解
準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.
新知講解
猜想 滿足怎樣條件的矩形是正方形？
矩形
一組鄰邊相等
對角線互相垂直
正方形
你能證明這兩種猜想嗎？
新知講解
定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
已知：ABCD是矩形，且AB=BC，試證明，ABCD是正方形.
證明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，又∵AB = BC，∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
證明：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
新知講解
證明：對角線互相垂直的矩形是正方形.
已知：如圖，在矩形ABCD中，AC , DB是它的兩條對角線，AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.
證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴ AD=AB=BC=CD,∴四邊形ABCD是正方形.
歸納總結(jié)
通過矩形判定正方形：
符號語言：∵四邊形ABCD是矩形，AB=AD，所以四邊形ABCD是正方形。
判定方法2：對角線互相垂直的矩形是正方形。
符號語言：∵四邊形ABCD是矩形，AC⊥BD，所以四邊形ABCD是正方形。
判定方法1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。
新知講解
你能證明這兩個猜想嗎？
把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.
正方形
猜想 滿足怎樣條件的菱形是正方形？
菱形
一個角是直角
對角線相等
正方形
新知講解
定理：有一個角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，試證明，ABCD是正方形.
證明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
新知講解
定理：對角線相等的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，AC=BD，試證明，ABCD是正方形.
證明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD∴AC⊥BD（菱形對角線互相垂直）又∵AC = BD ，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC = 90°.∴ABCD 是正方形（正方形的定義）.
歸納總結(jié)
正方形判定的幾條途徑：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形條件(二選一)
菱形條件(二選一)
一個直角，
一組鄰邊相等，
對角線相等
對角線垂直
典例精析
例1 如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC ，CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
典例精析
F
A
B
E
C
D
證明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四邊形BECF是平行四邊形. ∵四邊形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, 又∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠EBC =∠ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形.
想一想
我們知道，任意畫一個四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個平行四邊形。
那么，任意畫一個正方形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個怎樣的圖形呢？先猜一猜，再證明.
想一想
以正方形四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以組成一個正方形。
證明思路：利用三角形的中位線證出A1D1=A1B1=C1D1=C1B1，從而得到四邊形A1B1C1D1是矩形，再根據(jù)一組鄰邊相等得出A1B1C1D1是正方形。
議一議
以菱形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的四邊形會是什么形狀？以矩形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的四邊形會是什么形狀？
菱形的中點(diǎn)組成的四邊形是矩形.
你能試著證明嗎？
矩形的中點(diǎn)組成的四邊形是菱形.
議一議
已知：如圖，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別是菱形 ABCD 各邊的中點(diǎn). 求證：四邊形 EFGH 為矩形.
證明：連接 AC，BD，∵ E，F(xiàn)分別是 AB 和 BC 邊中點(diǎn)，∴ EF∥AC，同理可證 HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形 EFGH ，PFQO 為平行四邊形.又∵四邊形 ABCD 是菱形∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四邊形 EFGH 是矩形（矩形的定義）
議一議
已知：如圖，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別是矩形 ABCD 各邊的中點(diǎn). 求證：四邊形 EFGH 為菱形.
?
議一議
∴四邊形 EFGH 為平行四邊形.又∵四邊形 ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的對角線相等），∴EF=EH∴四邊形 EFGH 是菱形（菱形的定義）
歸納總結(jié)
決定中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵因素是什么？
對角線不垂直，不相等
平行四邊形
對角線不垂直，不相等
平行四邊形
對角線相等
菱形
對角線垂直
矩形
對角線相等且垂直
正方形
課堂練習(xí)
1.在菱形ABCD中，若要添加一個條件后，使它是正方形，則添加的條件可以是(　　)A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD2. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF，添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是(　　)A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF
B
C
課堂練習(xí)
3.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯誤的是___________（只填寫序號）．
②③或①④
4.如圖所示，E 是正方形 ABCD 邊 BC 上任意一點(diǎn)，EF⊥BO 于 F，EG⊥CO 于 G，若 AB = 10 厘米，則四邊形 EGOF 的周長是_____厘米.
課堂練習(xí)
5．已知：如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線 BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF．求證：四邊形AECF是菱形
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CB,AD∥CB.∴∠ADF=∠CBE.又∵BE=DF,∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE,∠AFD=∠CEB.∴∠AFE=∠CEF.∴AF∥CE.
課堂練習(xí)
∴四邊形AECF是平行四邊形.∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE.又∵BE=DF,∴△AFD≌△AEB（SAS）.∴AF=AE.∴四邊形AECF是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.
課堂練習(xí)
6．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H 分別在它的四條邊上，且AE=BF=CG=DH．四邊形EFGH是什么特殊四邊形？你是如何判斷的？
解：四邊形EFGH是正方形.理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CG=DH,∴BE=CF=DG=AH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS).
課堂練習(xí)
∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH.∴四邊形EFGH是菱形.∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°.∴∠EHG=90°.∴四邊形EFGH是正方形.
課堂總結(jié)
5種判定方法
三個角是直角
四條邊相等
一個角是直角
或?qū)蔷€相等
一組鄰邊相等
或?qū)蔷€垂直
一組鄰邊相等
或?qū)蔷€垂直
一個角是直角
或?qū)蔷€相等
一個角是直角且一組鄰邊相等
板書設(shè)計
1.3.2 正方形的判定
(2) 對角線互相垂直的矩形是正方形；
(3) 有一個角是直角的菱形是正方形；
(4) 對角線相等的菱形是正方形.
(1) 有一組鄰邊相等的矩形是正方形；
作業(yè)布置
教材第25頁習(xí)題1.8 第2、3題
課程結(jié)束
北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊