與三角形有關(guān)的線段和角


















































概 述

















【知識導(dǎo)圖】


三角形內(nèi)角


三角形外角

















教學(xué)過程








【教學(xué)建議】


建議采用多媒體輔助教學(xué)，利用幾何畫板對三角形三邊關(guān)系進(jìn)行直觀演示，通過兩邊之和小于、等于、大于第三邊三種情況的演示. 直觀、生動地反映三角形三邊關(guān)系. 還有以及通過在不同的三角形中，各線段（中線、高、角分線）位置差別的比較，形成對基本概念的準(zhǔn)確把握.





一、復(fù)習(xí)與預(yù)習(xí)





一、復(fù)習(xí)與預(yù)習(xí)








1、三角形是我們早已熟悉的圖形，例舉出日常生活中的三角形物體；


2、根據(jù)對三角形的了解畫出一個三角形，復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的關(guān)于三角形的相關(guān)知識：三角形的面積公式、三角形的穩(wěn)定性等.





二、知識講解





二、知識講解








考點(diǎn)1





考點(diǎn)1








三角形的相關(guān)概念


1、不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.


2、組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱角，相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn).





考點(diǎn)2


3、三角形ABC用符號表示為△ABC. 三角形ABC的頂點(diǎn)C所對的邊AB可用c 表示, 頂點(diǎn)B所對的邊AC可用b表示, 頂點(diǎn)A所對的邊BC可用a表示.





考點(diǎn)2





三角形的分類








考點(diǎn)3





考點(diǎn)3








三角形三邊的關(guān)系


三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.





考點(diǎn)4





考點(diǎn)4








三角形的高


從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高，表示為AD⊥BC于點(diǎn)D.


注意：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線.


再畫出這個三角形AB 、AC邊上的高，三角形的三條高相交于一點(diǎn)。


現(xiàn)在我們來畫鈍角三角形三邊上的高，如圖.


A


B


C


O


D


E


F

















再畫出一個直角三角形三邊上的高，上面的結(jié)論還成立.


請畫出下列三角形的高





考點(diǎn)5





（1）


（2）


（3）








考點(diǎn)5








三角形的中線


如圖，我們把連結(jié)△ABC的頂點(diǎn)A和它的對邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線，表示為BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.


在圖中畫出△ABC的另兩條邊上的中線，三角的三條中線相交于一點(diǎn).





三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)叫做三角形的重心.


請畫出下列三角形的中線





考點(diǎn)6


（1）


（2）


（3）





考點(diǎn)6








三角形的角平分線


如圖，畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線,表示為∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC.





三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，是不一樣的. 三角形三個角的平分線相交于一點(diǎn).


如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結(jié)論仍然成立.


請畫出下列三角形的角平分線





考點(diǎn)7








考點(diǎn)7


（1）


（2）


（3）











三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°


用平行線的性質(zhì)證明內(nèi)角和180°


已知△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°。


證明：過點(diǎn)C作CM∥AB，則∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，


又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°


∴∠A+∠B+∠ACB=180°.


即：三角形的內(nèi)角和等于180°.








考點(diǎn)8








直角三角形的兩個銳角互余


由三角形內(nèi)角和定理容易得到：直角三角形的兩個銳角互余，這是直角三角形的一個重要性質(zhì)，運(yùn)用它可以解決直角三角形中交的計(jì)算問題.





考點(diǎn)9








三角形外角的概念





∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.


三角形的外角共有六個.


注意：每個頂點(diǎn)處有兩個外角，它們是對頂角。研究與三角形外角有關(guān)的問題時，通常每個頂點(diǎn)處取一個外角.








考點(diǎn)10





考點(diǎn)10








三角形外角的性質(zhì)


三角形的外角∠ACD與相鄰的內(nèi)角∠ACB是鄰補(bǔ)角.


如圖，這是我們證明三角形內(nèi)角和定理時畫的輔助線，你能就此圖說明∠ACD與∠A、∠B的關(guān)系嗎？





∵CM∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2


又∠ACD=∠1+∠2


∴∠ACD=∠A+∠B


三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.


三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.





四、例題精析








四、例題精析





【例題1】


已知三角形兩邊長分別為3和8，則該三角形第三邊的長可能是（ ）


A．5 B．10 C．11 D．12





【例題2】


下面四個圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是（ ）


B．


C． D．





【例題3】


如右圖， 在ΔABC中，AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，∠B=40°，∠BAD=30°，則∠C的度數(shù)是 ；








【例題4】


一個三角形的三條邊長分別為1、2、x，則x的取值范圍是（ ）


A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3


【例題5】


有3cm，6cm，8cm，9cm的四條線段，任選其中的三條線段組成一個三角形，則最多能組成三角形的個數(shù)為（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4





五、課堂應(yīng)用





五、課堂應(yīng)用








基礎(chǔ)








下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（ ）


A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形


已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么邊AC的長可能是下列哪個值（ ）


A．11 B．5 C．2 D．1


下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（ ）


B．


C． D．














鞏固











鞏固





1. 如圖1，M是鐵絲AD的中點(diǎn)，將該鐵絲首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如圖2．則下列說法正確的是（ ）





A．點(diǎn)M在AB上


B．點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)處


C．點(diǎn)M在BC上，且距點(diǎn)B較近，距點(diǎn)C較遠(yuǎn)


D．點(diǎn)M在BC上，且距點(diǎn)C較近，距點(diǎn)B較遠(yuǎn)





2. 如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？














提高








1. 如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC= .








五、課堂小結(jié)





六、課堂小結(jié)








1、對于三角形的概念學(xué)生在之前已有所接觸，要注意三角形按邊分類的分法，這是學(xué)生容易出錯的地方，本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是“兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊”.


2、三角形的高、中線、角平分線的概念和畫法.


3、三角形的三條高、三條中線、三條角平分線及交點(diǎn)的位置規(guī)律.


4、探索和證明與三角形的角有關(guān)的結(jié)論，并運(yùn)用這些結(jié)論解決問題.（三角形的內(nèi)角和等于180°，直角三角形的兩個銳角互余.）


5、用平行線的性質(zhì)與平角的定義給出這個結(jié)論的證明.


6、三角形的外角的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.


7、注意性質(zhì)的靈活應(yīng)用，及在計(jì)算中的應(yīng)用.








六、課后作業(yè)





七、課后作業(yè)








基礎(chǔ)





基礎(chǔ)








1. 一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為（ ）


A．17 B．15 C．13 D．13或17


2.下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）


A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）





鞏固








鞏固








長為9，6，5，4的四根木條，選其中三根組成三角形，選法有（ ）


A．1種B．2種C．3種D．4種


若一個三角形三邊長分別為2，3，x，則x的值可以為 （只需填一個整數(shù)）


如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線BE，CD相交于點(diǎn)F，已知∠ABC＝42°，∠A＝60°，求∠BFC的度數(shù)．











提高








一個三角形的兩邊長分別是2和3，若它的第三邊長為奇數(shù)，則這個三角形的周長為 ．


輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達(dá)C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，求∠A的度數(shù)．





如圖1，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.





(1)猜測∠1與∠2的關(guān)系，并說明理由；


(2)如果∠BAC是鈍角，如圖2，(1)中的結(jié)論是否還成立？








七、教學(xué)反思








八、教學(xué)反思





適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初二
適用區(qū)域
人教版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點(diǎn)
三角形的概念；三角形三邊的關(guān)系定理及推論；三角形中的主要線段；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì).
教學(xué)目標(biāo)
了解三角形的意義,認(rèn)識三角形的邊、內(nèi)角、頂點(diǎn)，能用符號語言表示三角形；


理解三角形三邊不等的關(guān)系，會判斷三條線段能否構(gòu)成一個三角形,并能運(yùn)用它解決有關(guān)的問題；


認(rèn)識三角形的高、中線與角平分線；會畫三角形的高、中線與角平分線；了解三角形的三條高所在的直線,三條中線,三條角平分線分別交于一點(diǎn)；掌握三角形內(nèi)角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性質(zhì)，能利用三角形外角的性質(zhì)解決問題.
教學(xué)重點(diǎn)
三角形的有關(guān)概念和符號表示，三角形三邊間的不等關(guān)系；三角形的高、中線與角平分線；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角和三角形外角的性質(zhì).
教學(xué)難點(diǎn)
用三角形三邊不等關(guān)系判定三條線段可否組成三角形；三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別；理解三角形的外角.

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