初中數(shù)學(xué)18.2.2 菱形第2課時同步達(dá)標(biāo)檢測題

這是一份初中數(shù)學(xué)18.2.2 菱形第2課時同步達(dá)標(biāo)檢測題，共20頁。
?18.2.2 菱形
第2課時 菱形的判定
一、選擇題（共10小題）
1、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），則以這四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形ABCD是（　?。?br /> A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、梯形
2、用兩個全等的等邊三角形，可以拼成下列哪種圖形（　?。?br /> A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、等腰梯形
3、如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱形的為（　　）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．

A、①③ B、②③
C、③④ D、①②③
4、紅絲帶是關(guān)注艾滋病防治問題的國際性標(biāo)志，人們將紅絲帶剪成小段，并用別針將折疊好的紅絲帶別在胸前，如圖所示．紅絲帶重疊部分形成的圖形是（　?。?br />
A、正方形 B、等腰梯形
C、菱形 D、矩形
5、（在同一平面內(nèi)，用兩個邊長為a的等邊三角形紙片（紙片不能裁剪）可以拼成的四邊形是（　?。?br /> A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、梯形
6、用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是（　　）
A、等腰梯形 B、正方形
C、矩形 D、菱形
7、汶川地震后，吉林電視臺法制頻道在端午節(jié)組織發(fā)起“綠絲帶行動”，號召市民為四川受災(zāi)的人們祈福．人們將綠絲帶剪成小段，并用別針將折疊好的綠絲帶別在胸前，如圖所示，綠絲帶重疊部分形成的圖形是（　?。?br />
A、正方形 B、等腰梯形
C、菱形 D、矩形
8、能判定一個四邊形是菱形的條件是（　　）
A、對角線相等且互相垂直 B、對角線相等且互相平分
C、對角線互相垂直 D、對角線互相垂直平分
9、四邊形的四邊長順次為a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，則此四邊形一定是（　?。?br /> A、平行四邊形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
二、填空題（共8小題）
11、（如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榱庑?，需要添加的條件是　_________　（只填一個你認(rèn)為正確的即可）．

12、如圖，如果要使平行四邊形ABCD成為一個菱形，需要添加一個條件，那么你添加的條件是　_________?。?br />
13、（如圖，平行四邊形ABCD中，AF、CE分別是∠BAD和∠BCD的角平分線，根據(jù)現(xiàn)有的圖形，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形AECF為菱形，則添加的一個條件可以是　_________?。ㄖ恍鑼懗鲆粋€即可，圖中不能再添加別的“點(diǎn)”和“線”）



14、在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，從（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD這六個條件中，選取三個推出四邊形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再寫出符合要求的兩個：　_________　=＞ABCD是菱形；　_________　=＞ABCD是菱形．
15、若四邊形ABCD是平行四邊形，請補(bǔ)充條件　_________?。▽懸粋€即可），使四邊形ABCD是菱形．
16、在四邊形ABCD中，給出四個條件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三個條件推出四邊形ABCD是菱形，你認(rèn)為這三個條件是　_________　．（寫四個條件的不給分，只填序號）
17、要說明一個四邊形是菱形，可以先說明這個四邊形是　_________　形，再說明　_________?。ㄖ恍杼顚懸环N方法）
18、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD相交于點(diǎn)O，不添加任何字母和輔助線，要使四邊形ABCD是菱形，則還需添加一個條件是　_________?。ㄖ恍杼顚懸粋€條件即可）．

三、解答題（共11小題）
19、（如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，連接AD，在AD的延長線上取一點(diǎn)E，連接BE， CE．

（1）求證：△ABE≌△ACE；
（2）當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABEC是菱形？并說明理由．
20、如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，連接DE、BF、BD．
（1）求證：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，則四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請證明你的結(jié)論．

21、如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求證：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由．

22、已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E為AB中點(diǎn)，求證：四邊形BCDE是菱形．

23、如圖，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點(diǎn)M．
（1）求證：△ABC≌△DCB；
（2）過點(diǎn)C作CN∥BD，過點(diǎn)B作BN∥AC，CN與BN交于點(diǎn)N，試判斷線段BN與CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

24、如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CE∥AB交MN于E，連接AE、CD．
（1）求證：AD=CE；
（2）填空：四邊形ADCE的形狀是　_________　．

25、如圖△ABC與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在AC、BC上，且EF∥AB
（1）求證：四邊形EFCD是菱形；
（2）設(shè)CD=4，求D、F兩點(diǎn)間的距離．

26、如圖，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)C處，折痕DE交BC于點(diǎn)E，連接C′E．
求證：四邊形CDC′E是菱形．

27、已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F．
求證：四邊形AFCE是菱形．

28、如圖，等邊△ABC的邊長為2，E是邊BC上的動點(diǎn)，EF∥AC交邊AB于點(diǎn)F，在邊AC上取一點(diǎn)P，使PE=EB，連接FP．
（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段；（不再另外添加輔助線）
（2）探究：當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時，四邊形EFPC是平行四邊形？并判斷四邊形EFPC是什么特殊的平行四邊形，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)E為圓心，r為半徑作圓，根據(jù)⊙E與平行四邊形EFPC四條邊交點(diǎn)的總個數(shù)，求相應(yīng)的r的取值范圍．

29、如圖，已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA．

（1）求△ABC所掃過的圖形的面積；
（2）試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的長．

答案與評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（共10小題）
1、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），則以這四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形ABCD是（　　）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、梯形
考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；菱形的判定。
分析：畫出草圖，求得各邊的長，再根據(jù)特殊四邊形的判定方法判斷．
解答：解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖后，可發(fā)現(xiàn)這個四邊形的對角線互相平分，先判斷為平行四邊形，對角線還垂直，那么這樣的平行四邊形應(yīng)是菱形．
故選B．
點(diǎn)評：動手畫出各點(diǎn)后可很快得到四邊形對角線的特點(diǎn)．
2、用兩個全等的等邊三角形，可以拼成下列哪種圖形（　　）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、等腰梯形
考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；菱形的判定。
專題：操作型。
分析：由題可知，得到的四邊形的四條邊也相等，得到的圖形是菱形．
解答：解：由于兩個等邊三角形的邊長都相等，則得到的四邊形的四條邊也相等，
即是菱形．
故選B．
點(diǎn)評：本題利用了菱形的概念：四邊相等的四邊形是菱形．
3、（如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱形的為（　?。?br /> ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．

A、①③ B、②③
C、③④ D、①②③
考點(diǎn)：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。
專題：計算題。
分析：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．
解答：解：根據(jù)菱形的判定：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：①，③正確．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查菱形的判定，即對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
4、紅絲帶是關(guān)注艾滋病防治問題的國際性標(biāo)志，人們將紅絲帶剪成小段，并用別針將折疊好的紅絲帶別在胸前，如圖所示．紅絲帶重疊部分形成的圖形是（　?。?br />
A、正方形 B、等腰梯形
C、菱形 D、矩形
考點(diǎn)：菱形的判定。
專題：應(yīng)用題。
分析：首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條彩帶寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形．
解答：解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因為兩條彩帶寬度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵S?ABCD=BC?AE=CD?AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
故選C．

點(diǎn)評：本題利用了平行四邊形的判定和平行四邊形的面積公式、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
5、在同一平面內(nèi)，用兩個邊長為a的等邊三角形紙片（紙片不能裁剪）可以拼成的四邊形是（　?。?br /> A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、梯形
考點(diǎn)：菱形的判定；等邊三角形的性質(zhì)。
專題：操作型。
分析：用兩個邊長為a的等邊三角形拼成的四邊形，它的四條邊長都為a，根據(jù)菱形的定義四邊相等的四邊形是菱形．
解答：解：根據(jù)題意得，拼成的四邊形四邊相等，
則是菱形．
故選B．
點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，菱形的定義．
6、用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是（　　）
A、等腰梯形 B、正方形
C、矩形 D、菱形
考點(diǎn)：菱形的判定；等邊三角形的性質(zhì)。
分析：由于兩個等邊三角形的邊長都相等，則得到的四邊形的四條邊也相等，即是菱形．
解答：解：由題意可得：得到的四邊形的四條邊相等，即是菱形．
故選D．
點(diǎn)評：本題利用了菱形的概念：四邊相等的四邊形是菱形．
7、汶川地震后，吉林電視臺法制頻道在端午節(jié)組織發(fā)起“綠絲帶行動”，號召市民為四川受災(zāi)的人們祈福．人們將綠絲帶剪成小段，并用別針將折疊好的綠絲帶別在胸前，如圖所示，綠絲帶重疊部分形成的圖形是（　?。?br />
A、正方形 B、等腰梯形
C、菱形 D、矩形
考點(diǎn)：菱形的判定。
專題：應(yīng)用題。
分析：首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條絲帶寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形．
解答：解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因為兩條彩帶寬度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵S?ABCD=BC?AE=CD?AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
故選C．

點(diǎn)評：本題利用了平行四邊形的判定和平行四邊形的面積公式、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
8、能判定一個四邊形是菱形的條件是（　　）
A、對角線相等且互相垂直 B、對角線相等且互相平分
C、對角線互相垂直 D、對角線互相垂直平分
考點(diǎn)：菱形的判定。
分析：根據(jù)菱形的判定方法：對角線互相垂直平分來判斷即可．
解答：解：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．只有D能判定為是菱形，
故選D．
點(diǎn)評：本題考查菱形對角線互相垂直平分的判定．
9、四邊形的四邊長順次為a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，則此四邊形一定是（　　）
A、平行四邊形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
考點(diǎn)：菱形的判定；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方。
分析：本題可通過整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，從而得出a=b=c=d，∴四邊形一定是菱形．
解答：解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，
由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，
∴a=b=c=d，
∴四邊形一定是菱形，
故選C．
點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的判定，關(guān)鍵是整理配方式子，還利用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．
二、填空題（共8小題）
11、四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榱庑?，需要添加的條件是　AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD　（只填一個你認(rèn)為正確的即可）．

考點(diǎn)：菱形的判定。
專題：開放型。
分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．
解答：解：四邊形ABCD的對角線互相平分，則四邊形ABCD為平行四邊形，
再依據(jù)：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，
可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）
點(diǎn)評：本題考查平行四邊形及菱形的判定．菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．
12、如圖，如果要使平行四邊形ABCD成為一個菱形，需要添加一個條件，那么你添加的條件是　AB=AD或AC⊥BD　．

考點(diǎn)：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。
專題：開放型。
分析：菱形的判定方法有三種：
①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．
∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．
解答：解：因為一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，那么可添加的條件是：AB=AD或AC⊥BD．
點(diǎn)評：本題考查菱形的判定，答案不唯一．
13、如圖，平行四邊形ABCD中，AF、CE分別是∠BAD和∠BCD的角平分線，根據(jù)現(xiàn)有的圖形，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形AECF為菱形，則添加的一個條件可以是　AC⊥EF或AF=CF等?。ㄖ恍鑼懗鲆粋€即可，圖中不能再添加別的“點(diǎn)”和“線”）

考點(diǎn)：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。
專題：開放型。
分析：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)知，對角線互相平分，又對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，可得：當(dāng)AC⊥EF時，四邊形AECF是菱形．
解答：解：則添加的一個條件可以是：AC⊥EF．
證明：∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠AFB，
∵AF是∠BAD的平分線，
∴∠BAF=FAD，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
同理ED=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，
則添加的一個條件可以是：AC⊥EF．
點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定，利用角的平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)求解，答案不唯一．
14、在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，從（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD這六個條件中，選取三個推出四邊形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再寫出符合要求的兩個：?。?）（2）（6）　=＞ABCD是菱形；　（3）（4）（5）@（3）（4）（6）　=＞ABCD是菱形．
考點(diǎn)：菱形的判定。
專題：開放型。
分析：菱形的判定方法有三種：
①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．
解答：解：（1）（2）（6）?ABCD是菱形．
先由（1）（2）得出四邊形是平行四邊形，
再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，
由等角對等邊得AD=CD，
所以平行四邊形是菱形．

（3）（4）（5）=＞ABCD是菱形．
由對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形．

（3）（4）（6）=＞ABCD是菱形．
由（3）（4）得出四邊形是平行四邊形，
再由（6）得出∠DAC=∠DCA，
由等角對等邊得AD=CD，
所以平行四邊形是菱形．
點(diǎn)評：本題考查菱形的判定．
15、若四邊形ABCD是平行四邊形，請補(bǔ)充條件　AB=BC@AC⊥BD　（寫一個即可），使四邊形ABCD是菱形．
考點(diǎn)：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。
專題：開放型。
分析：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．
解答：解：因為一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．可補(bǔ)充條件：AB=BC或AC⊥BD．
點(diǎn)評：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角．
16、在四邊形ABCD中，給出四個條件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三個條件推出四邊形ABCD是菱形，你認(rèn)為這三個條件是?、佗邰芑颌冖邰堋。▽懰膫€條件的不給分，只填序號）
考點(diǎn)：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)。
分析：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．
解答：解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E，由③AC⊥BD，④AC平分∠BAD可證得，Rt△AEB≌Rt△AED，
∴AB=AD，BE=DE，
再由∠BEC=∠DEC=90°，CE=CE，證得Rt△BCE≌Rt△DCE，
∴BC=CD，
再由①AB=CD，可根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形而得證為菱形；
或者再由②AD∥BC，證得：Rt△AED≌Rt△BCE，
∴AE=EC，
由對角線互相垂直平分的四邊形是菱形而得證為菱形．
故填寫①③④或②③④．
點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定，利用全等三角形的判定和性質(zhì)來證明．
17、要說明一個四邊形是菱形，可以先說明這個四邊形是　平行四邊　形，再說明　有一組鄰邊相等?。ㄖ恍杼顚懸环N方法）
考點(diǎn)：菱形的判定。
專題：開放型。
分析：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．所以，要說明一個四邊形是菱形，可以先說明這個四邊形是平行四邊形，再說明有一組鄰邊相等．
解答：解：因為一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以，要說明一個四邊形是菱形，可以先說明這個四邊形是平行四邊形，再說明有一組鄰邊相等．
點(diǎn)評：本題考查菱形的判定，答案不唯一．
18、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD相交于點(diǎn)O，不添加任何字母和輔助線，要使四邊形ABCD是菱形，則還需添加一個條件是　AB=BC（答案不唯一）?。ㄖ恍杼顚懸粋€條件即可）．

考點(diǎn)：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。
專題：開放型。
分析：菱形的判定方法有三種：
①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．
所以可添加AB=BC．
解答：解：AB=BC或AC⊥BD等．
點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定，答案不唯一．
三、解答題（共11小題）
19、如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，連接AD，在AD的延長線上取一點(diǎn)E，連接BE， CE．

（1）求證：△ABE≌△ACE；
（2）當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABEC是菱形？并說明理由．
考點(diǎn)：全等三角形的判定；菱形的判定。
專題：證明題。
分析：由題意可知三角形三線合一，結(jié)合SAS可得△ABE≌△ACE．四邊形ABEC相鄰兩邊AB=AC，只需要證明四邊形ABEC是平行四邊形的條件，當(dāng)AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）時，根據(jù)對角線互相平分，可得四邊形是平行四邊形．
解答：（1）證明：∵AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）．

（2）解：當(dāng)AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）時，四邊形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE，
又∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴四邊形ABEC為平行四邊形，
∵AB=AC，
∴四邊形ABEC為菱形．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)和菱形的判定定理，比較容易．
20、如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，連接DE、BF、BD．
（1）求證：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，則四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請證明你的結(jié)論．

考點(diǎn)：全等三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定。
專題：證明題；探究型。
分析：（1）根據(jù)題中已知條件不難得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，那么AE=CF，這樣就具備了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．
（2）直角三角形ADB中，DE是斜邊上的中線，因此DE=BE，又由DE=BF，F(xiàn)D∥BE那么可得出四邊形BFDE是個菱形．
解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS）；

（2）解：若AD⊥BD，則四邊形BFDE是菱形．
證明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴DE=AB=BE．
由題意可知EB∥DF且EB=DF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形．
∴四邊形BFDE是菱形．
點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定等知識點(diǎn)．
21、如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求證：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由．

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定。
專題：證明題。
分析：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出AE=DF；
（2）先根據(jù)已知中的兩組平行線，可證四邊形DEFA是?，再利用AD是角平分線，結(jié)合AE∥DF，易證∠DAF=∠FDA，利用等角對等邊，可得AF=DF，從而可證?AEDF實菱形．
解答：證明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，
同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，四邊形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四邊形AEDF為菱形．
點(diǎn)評：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情況．
22、已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E為AB中點(diǎn)，求證：四邊形BCDE是菱形．

考點(diǎn)：菱形的判定。
專題：證明題。
分析：由題意易得DE=BE，再證四邊形BCDE是平行四邊形，即證四邊形BCDE是菱形．
解答：證明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD （ASA ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四邊相等的四邊形是菱形）
點(diǎn)評：此題主要考查菱形的判定，綜合利用了直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．
23、如圖，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點(diǎn)M．
（1）求證：△ABC≌△DCB；
（2）過點(diǎn)C作CN∥BD，過點(diǎn)B作BN∥AC，CN與BN交于點(diǎn)N，試判斷線段BN與CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

考點(diǎn)：菱形的判定；全等三角形的判定。
專題：證明題；探究型。
分析：（1）由SSS可證△ABC≌△DCB；
（2）BN=CN，可先證明四邊形BMCN是平行四邊形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四邊形BMCN是菱形，則BN=CN．
解答：（1）證明：如圖，在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB；（4分）

（2）解：據(jù)已知有BN=CN．證明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四邊形BMCN是平行四邊形，（6分）
由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM（等角對等邊），
∴四邊形BMCN是菱形，
∴BN=CN．（9分）
點(diǎn)評：此題主要考查全等三角形和菱形的判定．
24、如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CE∥AB交MN于E，連接AE、CD．
（1）求證：AD=CE；
（2）填空：四邊形ADCE的形狀是　　．

考點(diǎn)：菱形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)。
專題：證明題。
分析：根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)線段兩個端點(diǎn)的距離相等，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC∠AOD=∠EOC=90°，
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO，∴AD=CE，OD=OE，
由一組對邊平行且相等知，四邊形ADCE是平行四邊形，
∵OD=OE，OA=OC∠AOD=90°根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形得．平行四邊形ADCE是菱形．
解答：（1）證明：∵M(jìn)N是AC的垂直平分線，（1分）
∴OA=OC∠AOD=∠EOC=90°．（3分）
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO．（4分）
∴△ADO≌△CEO．（5分）
∴AD=CE．（6分）

（2）解：四邊形ADCE是菱形．（8分）
（填寫平行四邊形給1分）
點(diǎn)評：本題利用了：1、中垂線的性質(zhì)，2、全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形和菱形的判定．
25、如圖△ABC與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在AC、BC上，且EF∥AB
（1）求證：四邊形EFCD是菱形；
（2）設(shè)CD=4，求D、F兩點(diǎn)間的距離．

考點(diǎn)：菱形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理。
專題：計算題；證明題。
分析：（1）根據(jù)菱形的判定定理，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由△ABC與△CDE都是等邊三角形，可得出角之間的等量關(guān)系，從而證明四邊形EFCD是菱形；
（2）連接DF，與CE相交于點(diǎn)G，由（1）知DF就是菱形EFCD的一條對角線，根據(jù)菱形的性質(zhì)及30°特殊角的值可計算出結(jié)果．
解答：（1）證明：∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，
∴ED=CD．
∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°．（1分）
∴AB∥CD，DE∥CF．（2分）
又∵EF∥AB，
∴EF∥CD，（3分）
∴四邊形EFCD是菱形．（4分）

（2）解：連接DF，與CE相交于點(diǎn)G，（5分）
由CD=4，可知CG=2，（6分）
∴，（7分）
∴．（8分）
點(diǎn)評：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．
26、如圖，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)C處，折痕DE交BC于點(diǎn)E，連接C′E．
求證：四邊形CDC′E是菱形．

考點(diǎn)：菱形的判定。
專題：證明題。
分析：根據(jù)題意可知△CDE≌△C′DE，則CD=C′D，CE=C′E，要證四邊形CDC′E為菱形，證明CD=CE即可．
解答：證明：根據(jù)題意可知△CDE≌△C′DE，
則CD=C′D，∠C′DE=∠CDE，CE=C′E，
∵AD∥BC，∴∠C′DE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE，
∴CD=C′D=C′E=CE，
∴四邊形CDC′E為菱形．
點(diǎn)評：本題利用了：1、全等三角形的性質(zhì)；2、兩直線平行，內(nèi)錯角相等；3、等邊對等角；4、菱形的判定．
27、已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F．
求證：四邊形AFCE是菱形．

考點(diǎn)：菱形的判定。
專題：證明題。
分析：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定．
解答：證明：方法一：∵AE∥FC．
∴∠EAC=∠FCA．（2分）
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF．（5分）
∴EO=FO．
又EF⊥AC，
∴AC是EF的垂直平分線．（8分）
∴AF=AE，CF=CE，
又∵EA=EC，
∴AF=AE=CE=CF．
∴四邊形AFCE為菱形；（10分）

方法二：同方法一，證得△AOE≌△COF．（5分）
∴AE=CF．
∴四邊形AFCE是平行四邊形．（8分）
又∵EF是AC的垂直平分線，
∴EA=EC，
∴四邊形AFCE是菱形；（10分）

方法三：同方法二，證得四邊形AFCE是平行四邊形．（8分）
又EF⊥AC，（9分）
∴四邊形AFCE為菱形．
點(diǎn)評：本題利用了中垂線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
28、如圖，等邊△ABC的邊長為2，E是邊BC上的動點(diǎn)，EF∥AC交邊AB于點(diǎn)F，在邊AC上取一點(diǎn)P，使PE=EB，連接FP．
（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段；（不再另外添加輔助線）
（2）探究：當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時，四邊形EFPC是平行四邊形？并判斷四邊形EFPC是什么特殊的平行四邊形，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)E為圓心，r為半徑作圓，根據(jù)⊙E與平行四邊形EFPC四條邊交點(diǎn)的總個數(shù)，求相應(yīng)的r的取值范圍．

考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定。
專題：探究型。
分析：（1）由平行易得△BFE是等邊三角形，那么各邊是相等的；
（2）當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時，△PEC為等邊三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四邊形EFPC是平行四邊形，再有EF=EC可證為菱形；
（3）根據(jù)各點(diǎn)到圓心的距離作答即可．
解答：解：（1）易得△BFE是等邊三角形，PE=EB，
∴EF=BE=PE=BF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時，四邊形是菱形；
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EC=BE，
∵PE=BE，
∴PE=EC，
∵∠C=60°，
∴△PEC是等邊三角形，
∴PC=EC=PE，
∵EF=BE，
∴EF=PC，
又∵EF∥CP，
∴四邊形EFPC是平行四邊形，
∵EC=PC=EF，
∴平行四邊形EFPC是菱形；

（3）當(dāng)0＜r＜時，有兩個交點(diǎn)；
當(dāng)r=時，有四個交點(diǎn)；
當(dāng)＜r＜1時，有六個交點(diǎn)；
當(dāng)r=1時，有三個交點(diǎn)；
當(dāng)r＞1時，有0個交點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定及點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)．注意圓和線段有交點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)半徑作答．
29、如圖，已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA．

（1）求△ABC所掃過的圖形的面積；
（2）試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的長．
考點(diǎn)：平移的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定。
專題：計算題；探究型。
分析：（1）根據(jù)題意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，進(jìn)而得出S平行四邊形ABFE=2S△EAF，故可求出△ABC掃過圖形的面積為S△ABC+S平行四邊形ABFE；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得四邊形ABFE為菱形，故AF與BE互相垂直且平分；
（3）根據(jù)題意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD?AC=3，AC?AC=3，進(jìn)而可得AC的長度．
解答：解：（1）連接BF，由題意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF
∴四邊形ABFE為平行四邊形，
∴S平行四邊形ABFE=2S△EAF∴△ABC掃過圖形的面積為S△ABC+S平行四邊形ABFE=3+6=9；

（2）由（1）知四邊形ABFE為平行四邊形，且AB=AE，
∴四邊形ABFE為菱形，
∴AF與BE互相垂直且平分．

（3）過點(diǎn)B作BD⊥CA于點(diǎn)D，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=15°．
∴∠BAD=30°BD=AB=AC．
∴BD?AC=3，AC?AC=3．
∴AC2=12．
∴AC=2．

點(diǎn)評：本題考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知識結(jié)合求解．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力．