一、幾種特殊四邊形的性質(zhì)
互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角
互相垂直且平分，每一條對角線平分一組對角
二、幾種特殊四邊形的常用判定方法：
1.定義：兩組對邊分別平行 2.兩組對邊分別相等 3.兩組對角分別相等 4.對角線互相平分5.一組對邊平行且相等
1.定義：有一個角是直角的平行四邊形 2.對角線相等的平行四邊形3.有三個角是直角的四邊形
1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形 ;2.對角線互相垂直的平行四邊形,3.四條邊都相等的四邊形
1.定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形2.有一組鄰邊相等的矩形 3.有一個角是直角的菱形
一個角是直角且一組鄰邊相等
三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系
四、其他重要概念及性質(zhì)
1.兩條平行線之間的距離：
2.三角形的中位線定理：
兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做兩條平行線之間的距離.
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
3.直角三角形斜邊上的中線：
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
例1 如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于點G，點E、F分別為AG、CD的中點，連接DE、FG.(1)求證：四邊形DEGF是平行四邊形；(2)如果點G是BC的中點，且BC＝12，DC＝10，求 四邊形AGCD的面積．
解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，∴四邊形AGCD是平行四邊形，∴AG＝DC.
∵E、F分別為AG、DC的中點，∴GE＝ AG，DF＝ DC，即GE＝DF，GE∥DF，∴四邊形DEGF是平行四邊形.(2)∵點G是BC的中點，BC＝12，∴BG＝CG＝ BC＝6.∵四邊形AGCD是平行四邊形，DC＝10， AG＝DC＝10，在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理得AB＝8，∴四邊形AGCD的面積為6×8＝48.
例2 在△ABC中，AB=AC，點D在邊BC所在的直線上，過點D作DF∥AC交直線AB于點F，DE∥AB交直線AC于點E．(1)當點D在邊BC上時，如圖①，求證：DE+DF=AC．
證明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四邊形AFDE是平行四邊形．∴AF=DE.∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C,又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDB=∠B,∴DF=BF,∴DE+DF=AF+BF=AB=AC.
（2）當點D在邊BC的延長線上時，如圖②；當點D在邊BC的反向延長線上時，如圖③，請分別寫出圖②、圖③中DE，DF，AC之間的數(shù)量關系，不需要證明．（3）若AC=6，DE=4，求DF的值．
解：（2）圖②中：AC+DE=DF． 圖③中：AC+DF=DE．（3）當如圖①的情況，DF=AC-DE=6-4=2； 當如圖②的情況，DF=AC+DE=6+4=10．
2.如圖，在?ABCD中，對角線AC和BD交于點O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，則△BOC的周長是 （ 　?。〢．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
1.如圖，在?ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm， BD=6cm，則AD的長為 （　?。〢．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
3.如圖?是某公交汽車擋風玻璃的雨刮器，其工作原理如圖?．雨刷EF⊥AD，垂足為A，AB=CD，且AD=BC，這樣能使雨刷EF在運動時，始終垂直于玻璃窗下沿BC，請證明這一結論．
證明：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC．
例3 如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）求證：∠DHF=∠DEF．
證明：（1）∵點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，∴DE、EF都是△ABC的中位線，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形.
（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點， AH是邊BC上的高，∴DH=AD，F(xiàn)H=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC， ∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．
例4 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF= BC．若AB=12，求EF的長．
解：連接CD，∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE∥BC，DE= BC，DC= AB.∵CF= BC，∴DE ∥FC，DE =FC，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC=EF，∴EF= AB=6．
5.如圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=4m，∠A=30°，則DE等于 （　?。〢．1m B．2m C．3m D．4m
4.如圖，等邊三角形ABC中，點D，E分別為AB，AC的中點，則∠DEC的度數(shù)為（　　） A．150° B．120° C．60° D．30°
6.如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD，求證：EF=AD．
證明：∵DE，DF是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AEDF是平行四邊形，又∵∠BAC=90°，∴平行四邊形AEDF是矩形，∴EF=AD．
例5 如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE∥BD，過點D作ED∥AC，兩線相交于點E．求證：四邊形AODE是菱形.
證明：∵AE∥BD，ED∥AC，∴四邊形AODE是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC= AC， OB=OD= BD，∴OA=OC=OD，∴四邊形AODE是菱形.
【變式題】如圖，O是菱形ABCD對角線的交點，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于點E，四邊形CEBO是矩形嗎？說出你的理由.
解：四邊形CEBO是矩形.理由如下：已知四邊形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵BE∥AC,CE∥BD， ∴四邊形CEBO是平行四邊形. ∴四邊形CEBO是矩形.
例6 如圖，已知在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF＝AE；(1)試判斷四邊形BECF是什么四邊形？并說明理由；(2)當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結論．
解：(1)四邊形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4，
∴EC＝AE，∴BE＝AE.∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四邊形BECF是菱形.(2)當∠A＝45°時，菱形BECF是正方形．證明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形BECF是正方形．
正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角；③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用①或②進行判定．
例7 如圖，△ABC中，點O是AC上的一動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點F，連接AE、AF.(1)求證：∠ECF＝90°；(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請 說明理由；
(1)證明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝ ×180°＝90°.
(2)解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，F(xiàn)O＝CO，∴OE＝OF.又∵當點O運動到AC的中點時，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形.
解：當點O運動到AC的中點時，且滿足∠ACB為直角時，四邊形AECF是正方形．∵由(2)知當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF 是矩形，已知MN∥BC，當∠ACB＝90°，則∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，即AC⊥EF，∴四邊形AECF是正方形．
(3)在(2)的條件下，△ABC滿足什么條件時， 四邊形AECF為正方形？
7.如圖，兩個含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直線FC滑動，下列說法錯誤的是（　?。〢．四邊形ACDF是平行四邊形 B．當點E為BC中點時，四邊形ACDF是矩形 C．當點B與點E重合時，四邊形ACDF是菱形 D．四邊形ACDF不可能是正方形
8.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=10，BD=6，則菱形ABCD的面積為______．
9.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)證明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的長．
(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD.在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF.
(2) 解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠1＋∠4＝90°.∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°.在正方形ABCD中， AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°.在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴DF＝1，AF＝ .由(1)得△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝AF－AE＝ －1.
例8 在一個平行四邊形中，若一個角的平分線把一條邊分成長是2cm和3cm的兩條線段，求該平行四邊形的周長是多少.
解：如圖，∵在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE．又∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE．(1)當AE=2時，則平行四邊形的周長=2×(2+5)=14．(2)當AE=3時，則平行四邊形的周長=2×(3+5)=16．
考點四 本章解題思想方法
平行四邊形的性質(zhì)與判定中要是出現(xiàn)角平分線，常與等腰三角形的性質(zhì)和判定結合起來考查，當邊指向不明時需要分類討論，常見的的模型如下：
例9 如圖，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，BC=10cm，AB=8cm，求：（1）FC的長；（2）EF的長．
解：（1）由題意得AF=AD=10cm，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=6cm，∴FC=BC-BF=10-6=4(cm)．（2）由題意可得EF=DE，可設DE的長為x，在Rt△EFC中，(8-x)2+42=x2，解得x=5，即EF的長為5cm．
例10 如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，其交點為O，若BC=6，BC邊上的高為4，試求陰影部分的面積．
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.∵AB∥CD，∴∠EAO=∠HCO.又∵ ∠AOE＝∠COH，∴△AEO≌△CHO（ASA），同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，∴S陰影=S△BCD= S平行四邊形ABCD= ×6×4=12．

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