1. 在前面，我們學(xué)過哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性質(zhì)是什么？2. 觀察下列圖片，你會利用相似三角形知識解決一些不能直接測量的物體（如塔高、河寬等）的長度或高度的問題嗎？
世界上最寬的河 ——亞馬遜河
世界上最高的樹—— 紅杉
1.能運用三角形相似的性質(zhì)定理與判定定理進行簡單的幾何推理.
2.進一步了解數(shù)學(xué)建模思想，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，能利用相似三角形的知識設(shè)計方案解決一些簡單的實際問題，如高度和寬度的測量問題.
古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯利用相似三角形的原理，測量金字塔的高度.
利用相似三角形測物體
例1 據(jù)史料記者，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度．
如圖，如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．
解：太陽光是平行光線，因此∠BAO＝∠EDF.
又∠AOB＝∠DFE＝90°,
∴ △ABO∽△DEF．
因此金字塔的高為134m．
∴ ,
【討論】利用太陽光測量物體的高度一般需要注意哪些問題？
【方法總結(jié)】在同一時刻，太陽光下不同物體的高度之比與其影長之比相等．利用太陽光測量物體的高度需要注意：（1）由于太陽相對于地面的位置在不停地改變，影長也隨著太陽位置的變化而發(fā)生變化，因此要在同一時刻測量影長．（2）被測物體的底部必須在可以到達的地方，否則，測不到被測物體的影長，從而計算不出物體的高．（3）表達式：物1高 ：物2高 = 影1長 ：影2長.
在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時測得一棟高樓的影長為90m，這棟高樓的高度是多少？
∵△ABC ∽ △A'B'C',
解得 A'C'=54m.
答：這棟高樓的高度是54m.
測量不能到達頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.
注：反射角與入射角相等是隱含條件.
如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點 P 處放一水平的平面鏡，光線從點 A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端 C 處，已知 AB = 2 米，且測得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么該古城墻的高度是 （ ） A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
例2 如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．如果測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的寬度PQ．
解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴ △PQR∽△PST．
因此，河寬大約為90m.
【討論】測量前面例題中的河寬，你還有哪些方法？
【方法總結(jié)】利用相似測量不能直接到達的兩點間的距離，關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，構(gòu)造的相似三角形可以為“A”字型，也可以為“X”字型，并測量出必要的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出所要求的兩點間的距離．該例題還可參照課本P41頁練習(xí)2設(shè)計測量方案．
如圖，測得BD=200m，DC=50m，EC=70m，求河寬AB．
∴△ABD∽△ECD.
答：河寬AB為280m.
測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.
例3 已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB＝8m和CD＝12m，兩樹底部的距離BD＝5m．一個人估計自己眼睛距地面1.6m.她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l 從左向右前進，當她與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C了？
分析：如圖（1），設(shè)觀察者眼睛的位置為點F，畫出觀察者的水平視線FG，分別交AB、CD于點H、K．視線FA、FG的夾角∠AFH是觀察點A時的仰角.類似地，∠CFK是觀察點C時的仰角．由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域（盲區(qū)）之內(nèi)．
解：如圖（2），假設(shè)觀察者從左向右走到點E時，她的眼睛的位置點E與兩棵樹頂端點A、C恰在一條直線上．
由題意可知，AB⊥l，CD⊥l,
∴ AB∥CD，△AEH∽△CEK.
解得 EH＝8（m）.
由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進，即她與左邊樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到它．
【討論】利用相似來解決測量物體高度的問題的一般思路是怎樣的?
【方法總結(jié)】一般情況下，可以從人眼所在的部位向物體作垂線，根據(jù)人、物體都與地面垂直構(gòu)造相似三角形數(shù)學(xué)模型，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等解決問題．
如圖，AD⊥AB，EF ⊥ AB，BC ⊥ AB，DH ⊥ BC，DH交EF于G點，則AD＝_____＝_____，圖中的相似三角形是 ______∽______．
1.如圖．利用標桿BE測量建筑物的高度．已知標桿BE高1.2m，測得AB=1.6m．BC=12.4m．則建筑物CD的高是（　　） A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
2.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時立一根一尺五寸的小標桿，它的影長五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長為（　　） A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
2. 如圖，九年級某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量學(xué)校旗桿的高度，當身高 1.6 米的楚陽同學(xué)站在 C 處時，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，同一時刻，其他成員測得 AC = 2 米，AB = 10 米，則旗桿的高度是____米．
3. 如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點 A，再在河的這一邊選點 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再選點 E，使 EC ⊥ BC ，用視線確定 BC 和 AE 的交點 D．?
此時如果測得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離 AB．
解：∵ ∠ADB＝∠EDC， ?
∠ABC＝∠ECD＝90°， ?
∴ △ABD∽△ECD.
解得 AB = 100(m).
因此，兩岸間的大致距離為 100 m.
如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板 DEF 來測量操場旗桿 AB 的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊 DF 與地面保持平行，并使邊 DE 與旗桿頂點 A 在同一直線上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目測點 D 到地面的距離 DG = 1.5 米，到旗桿的水平距離 DC = 20 米，求旗桿的高度.
解：由題意可得：△DEF∽△DCA，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
解得：AC = 10，AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 （m）.答：旗桿的高度為 11.5 m.
如圖，某一時刻，旗桿 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上．小明測得旗桿 AB 在地面上的影長 BC 為 9.6 m，在墻面上的影長 CD 為 2 m．同一時刻，小明又測得豎立于地面長 1 m 的標桿的影長為 1.2 m．請幫助小明求出旗桿的高度．
解：如圖：過點 D 作 DE∥BC，交 AB 于點 E，∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，∵ 在同一時刻物高與影長成正比例，∴ EA : ED=1 : 1.2，∴ AE = 8 m，∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，故學(xué)校旗桿的高度為 10 m.
利用相似三角形測量高度
利用相似三角形測量寬度
利用相似解決有遮擋物問題

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27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例

版本： 人教版（2024）

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