01 基礎(chǔ)題


知識(shí)點(diǎn) 兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似


1．能判定△ABC∽△A′B′C′的條件是(B)


A.eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AC,A′C′)


B.eq \f(AB,AC)＝eq \f(A′B′,A′C′)且∠A＝∠A′


C.eq \f(AB,BC)＝eq \f(A′B′,A′C′)且∠B＝∠C


D.eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AC,A′C′)且∠B＝∠B′


2．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，且將這個(gè)四邊形分成①②③④四個(gè)三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，則下列結(jié)論中一定正確的是(C)


A．①②相似 B．①③相似


C．①④相似 D．②④相似





(第2題) (第4題)


3．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要運(yùn)用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等”判定△ABC與△DEF相似，需添加的一個(gè)條件是∠A＝∠D．


4．如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，OA＝3，OB＝5，OD＝6.當(dāng)OC＝eq \f(18,5)時(shí)，△OAC∽△OBD.


5．如圖，求證：△AEF∽△ABC.





證明：∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(1,2)，eq \f(AF,AC)＝eq \f(1,2)，


∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(AF,AC)．


又∠EAF＝∠BAC，


∴△AEF∽△ABC.


6．如圖，AB＝3AC，BD＝3AE，BD∥AC，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上．求證：△ABD∽△CAE.





證明：∵BD∥AC，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上，


∴∠DBA＝∠CAE.


又∵eq \f(AB,CA)＝eq \f(BD,AE)＝3，


∴△ABD∽△CAE.





7．如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD).





(1)求證：△ACD∽△CBD；


(2)求∠ACB的大?。?br/>

解：(1)證明：∵CD是邊AB上的高，


∴∠ADC＝∠CDB＝90°.


又∵eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，


∴△ACD∽△CBD.


(2)∵△ACD∽△CBD，


∴∠A＝∠BCD.


在△ACD中，∠ADC＝90°.


∴∠A＋∠ACD＝90°.


∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.








02 中檔題


8．(南通模擬)如圖，已知∠C＝∠E，則不一定能使△ABC∽△ADE的條件是(D)


A．∠BAD＝∠CAE B．∠B＝∠D


C.eq \f(BC,DE)＝eq \f(AC,AE) D.eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)





(第8題) (第9題)


9．如圖，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，當(dāng)BD＝eq \f(1,2)時(shí)，△ACB∽△CBD.


10．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線BD，AC相交于點(diǎn)E，問△AED與△BEC是否相似？有一位同學(xué)這樣解答：





∵AB∥CD，


∴∠ABE＝∠CDE，∠BAE＝∠DCE.


∴△AEB∽△CED.


∴eq \f(AE,CE)＝eq \f(BE,DE).


又∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC.


請(qǐng)判斷這位同學(xué)的解答是否正確？并說明理由．


解：不正確．


∵由已知條件不能得到eq \f(AE,BE)＝eq \f(DE,CE)，


∴不能證得△AED∽△BEC.





11．如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)．△ACB和△DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，ED的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F.





(1)求證：△ACB∽△DCE；


(2)求證：EF⊥AB.


證明：(1)∵eq \f(AC,DC)＝eq \f(3,2)，eq \f(BC,EC)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，


∴eq \f(AC,DC)＝eq \f(BC,EC).


又∵△ACB和△DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，


∴∠ACB＝∠DCE＝90°.


∴△ACB∽△DCE.


(2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC.


又∵∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°.


∴∠EFA＝90°.∴EF⊥AB.








12．如圖，在△ABC中，AC＝8 cm，BC＝16 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AC邊向點(diǎn)C以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB邊向點(diǎn)B以2 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果P與Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒△PQC和△ABC相似？





解：設(shè)經(jīng)過x秒，兩三角形相似，


則CP＝AC－AP＝8－x，CQ＝2x，


①當(dāng)CP與CA是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，eq \f(CP,CA)＝eq \f(CQ,CB)，


即eq \f(8－x,8)＝eq \f(2x,16)，解得x＝4.


②當(dāng)CP與CB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，eq \f(CP,CB)＝eq \f(CQ,CA)，


即eq \f(8－x,16)＝eq \f(2x,8)，解得x＝eq \f(8,5).


故經(jīng)過4 s或eq \f(8,5) s，△PQC和△ABC相似．


03 綜合題


13．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，點(diǎn)P在直線BD上，由B點(diǎn)到D點(diǎn)移動(dòng)．





(1)當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到離B點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)，△ABP∽△PDC?


(2)當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到離B點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)，∠APC＝90°？


解：(1)設(shè)BP＝x cm，則PD＝(14－x)cm.


∵△ABP∽△PDC，AB⊥BD，CD⊥BD，


∴∠B＝∠D＝90°.


∴eq \f(AB,PD)＝eq \f(BP,DC)，即eq \f(6,14－x)＝eq \f(x,4).


解得x1＝2，x2＝12.


∴BP＝2 cm或12 cm.


∴當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到離B點(diǎn)2 cm或12 cm時(shí)，△ABP∽△PDC.


(2)若∠APC＝90°，則∠APB＋∠CPD＝90°.


又∵AB⊥BD，CD⊥BD，


∴∠B＝∠D＝90°，即∠A＋∠APB＝90°.


∴∠A＝∠CPD.


∴△ABP∽△PDC.


∴要使∠APC＝90°，則需滿足△ABP∽△PDC.


∵由(1)得此時(shí)BP＝2 cm或12 cm，


∴當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到離B點(diǎn)2 cm或12 cm時(shí)，∠APC＝90°.


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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

27.2.1 相似三角形的判定

版本： 人教版

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