多邊形及其內(nèi)角和















































概 述











【教學建議】


本節(jié)課是探究多邊形的概念和性質(zhì)，是三角形有關知識的拓展，學習四邊形的基礎. 在學過三角形的內(nèi)角和的基礎上，探索多邊形的內(nèi)角和. 在這個過程中，要引導學生自己去慢慢推理探索.發(fā)展學生的說理和簡單推理的意識和能力,為以后的學習幾何打下基礎.











【知識導圖】











教學過程








一、復習與預習








1、復習三角形的有關概念，三角形的定義、三角形相關的線、三角形三邊的關系.


2、三角形相關的角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理.


3、由幾條線段組成；它們不在同一條直線上；首尾順次相接．


這種在平面內(nèi)，由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.


多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……、n邊形。這就是說，一個多邊形由幾條線段組成，就叫做幾邊形，三角形是最簡單的多邊形.





二、知識講解








考點1








多邊形概念


在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形（p1ygn）.


多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡單的多邊形。如果一個多邊形由n條線段組成，那么這個多邊形就叫做n邊形。如圖7.3—2，螺母底面的邊緣可以設計為六邊形，也可以設計為八邊形.





多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。圖7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五邊形ABCDE的5個內(nèi)角。多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.


圖7.3－4中的∠l是五邊形ABCDE的一個外角.








考點2








多邊形的對角線


連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線（diagnal）.圖7.3—5中，AC、AD是五邊形ABCDE的兩條對角線.


特別提醒：n邊形（n≥3）從一個頂點可引出（n－3）條對角線，把n邊形分割成（n－2）個三角形，共有對角線條.


例如：十邊形有________條對角線。在這里n=10，就可套用對角線條數(shù)公式（條）.











考點3








凸多邊形與凹多邊形





在圖（1）中，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖（2）就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我們畫BD所在直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，我們稱它為凹多邊形.


注意：今后我們討論的多邊形指的都是凸多邊形．





考點4








正多邊形


等邊三角形、正方形的各個角都相等，各條邊都相等，像這樣各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.








考點5








多邊形的內(nèi)角和


從四邊形的一個頂點出發(fā)可以引一條對角線，它們將四邊形分成兩個三角形，因此，四邊形的內(nèi)角和=△ABD的內(nèi)角和+△BDC的內(nèi)角和=2×180°=360°.


A


B


C


D





觀察下面的圖形





五邊形 六邊形


從五邊形一個頂點出發(fā)可以引兩條對角線，它們將五邊形分成三個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于540°；


從六邊形一個頂點出發(fā)可以引三條對角線，它們將六邊形分成四個三角形，六邊形的內(nèi)角和等于720°；


從n邊形一個頂點出發(fā)，可以引（n-3）對角線，它們將n邊形分成（n-2）三角形，n邊形的內(nèi)角和等于（n一2）·180°.


n邊形的內(nèi)角和等于（n一2）·180°．








四、例題精析








【例題1】


下列圖形中，不具有穩(wěn)定性的是（ ）


B． C． D．


【例題2】


一個多邊形的內(nèi)角和是900°，這個多邊形的邊數(shù)是（ ）


A．10 B．9 C．8 D．7


【例題3】


如圖，∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形ABCDE的4個外角．若∠A=120°，則∠1+∠2+∠3+∠4= ．








【例題4】


若一個多邊形截去一個角后，變成十五邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)可能為（ ）


A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17


【例題5】


若兩個多邊形的邊數(shù)之比是1：2，內(nèi)角和度數(shù)之和為1440°，求這兩個多邊形的邊數(shù)．





五、課堂應用








基礎








若一個多邊形的邊數(shù)增加1，它的內(nèi)角和（ ）


A．不變 B．增加1 C．增加180° D．增加360°


如果一個多邊形的內(nèi)角和是720°，那么這個多邊形的對角線的條數(shù)是（ ）


A．6 B．9 C．14 D．20





鞏固








如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的n倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（ ）


A．n B．2n﹣2 C．2n D．2n+2


2. 一個多邊形中，除一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和是120°，則這個角的度數(shù)是（ ）


A．60° B．80° C．100° D．120°


3. 若n邊形的每個內(nèi)角都是150°，則n= ．


提高








如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？


如圖，已知四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B與∠D的關系．











分別畫出下列各多邊形的對角線，并觀察圖形完成下列問題：


（1）試寫出用n邊形的邊數(shù)n表示對角線總條數(shù)S的式子： ．


（2）從十五邊形的一個頂點可以引出 條對角線，十五邊形共有 對角線.


（3）如果一個多邊形對角線的條數(shù)與它的邊數(shù)相等，求這個多邊形的邊數(shù)．














六、課堂小結(jié)








本節(jié)課主要學習多邊形的定義及多邊形內(nèi)角和與外角和，熟記多邊形對角線公式：；多邊形內(nèi)角和公式；以及多邊形外交和恒為360°在公式中的應用中注意靈活變化.


本節(jié)內(nèi)容的展開運用了類比、推廣的方法，以及把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題、化未知為已知的思想方法等，教學中應結(jié)合具體內(nèi)容讓學生加以體會.





七、課后作業(yè)











基礎





某學生在計算四個多邊形的內(nèi)角和時，得到下列四個答案，其中錯誤的是（ ）


A．180° B．540° C．1900° D．1080°


一個多邊形的外角中，鈍角的個數(shù)不可能是（ ）


A．1個 B．2個 C．3個 D．4個








鞏固








已知一個多邊形的內(nèi)角和與它的外角和正好相等，則這個多邊形是 邊形．


若從一多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可引10條對角線，則它是（ ）


A．十三邊形 B．十二邊形 C．十一邊形 D．十邊形


3. 一個多邊形的每一個外角都等于24°，求這個多邊形的邊數(shù)．





提高








若一個多邊形的各內(nèi)角都相等，則一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比不可能是（ ）


A．2：1 B．1：1 C．5：2 D．5：4


2. 一個多邊形的每一個內(nèi)角都相等，一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比為m：n，其中m，n是互質(zhì)的正整數(shù)，求這個多邊形的邊數(shù)（用m，n表示）及n的值．








八、教學反思





適用學科
初中數(shù)學
適用年級
初二
適用區(qū)域
人教版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
多邊形；多邊形的內(nèi)角和與外角和
教學目標
1、了解多邊形及有關概念，理解正多邊形的概念．


2、區(qū)別凸多邊形與凹多邊形


3、了解多邊形的內(nèi)角、外角等概念；


4、能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會應用它們進行有關計算．
教學重點
多邊形及有關概念、正多邊形的概念；多邊形的內(nèi)角和與多邊形的外角和公式.
教學難點
區(qū)別凸多邊形與凹多邊形；多邊形的內(nèi)角和定理的推導.

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版本： 人教版

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