1. 兩個三角形全等有哪些判定方法？2. 我們學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
(1)通過定義（三邊對應(yīng)成比例，三角分別相等）;(2)平行于三角形一邊的直線;(3)三邊對應(yīng)成比例.
類似于判定三角形全等的SAS方法，我們能不能通過兩邊和夾角來判斷兩個三角形相似呢？
1. 探索“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定定理并且會運用.
2. 會運用“兩邊成比例且夾角相等”判定兩個三角形相似，并進行相關(guān)計算與推理.
改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？
實際上，我們有利用兩邊和夾角判定兩個三角形相似的方法.
改變k的值具有相同的結(jié)論
兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似
如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似．
類似于證明通過三邊判定三角形相似的方法，我們試證明這個結(jié)論．
△ABC ∽ △A'B'C'
已知：如圖， △A'B'C'和 △ABC中，∠A' =∠A，A'B'：AB = A'C'：AC
求證：△A'B'C' ∽ △ABC
證明：在△ABC 的邊AB、AC（或它們的延長線）上分別截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，連結(jié)DE，因∠A ' =∠A，這樣△A'B'C' ≌ △ADE
∴ △ADE ∽ △ABC
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
【思考】對于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′，這兩個三角形一定會相似嗎？
不一定，如下圖，因為能構(gòu)造符合條件的三角形有兩個，其中一個和原三角形相似，另一個不相似.

如果兩個三角形兩邊對應(yīng)成比例，但相等的角不是兩條對應(yīng)邊的夾角，那么兩個三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應(yīng)邊的夾角.
∴ △ABC∽△A'B'C'
利用兩邊成比例且夾角相等識別三角形相似
△ABC∽△A'B'C ' .
已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30 ，判斷△ABC與△A'B'C'是否相似，并說明理由.
∴△ABC∽△A'B'C'.
△ABC∽△A'B'C' .
解：∵ AE=1.5，AC=2，
又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，
利用三角形相似求線段的長度
提示：解題時要找準(zhǔn)對應(yīng)邊.
解：（1）CD :CB＝BC :AC .（2）設(shè)CD＝x,則CA＝x＋2．當(dāng)△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,有CD:CB＝BC:AC，即 ,所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．但x２＝－3不符合題意,應(yīng)舍去．所以CD＝1．
證明： ∵ CD 是邊 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
方法總結(jié)：解題時需注意隱含條件，如垂直關(guān)系，三角形的高等.
如圖，已知在△ABC 中，∠C＝90°，D、E 分別是AB、AC 上的點，AE：AD＝AB：AC．試問:DE 與AB 垂直嗎? 為什么?
證明：DE⊥AB．理由如下: ∵　AE：AD＝AB：AC, ∴ 　 ． 又　∠A＝∠A, ∴　△ABC∽△AED． ∴　∠ADE＝∠C＝90°． ∴　DE 與AB 垂直．
如圖，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．求證：△ABC∽△AED．
證明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40． ∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED．
∴ ， ，
∴ ，
1. 如圖，D 是 △ABC 一邊 BC 上一點，連接 AD，使△ABC ∽ △DBA的條件是 （ ） A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求證：△DEF∽△ABC.
證明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
3. 如圖，△ABC 與 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求證：△ABC ∽△ADE.
證明：∵ AD =AE，AB = AC，
又 ∵∠DAB = ∠CAE，∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
解：∵AB=6，BC=4，AC=5， ，
又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，
如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，試判斷△ADE與△ABC是否相似，某同學(xué)的解答如下：解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，∴AD=7.8-4.8=3. ∵ ∴這兩個三角形不相似.你同意他的判斷嗎？請說明理由.
解：他的判斷是錯誤的. ∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8， ∴AD=7.8-4.8=3. ∵ ， ， ∴ ． 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB ．
利用兩邊及夾角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的運用

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）九年級下冊電子課本

27.2.1 相似三角形的判定

版本： 人教版（2024）

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