一、選擇題


1.在四邊形ABCD中,O是對角線的交點,能判定這個四邊形是正方形的條件是( )


A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD


B.AD∥BC,∠A=∠C


C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD


D.AO=CO,BO=DO,AB=BC


2.如果要證明平行四邊形ABCD為正方形,那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上,進一步證明( )


A.AB=BD且AC⊥BD


B.∠A=∠B且AB=AD


C.∠A=∠B且AC=BD


D.AC和BD互相垂直平分


3.如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.現(xiàn)將其沿AE對折,使得點B落在邊AD上的點B1處,折痕與邊BC交于點E,則CE的長為( )





A.6 cmB.4 cm


C.3 cmD.2 cm


4.關(guān)于一個四邊形是不是正方形,有如下條件:①對角線互相垂直且相等的平行四邊形;②對角線互相垂直的矩形;③對角線相等的菱形;④對角線互相垂直平分且相等的四邊形.以上條件,能判定四邊形是正方形的是( )


A.①②③B.②③④


C.①③④D.①②③④


5.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,則下列結(jié)論:①OA=OD;②AD⊥EF;③AE+DF=AF+DE;④當∠BAC=90°時,四邊形AEDF是正方形.


其中一定正確的結(jié)論是( )


A.①②③B.②③④


C.①③④D.①②③④


二、填空題


6.如圖,四邊形ABCD中,對角線AC,BD相等且互相平分,再添加一個條件,使得四邊形ABCD是正方形,可添加的條件是 .(寫出一個條件即可)


7.如圖,?ABCD的對角線互相垂直,要使四邊形ABCD成為正方形,還需添加的一個條件是 .(只需添加一個即可)





8.如圖,在?ABCD中,AE⊥BC于點E,CF⊥AD于點F,∠B=60°,當邊AD∶AB= 時,四邊形AECF是正方形.








三、解答題


9.如圖,已知D是△ABC的邊AB的中點,四邊形BCED是平行四邊形.





(1)求證:四邊形ADCE是平行四邊形;


(2)若AC=BC,AC⊥BC,求證:四邊形ADCE是正方形.























10.如圖,已知E,F,P,Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點,并且AF=BP=CQ=DE.


求證:(1)EF=FP=PQ=QE;


(2)四邊形EFPQ是正方形.




















11.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB,∠ABC的平分線交于點D,DE⊥BC于點E,DF⊥AC于點F.求證:四邊形CEDF是正方形.





























12.如圖,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于點E,過點E作EF⊥AD于點F,連接BF交AE于點P,連接PD.求證:四邊形ABEF是正方形.





























13.如圖,已知在等邊△ABC中,過邊AB上一點D作DE⊥BC,垂足為E,過邊AC上一點G作GF⊥BC,垂足為F,BE=CF,連接DG.


(1)求證:四邊形DEFG是平行四邊形;


(2)連接AF,當∠BAF=3∠FAC時,求證:四邊形DEFG是正方形.























14.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點,過點D作DE⊥BC,交直線MN于點E,垂足為F,連接CD,BE.


(1)求證:CE=AD.


(2)填空:


①當AB= BD時,四邊形BECD是菱形;


②在①的基礎(chǔ)上,當∠A的度數(shù)為 時,四邊形BECD是正方形.








參考答案


一、選擇題


二、填空題


6. AB=BC(答案不唯一)


7. ∠ABC=90°或AC=BD


8. (3+1)∶2


三、解答題


9.證明:(1)∵四邊形BCED是平行四邊形,


∴BD∥CE,BD=CE.


∵D是AB的中點,∴AD=BD,∴AD=CE.


又∵AD∥CE,∴四邊形ADCE是平行四邊形.


(2)∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°.


∵在Rt△ABC中,D是AB的中點,


∴CD=AD=12AB.


∵在△ABC中,AC=BC,D是AB的中點,


∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,


∴平行四邊形ADCE是正方形.


10.證明:(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD.


∵AF=BP=CQ=DE,∴DF=CE=BQ=AP,


∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS),


∴EF=FP=PQ=QE.


(2)∵EF=FP=PQ=QE,


∴四邊形EFPQ是菱形.


∵△APF≌△BQP,∴∠AFP=∠BPQ.


∵∠AFP+∠APF=90°,


∴∠APF+∠BPQ=90°,


∴∠FPQ=90°,∴四邊形EFPQ是正方形.


11.證明:過點D作DG⊥AB于點G.


∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,∴DF=DG.


同理DE=DG,∴DF=DE.


易知∠C=∠DFC=∠DEC=90°,∴四邊形CEDF是矩形.


又∵DF=DE,∴矩形CEDF是正方形.


12.證明:∵四邊形ABCD是矩形,


∴∠FAB=∠ABE=90°,AF∥BE.


∵EF⊥AD,∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°,


∴四邊形ABEF是矩形.


∵AE平分∠BAD,AF∥BE,


∴∠FAE=∠BAE,∠FAE=∠AEB,


∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,


∴矩形ABEF是正方形.


13.證明:(1)∵DE⊥BC,GF⊥BC,


∴∠DEF=∠GFC=90°,∴DE∥GF.


∵∠B=∠C=60°,BE=CF,∠DEB=∠GFC=90°,


∴△BDE≌△CGF,∴DE=GF,


∴四邊形DEFG是平行四邊形.


(2)∵∠DEF=90°,∴?DEFG是矩形.


∵∠BAC=60°,∠BAF=3∠FAC,∴∠GAF=15°.


在△CGF中,∵∠C=60°,∠GFC=90°,


∴∠CGF=30°,∴∠GFA=15°,


∴∠GAF=∠GFA,∴GA=GF.


∵DG∥BC,∴∠ADG=∠B=60°,


∴△DAG是等邊三角形,∴GA=GD,


∴GD=GF,∴矩形DEFG是正方形.


14.解:(1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.


∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.


∵MN∥AB,即CE∥AD,


∴四邊形ADEC是平行四邊形,∴CE=AD.


(2)① 2


② 45°





題號
1
2
3
4
5
答案
C
B
D
D
B

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