相似三角形的判定方法有哪幾種？
1.對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似.
2.平行于三角形一邊，與另外兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
3. 三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似.
4. 兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.
5. 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.
6. 兩邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似.
三角形除了三個(gè)角,三條邊外,還有哪些幾何量?
【思考】如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的這些幾何量有一些怎樣的性質(zhì)呢?
1. 在理解相似三角形特征的基礎(chǔ)上，掌握相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、周長、面積的比等性質(zhì)，并運(yùn)用其進(jìn)行計(jì)算與推理.
2.通過實(shí)踐體會(huì)相似三角形的性質(zhì)，會(huì)用性質(zhì)與判定解決相關(guān)的問題.
3.通過學(xué)習(xí)相似三角形的性質(zhì)，體驗(yàn)類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
△ABC ∽△A′B′C′
如圖， △ABC ∽△A′B′C′ ，若相似比為k ，它們對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比又各是多少？
相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比
∵△ A′B′C′∽△ABC，
又∵ ∠A'D′B' =∠ADB =90°,
∴△A′B′D′∽△ABD.
如圖，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比為k，分別作BC，B′C′上的高AD，A′D′． 求證：
證明：∵△ABC∽△DEF.
相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比.
又∵AM、DN分別是△ABC和△DEF的中線.
∴△ABM∽△DEN.
△ABC∽△DEF. AM、DN分別為中線.
∴BC=2BM,EF=2EN,
證明：∵△ABC∽△DEF. ∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.又∵AM、DN分別是∠BAC和∠EDF的角平分線.
相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比.
△ABC∽△DEF. AM、DN分別為角平分線.
∴∠BAM=∠EDN.
∴△AMB∽△DNE.
相似三角形對應(yīng)中線、角平分線的比也等于相似比.
相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.
一般地，我們有： 相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.

解：∵ △ABC ∽△DEF， 　
例 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分別是 △ABC和 △DEF 的角平分線，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的長.
∴ .
故 EH 的長為 3.2 cm.
利用相似三角形對應(yīng)線段的比求線段的長度
相似三角形對應(yīng)邊的比為2∶3,那么相似比為________,對應(yīng)角的角平分線的比為 .
兩個(gè)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比為1∶4 , 若一個(gè)三角形的最長邊是為12，則另一個(gè)三角形的最長邊是_______.
相似三角形的周長比也等于相似比嗎？為什么？
相似三角形周長的比等于相似比.
∵△ABC ∽△A′B′C′,
△ABC ∽△A′B′C′.
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′
相似三角形的周長比等于相似比.
∵△ABC ∽△A′B′C′，
相似三角形對應(yīng)邊的比為2∶5,那么周長比為________.
兩個(gè)相似三角形周長的比為1∶7 , 則它們的相似比為_______,對應(yīng)邊上角平分線的比為_______.
如圖，△ABC ∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？
相似三角形性質(zhì)定理:
相似三角形面積的比等于相似比的平方.
∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比為k ，
已知兩個(gè)三角形相似，請完成下列表格：
解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB=2DE，AC=2DF，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比為 1 : 2.
利用相似三角形面積的比求面積或線段
如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為 4 : 9，較大三角形一邊上的高為 18，則較小三角形對應(yīng)邊上的高為______.
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它們的相似比為 3 : 5，∴ 面積比為 9 : 25.
利用相似三角形面積的比求多邊形的面積(比）
又∵ △ABC 的面積為 100 cm2，
∴ △ADE 的面積為 36 cm2 .
∴ 四邊形 BCDE 的面積為100－36 = 64 (cm2).
如圖，這是圓桌正上方的燈泡 （點(diǎn)A ） 發(fā)出的光線照射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為 1.2米，桌面距離地面為 1 米，若燈泡距離地面 3 米，則地面上陰影部分的面積約為多少 (結(jié)果保留兩位小數(shù))？
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，桌面的直徑為 1.2 米， ∴ AF = AH－FH = 2 (米)，DF = 1.2÷2 = 0.6(米). ∵DF∥CH，∴△ADF ∽△ACH，
解得 CH = 0.9米.
答：地面上陰影部分的面積為 2.54 平方米.
∴ 陰影部分的面積為：
2.已知△ABC∽△DEF，相似比為2，且△ABC的面積為16，則△DEF的面積為（　?。?A．32 B．8 C．4 D．16
2.如圖是測量河寬的示意圖，AE與BC相交于點(diǎn)D，∠B=∠C=90°，測得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河寬AB=_____m．
3. 把一個(gè)三角形變成和它相似的三角形， (1) 如果邊長擴(kuò)大為原來的 5 倍，那么面積擴(kuò)大為 原來的______倍； (2) 如果面積擴(kuò)大為原來的 100 倍，那么邊長擴(kuò)大 為原來的______倍.
4. 兩個(gè)相似三角形的一對對應(yīng)邊分別是 35 cm、14 cm， (1) 它們的周長差 60 cm，這兩個(gè)三角形的周長分別是________________； (2) 它們的面積之和是 58 cm2，這兩個(gè)三角形的面積分別是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
如圖，△ABC 中，點(diǎn) D、E、F 分別在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 當(dāng) D 點(diǎn)為 AB 中點(diǎn)時(shí)，求 S四邊形BFED : S△ABC 的值.
解：∵ DE∥BC，D 為 AB 中點(diǎn)， ∴ △ADE ∽ △ABC ， 相似比為 1 : 2， 因此面積比為 1 : 4.
又∵ EF∥AB，∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比為 1 : 2，面積比為 1 : 4.設(shè) S△ABC= 4，則 S△ADE = 1，S△EFC = 1，S四邊形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，∴ S四邊形BFED : S△ABC = 2 :4 = .
如圖，△ABC 中，DE∥BC，DE 分別交 AB、AC 于點(diǎn) D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC
解：過點(diǎn) D 作 AC 的垂線，交點(diǎn)為 F，則
又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC.
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比
相似三角形面積的比等于相似比的平方
相似三角形周長的比等于相似比

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27.2.2 相似三角形的性質(zhì)

版本： 人教版（2024）

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