學(xué)習(xí)目標(biāo)


1.掌握相似三角形的性質(zhì),理解相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比,面積的比等于相似比的平方.


2.能應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)角、線段、周長(zhǎng)、面積等有關(guān)計(jì)算.


學(xué)習(xí)過(guò)程


一、自主預(yù)習(xí)


1.根據(jù)相似三角形的定義可知,相似三角形有什么性質(zhì)?


2.三角形中有各種各樣的幾何量,除了三條邊的長(zhǎng)度、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)外,還有高、中線、角平分線的長(zhǎng)度,以及周長(zhǎng)、面積等.如果兩個(gè)三角形相似,那么除邊、角外的其他幾何量之間有什么關(guān)系呢?


二、探究新知


探究1:如圖,△ABC∽△A'B'C',相似比為k,它們對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比各是多少?





猜想:相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比各是 .


證明:如圖1,分別作△ABC∽△A'B'C'的對(duì)應(yīng)高AD和A'D',


∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B= ;


∵ = =90°,∴ ∽ ;


∴=k.


即:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比是 .


類似的,可以證明相似三角形 、 的比也等于 .


這樣,我們得到 .


探究2:相似三角形面積的比與相似比有什么關(guān)系?





設(shè)△ABC與△A'B'C'的相似比為k,分別作△ABC和△A'B'C'的對(duì)應(yīng)高AD,A'D'.


則AD= A'D',BC= B'C'.


∴S△ABC=BC·AD=× B'C'· A'D'= S△A'B'C',∴= .


相似三角形的面積比等于 .


三、例題學(xué)習(xí)


【例3】如圖,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,BC邊上的高為6,面積是12,求△DEF的邊EF上的高和面積.





解:





四、反饋練習(xí)


1.判斷題(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”).


(1)一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍,這個(gè)三角形的角平分線也擴(kuò)大為原來(lái)的5倍;( )


(2)一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的9倍,這個(gè)三角形的面積也擴(kuò)大為原來(lái)的9倍.( )


2.如圖,△ABC與△A'B'C'相似,AD,BE是△ABC的高,A'D',B'E'是△A'B'C'的高,求證:.








3.在一張復(fù)印出來(lái)的紙上,一個(gè)三角形的一條邊由原圖中的2 cm變成了6 cm,放縮比例是多少?這個(gè)三角形的面積發(fā)生了怎樣的變化?


五、能力提升


1.如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比是9∶4,那么它們的對(duì)應(yīng)角平分線的比為( )


A.9∶4 B.81∶16 C.16∶81 D.2∶3


2.△ABC中的三條中位線圍成的三角形周長(zhǎng)是15 cm,則△ABC的周長(zhǎng)為( )


A.60 cmB.45 cm


C.30 cmD. cm


3.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)的中線長(zhǎng)分別是6 cm和18 cm,若較大三角形的周長(zhǎng)是42 cm,面積是12 cm2,則較小三角形的周長(zhǎng)為 cm,面積為 cm2.





4.如圖,在△ABC中,AB=8,AC=6,BC=9,如果動(dòng)點(diǎn)D以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度,從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),直線DE∥BC,交AC于E.記x秒時(shí)DE的長(zhǎng)度是y,寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.并畫出它的圖象.








六、系統(tǒng)小結(jié)


相似三角形的性質(zhì)總共有哪些?





評(píng)價(jià)作業(yè)





1.如圖所示,AB∥CD,,則△AOB的周長(zhǎng)與△DOC的周長(zhǎng)比是( )


A.


B.


C.


D.


2.若兩個(gè)相似三角形面積的比為1∶5,則它們的相似比為( )


A.1∶25 B.1∶5


C.1∶2.5D.1∶





3.如圖所示,在?ABCD中,E是AD邊上的中點(diǎn),連接BE,并延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則△EDF與△BCF的周長(zhǎng)之比是( )


A.1∶2


B.1∶3


C.1∶4


D.1∶5





4.如圖所示,在△ABC中,DE∥BC,,則下列結(jié)論中正確的是( )


A.


B.


C.


D.


5.△ABC∽△A'B'C',且相似比是3∶4,△ABC的面積是27 cm2,則△A'B'C'的面積為 cm2.


6.已知△ABC∽△DEF,若△ABC與△DEF的相似比為2∶3,則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)邊上的中線的比為 .





7.如圖所示,把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置,它們的重疊部分(即圖中的陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半,若AB=,則此三角形移動(dòng)的距離AA'= .





8.如圖所示,平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等,則= .


9.在△ABC中,AB=9,AC=12,BC=18,D為AC上一點(diǎn),AD=4,在AB上取一點(diǎn)E,得到△ADE,若這兩個(gè)三角形相似,則它們的周長(zhǎng)之比是 .





10.如圖所示,若BC∥DE,,S△ABC=4,求S四邊形DBCE的值.














11.如圖所示,在?ABCD中,E是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),BE與AD交于點(diǎn)F,DE=CD.


(1)求證:△ABF∽△CEB;

















(2)若△DEF的面積為2,求?ABCD的面積.























參考答案


學(xué)習(xí)過(guò)程


一、自主預(yù)習(xí)


1.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.


2.其他幾何量之間的比值有的等于相似比,有的等于相似比的平方.


二、探究新知


探究1:


猜想:相似比


證明:∠B' ∠ADB ∠A'D'B' △ADB △A'D'B' 相似比 對(duì)應(yīng)中線 對(duì)應(yīng)角平分線 相似比


相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比


探究2:k k k k k2 k2 相似比的平方


三、例題學(xué)習(xí)


【例3】解:在△ABC和△DEF中,


∵AB=2DE,AC=2DF,


∴.


又∠D=∠A,


∴△DEF∽△ABC,△DEF與△ABC的相似比為.


∵△ABC的邊BC上的高為6,面積為12,


∴△DEF的邊EF上的高為×6=3,面積為×12=3.


四、反饋練習(xí)


答案:


1.(1)√ (2)×


2.證明:△ABC∽△A'B'C',令相似比為k,∵AD,A'D'分別是BC邊和B'C'邊上的高,∴=k,同理,=k,即.


3.解:放縮比例是3∶1,面積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍.


五、能力提升


1.A


2.C


3.14


4.解:由題意可知BD=2x,則AD=AB-BD=8-2x,


∵DE∥BC,


∴,即,


∴y=-x+9(0≤x≤4),


其圖象如圖所示:





六、系統(tǒng)小結(jié)


(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例;


(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等;


(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線)的比等于相似比;


(4)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比;


(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方.


評(píng)價(jià)作業(yè)


1.D 2.D 3.A 4.C 5.48 6.2∶3 7.-1 8. 9.


10.解:∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴.∵,∴.又∵S△ABC=4,∴S△ADE=,∴S四邊形DBCE=.


11.(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.


(2)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AB平行且等于CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=CD,∴.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,∴S四邊形BCDF=S△BCE-S△DEF=16.∴S四邊形ABCD=S四邊形BCDF+S△ABF=16+8=24.








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