學習三角形全等時，我們知道，除了可以通過證明對應(yīng)角相等．對應(yīng)邊相等來判定兩個三角形全等外，還有判定的簡便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．類似地，判定兩個三角形相似時，是不是也存在簡便的判定方法呢？
類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過三邊來判斷兩個三角形相似呢？
2. 會運用“三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似”判定兩個三角形相似，并能進行相關(guān)計算與推理.
1. 復(fù)習已經(jīng)學過的三角形相似的判定定理 .
3. 培養(yǎng)學生探究交流能力，發(fā)展推理能力.
1.定義法:對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似.
如何判斷兩個三角形是否相似?
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
2.平行法:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
還有沒有其他簡單的判斷方法呢？
是否有△ABC∽△A′B′C′？
通過測量不難發(fā)現(xiàn)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因為兩個三角形的邊對應(yīng)成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我們用前面所學的定理證明該結(jié)論.
已知:如圖，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.求證:△ABC∽△A′B′C′.
證明:在△ABC的邊AB(或延長線)上截取AD=A′B′,
過點D作DE∥BC交AC于點E.
又∵ A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA,
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC .
∵AD=A′B′, ∴AD:AB=A′B′:AB.
∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴△ADE≌△A′B′C′.
由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個三角形相似．
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
【討論】在用三邊的比判定兩個三角形相似時，如何尋找對應(yīng)邊？
【總結(jié)】利用三邊的比判定兩個三角形相似時，應(yīng)先將兩個三角形的三邊按大小順序排列，然后分別計算它們對應(yīng)邊的比，最后由比值是否相等來確定兩個三角形是否相似．
例1 已知AB=4 cm，BC=6 cm ，AC=8 cm， A′B′ =12 cm ， B′C′=18 cm ， A′C′=24 cm ，試說明△ABC∽△ A′B′C′.
∴ △ABC∽△ A′B′C′. ＇
利用三邊成比例判斷三角形相似
判定三角形相似的方法之一：如果題中給出了兩個三角形的三邊的長，分別算出三條對應(yīng)邊的比值，看是否相等，計算時最大邊與最大邊對應(yīng)，最短邊與最短邊對應(yīng).
在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，F(xiàn)D＝1.6，那么這兩個三角形能否相似的結(jié)論是______，理由是_________________．
如圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（ ）
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
證明：由已知條件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
如圖，△ABC中，點 D，E，F(xiàn) 分別是 AB，BC，CA的中點，求證：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
證明：∵△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，
試說明∠BAD=∠CAE.
∴ΔABC∽ΔADE.∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE.
解：相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.理由如下：在 △ABC 和 △ADE 中，∵ AB : AD = BC : DE = AC : AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B= ∠ADE ，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE.故圖中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.
如圖，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出圖中相等的角 (對頂角除外)，并說明你的理由.
如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　　） A． B． C． D．
1．下列各組三角形一定相似的是（ ）A．兩個直角三角形 B．兩個鈍角三角形C．兩個等腰三角形 D．兩個等邊三角形
3. 如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列結(jié)論正確的是（ ） A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
4. 判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD.
∴ △DEF ∽ △ABC.
要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6，另一個三角形框架的一邊長為2，它的另外兩條邊長應(yīng)當是多少？你有幾個答案？
解：設(shè)另外兩條邊長分別為x , y
如圖，某地四個鄉(xiāng)鎮(zhèn) A，B，C，D 之間建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 與 CD 平行嗎？說出你的理由.
解：公路 AB 與 CD 平行.
∴ △ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.
三邊成比例兩個三角形相似
利用三邊判定兩個三角形相似
相似三角形的判定定理的運用

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27.2.1 相似三角形的判定

版本： 人教版（2024）

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