觀察兩副三角尺如圖，其中同樣角度（30°與60°，或45°與45°）的兩個三角尺大小可能不同，但它們看起來是相似的．一般地，如果兩個三角形有兩組對應(yīng)角相等，它們一定相似嗎？
1. 掌握“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”的判定方法.
2. 能夠運用三角形相似的條件解決簡單的問題.
3. 掌握判定兩個直角三角形相似的方法，并能進行相關(guān)計算與推理.
滿足：∠C = ∠C'
把你的結(jié)果與鄰座的同學(xué)比較，你們的結(jié)論一樣嗎？ △ABC和△A'B'C'相似嗎？
△ABC和△A'B'C'相似
你能試著證明△A′B′C′∽△ABC嗎？
如圖，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，求證: △ABC∽△A'B'C'.
證明：在△ABC的邊AB（或延長線）上，截取AD=A'B'，過點D作DE//BC，交AC于點E，則有△ADE∽△ABC.
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B',
又∵∠A=∠A ' ，AD=A'B',
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△A'B'C'∽△ABC.
由此得到利用兩組角判定兩個三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
例1 如圖所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判斷這兩個三角形是否相似．
解：∵ ∠B＝∠B′＝90°，
∴ △ABC∽△A′B′C′.
例2 弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點P,求證:PA·PB=PC·PD.
證明:連接AC、BD.
∵∠A、∠D都是弧CB所對的圓周角,
∴△PAC∽△PDB.
即PA·PB=PC·PD.
∴ .
如圖，⊙O 的弦 AB，CD 相交于點 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，則 PD = .
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90°. 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC.
如圖，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一點，AE = 5，ED⊥AB，垂足為D. 求AD的長.
由此得到一個判定直角三角形相似的方法：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似.
△ABC∽△A1B1C1.
你能證明嗎？可要仔細喲！
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1，
證明：設(shè) ，則AB=kA′B′，AC=kA′C′. 由 ，得 ∴ . ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例， 那么這兩個直角三角形相似.
判定兩直角三角形相似的定理
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2， ，要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：（1） 當(dāng) Rt△ABC ∽ Rt△ACD 時，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 ，解得 AB=3；
（2）當(dāng) Rt△ACB ∽ Rt△CDA 時，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 ，解得 ．∴ 當(dāng) AB 的長為 3 或 時，這兩個直角三角形相似．
如圖，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6，AD=2，則 AC= ，BD= ，BC= .
1.如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，則邊AC的長為（　?。?A．2 B．4 C．6 D．8
2.學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為（　?。〢．0.2mB．0.3mC．0.4mD．0.5m
1. 如圖，△ABC中，AE 交 BC 于點 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，則DC的長等于（ ）
2. 如圖，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=60°，∠B =40°，∠A' = 60°，當(dāng)∠C'= 時，△ABC ∽△A'B'C'.
3. 如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， 求證：△ADE∽△EFC.
證明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
證明：∵ 在△ ABC中，∠A=40°，∠B=80°， ∴ ∠C=180°－∠A－∠B=60°. ∵ 在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. ∴ △ABC ∽△DEF.
4. 如圖，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求證：△ABC ∽△DEF.
證明：∵ △ABC 的高AD、BE交于點F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD （對頂角相等） ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴
1. 如圖，△ABC 的高 AD、BE 交于點 F． 求證：
解：∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
2.已知:如圖,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
如圖，BE是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC 的高， 求證：AC · BC = BE · CD.
證明： 連接CE，又∵BE是△ABC的外接圓O的直徑， ∴∠BCE= 90°=∠ADC，
∴△ACD∽△EBC.
∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC，
兩角分別相等的兩個三角形相似
利用兩角判定三角形相似

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）九年級下冊電子課本

27.2.1 相似三角形的判定

版本： 人教版（2024）

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