1.相似多邊形的特征是什么？2.怎樣判定兩個(gè)多邊形相似？3.什么叫相似比？4.相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1， ， 那么△ABC與△A1B1C1相似嗎？我們還有其他方法判定兩個(gè)三角形相似嗎？
1. 理解相似三角形的概念，并會(huì)用以證明和計(jì)算.
2.體會(huì)用相似符號(hào)“∽”表示的相似三角形之間的邊，角對(duì)應(yīng)關(guān)系.
3. 掌握平行線分線段成比例的基本事實(shí)及其推論的應(yīng)用，會(huì)用平行線判定兩個(gè)三角形相似并進(jìn)行證明和計(jì)算.
請(qǐng)分別度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的兩條線段AB, BC和在l2 上截得的兩條線段DE, EF的長(zhǎng)度, AB： BC與DE：EF相等嗎？任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的長(zhǎng)度, 它們的比值還相等嗎？
平行線分線段成比例定理
事實(shí)上，當(dāng)l3 //l4 // l5時(shí)，都可以得到 ， 還可以得到 ， ， 等.

通過(guò)探究，你得到了什么規(guī)律呢？
一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
若a∥b∥ c ，則 ， ，
1. 如何理解“對(duì)應(yīng)線段”？2.“對(duì)應(yīng)線段”成比例都有哪些表達(dá)形式？
如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯(cuò)誤的是 ( ) A. B. C. D.
如圖，直線l3∥l4∥l5，由平行線分線段成比例的基本事實(shí)，我們可以得出圖中對(duì)應(yīng)成比例的線段，
把直線 l1向左或向右任意平移，這些線段依然成比例.
平行線分線段成比例定理的推論
如果把圖1中l(wèi)1 , l2兩條直線相交，交點(diǎn)A剛好落到l3上，如圖2（1），所得的對(duì)應(yīng)線段的比會(huì)相等嗎？依據(jù)是什么？
【思考】如果把圖1中l(wèi)1 , l2兩條直線相交，交點(diǎn)A剛好落到l4上，如圖2（2）所得的對(duì)應(yīng)線段的比會(huì)相等嗎？依據(jù)是什么？
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
解：∵l1∥l2∥l3， ∴ . 又∵ ，DE＝6， ∴ ， 解得EF＝4. ∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.
例 如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
解：∵AC=4，EC=1，
如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，　BE=6cm，F(xiàn)C=3cm，AF的長(zhǎng)為_(kāi)______．
如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線DE，交AC于點(diǎn)E.問(wèn)題1 △ADE與△ABC的三個(gè)角分別相等嗎？問(wèn)題2 分別度量△ADE與△ABC的邊長(zhǎng)，它們的邊 長(zhǎng)是否對(duì)應(yīng)成比例？
問(wèn)題3 你認(rèn)為△ADE與△ABC之間有什么關(guān)系？平行移動(dòng)DE的位置，你的結(jié)論還成立嗎？
通過(guò)度量，我們發(fā)現(xiàn)△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，這個(gè)結(jié)論恒成立.
【思考】1.我們通過(guò)度量三角形的邊長(zhǎng)，知道△ADE∽ △ABC，但要用相似的定義去證明它，我們需要證明什么？
2.由前面的結(jié)論，我們可以得到什么？還需證明什么？
用相似的定義證明△ADE∽△ABC
證明:在△ADE與△ABC中，
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
過(guò)E作EF//AB交BC于F,
∵四邊形DBFE是平行四邊形,
∴△ADE∽△ABC .
已知：如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB ， AC于點(diǎn)D、E． 求證：△ADE∽△ABC .
定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
符號(hào)語(yǔ)言：∵ DE//BC,∴△ADE∽△ABC．
【討論】過(guò)點(diǎn)D作與AC平行的直線與BC相交，可否證明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出現(xiàn)一邊的平行線，那么你應(yīng)該聯(lián)想到什么？
【方法總結(jié)】過(guò)點(diǎn)D作與AC平行的直線與BC相交，仍可證明△ADE∽△ABC，這與教材第31頁(yè)證法雷同．題目中有平行線，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)，可列出比例式．
已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對(duì)相似三角形.
1. 如圖，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC = 4 cm，EF 長(zhǎng)（ ）
3.如圖，在△ABC中， EF∥BC.（ 1 ）如果E、F分別是 AB 和 AC 上的點(diǎn)， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的長(zhǎng)是多少？
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的長(zhǎng)是多少？
如圖所示，如果D，E，F(xiàn)分別在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求證：OD∶OA＝OE∶OB
證明： ∵ DF∥AC，
如圖，已知菱形 ABCD 內(nèi)接于△AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的邊長(zhǎng).
解：∵ 四邊形 ABCD 為菱形，
設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為 x cm，則CD = AD = x cm，DF = (4－x ）cm，
兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
平行線分線段成比例定理及其推論

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27.2.1 相似三角形的判定

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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