
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
∴ 四邊形ABCD是菱形.
① 一組鄰邊相等(定義法)
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
菱形的對角線互相垂直.
猜想1 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
證明: ∵ 四邊形ABCD是平行四邊形 ∴ OA = OC ∵ AC⊥BD ∴ BD垂直平分AC ∴ DA = DC 又∵ 四邊形ABCD是平行四邊形 ∴ 平行四邊形ABCD是菱形
在平行四邊形ABCD中,∵ AC⊥BD,∴ 平行四邊形ABCD是菱形.
猜想2 四條邊相等的四邊形是菱形
已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB = BC = CD = AD. 求證:四邊形ABCD是菱形.
證明:∵ AB = BC = CD = AD,∴ AB = CD, BC = AD.∴ 四邊形ABCD是平行四邊形.又 AB = BC,∴ 四邊形ABCD是菱形.
菱形的判定定理:四條邊相等的四邊形是菱形.
∵ AB = BC = CD = AD,∴ 四邊形ABCD是菱形.
(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;(3)四條邊相等的四邊形是菱形。
例 如圖, ABCD的對角線AC,BD相交于點O,且AB = 5,AO = 4,BO = 3.求證: ABCD是菱形.
證明:∵ 32+42=25,52=25 ∴∴ △AOB是直角三角形∴ ∠AOB=90°∴ AC⊥BD又∵ ABCD是平行四邊形∴ ABCD是菱形
例 如圖,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于點C,BD平分∠ABC,且交AE于點D,連接CD.求證:四邊形ABCD是菱形.
證明:∵ AE∥BF, ∴ ∠1 =∠2.∵ AC平分∠BAD,∴ ∠1 =∠3.∴ ∠2 =∠3.∴ AB = BC.
證明:同理 AB = AD. ∴ AD = BC.∵ AD∥BC, ∴ 四邊形ABCD是平行四邊形.又 AB = AD,∴ 四邊形ABCD是菱形.
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