第12講


講























因式分解












































概 述











【教學(xué)建議】


由整式的乘除過(guò)渡到因式分解，體現(xiàn)了知識(shí)的相互依存與互逆關(guān)系。因式分解為后續(xù)學(xué)習(xí)分式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算、解一元二次方程等的重要基礎(chǔ)。同時(shí)也是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)。所以這章比較重要。


對(duì)于因式分解，學(xué)生的學(xué)習(xí)困難主要在：（1）識(shí)別因式分解。因式分解與整式乘法是互逆形式，因式分解的分解目標(biāo)是多項(xiàng)式，化成幾個(gè)因式乘積的形式。（2）因式分解結(jié)果要求每個(gè)因式都不能再分解為止，每個(gè)因式首項(xiàng)系數(shù)符號(hào)為正等。（3）因式分解的步驟牢記：整體觀察，一提，二套，三綜合。














【知識(shí)導(dǎo)圖】














教學(xué)過(guò)程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個(gè)環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。


導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法：


情境導(dǎo)入，比如講一個(gè)和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象；


溫故知新，在知識(shí)體系中，從學(xué)生已有知識(shí)入手，揭示本節(jié)知識(shí)與舊知識(shí)的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。


提供一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)供講師參考：


創(chuàng)設(shè)情境，引出問題


1、已知：的值


解：方法1（直接法）


方法2（間接法）


＝


總結(jié)：將原式做一些恒等變形：（多項(xiàng)式化成整式乘積的形式，簡(jiǎn)化運(yùn)算）


設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)類比兩種方法，讓學(xué)生感受因式分解帶來(lái)的簡(jiǎn)便性。以后的學(xué)習(xí)中我們會(huì)體會(huì)到這種恒等變形，不僅能簡(jiǎn)便運(yùn)算，它也是學(xué)習(xí)分式通分、約分、解方程的恒等變形的基礎(chǔ)，對(duì)代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)有著相當(dāng)重要的意義。





二、知識(shí)講解








考點(diǎn)1 因式分解定義








【教學(xué)建議】通過(guò)前面的引導(dǎo)，得到因式分解的定義，注意因式分解與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系。


1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式?？梢姡蚴椒纸馐嵌囗?xiàng)式的一種變形，因式分解與整式乘法是形式相反的過(guò)程。


2.以下問題需要注意：


（1）因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這與整式的乘法正好相反.


（2）因式分解要到不能再分解為止.


（3）并不是所有的因式都可以進(jìn)行因式分解.如等不能進(jìn)行因式分解.


（4）分解因式是恒等變形.








考點(diǎn)2 提取公因式








（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式化成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。


（2）找公因式的方法：①系數(shù)取公約②字母找公有③指數(shù)找最低④首項(xiàng)與公因式的符號(hào)保持一致。


（3）注意的問題：


①提公因式式時(shí)要提“全”提“凈”.


②注意避免分解因式的漏項(xiàng)問題.如，漏掉“1”


③在把含有字母的式子作為公因式提出來(lái)時(shí)，要注意統(tǒng)一字母的排列順序.如：.


④如果多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，一般應(yīng)先提出“－”，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，然后再對(duì)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式提取公因數(shù).


如：











考點(diǎn)3 基礎(chǔ)公式法











1．平方差公式


(1)概念：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。


字母表示：其中，a、b可以是單項(xiàng)式 也可以是多項(xiàng)式。


(2)特點(diǎn)：左邊是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反；右邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積．


2．完全平方公式


(1)概念：兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的 2 倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。字母表示：


(2)特點(diǎn)：左邊是三項(xiàng)式，其中首尾兩項(xiàng)分別是兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的平方，且這兩項(xiàng)的符號(hào)相同，中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的積的 2 倍，符號(hào)正負(fù)均可；右邊是這兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的和（或者差）的平方．（公式中的 a 、b 可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式）。


（3）用配方法對(duì)多項(xiàng)式變形，如：








考點(diǎn)4 十字相乘法








1.對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)”。


①當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；


②當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。


2.對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式





它的特征是“拆兩頭，湊中間”。


①當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，先提出負(fù)號(hào)，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)；


②常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；


③常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對(duì)值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同


3.注意：用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯(cuò)誤出現(xiàn)：一是沒有認(rèn)真地驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母．





考點(diǎn)5 分組分解法








我們把被分解的多項(xiàng)式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和運(yùn)用公式法進(jìn)行分解，然后，綜合起來(lái)，再?gòu)目傮w上按“基本方法”繼續(xù)進(jìn)行分解，直到分解出最后結(jié)果。這種分解因式的方法叫做分組分解法





三 、例題精析








類型一 因式分解的識(shí)別








例題1








從左到右是因式分解的是( )


A B .


C. D.





例題2








判斷下列各式分解因式正確的是（ ）


A.x2-3x+1=x(x-3)+1 B.18a3bc=3a2b·6ac


C.2m(m-n)=2m2-2mn D.3a2+6a=3a（a+2）





類型二 提取公因式





例題1








多項(xiàng)式應(yīng)提取的公因式是（ ）


A. B. C. D.











例題2








填空題：


1. ；( ) ；


.


2.多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式是 _.











類型三 公式法





例題1





利用因式分解計(jì)算








例題2








下列各式中能用完全平方公式因式分解的是( )


A. B. C. D.





例題3





如果，那么p等于 ( )


A．a(chǎn)b B．a(chǎn)＋b C．－ab D．－(a＋b)





類型四 因式分解的綜合





例題1








分解因式：（1）4﹣12（x﹣y）+9（x﹣y）2（2）4m2n2﹣（m2+n2）2








例題2








【教學(xué)建議】本題有一定難度，視學(xué)生掌握程度選擇使用.


對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解為（x+a）2的形式，但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我們可以在二次三項(xiàng)式x2+2ax﹣3a2中先加上一項(xiàng)a2，使其成為完全平方式，再減去a2項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變．于是有x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．


像上面這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添項(xiàng)法．


請(qǐng)用上述方法把m2﹣6m+8分解因式．














四 、課堂運(yùn)用








基礎(chǔ)











判斷下列恒等變形是否為因式分解？


（1） （2）


（3） （4）


（5） （6）


下列各式中能用平方差公式因式分解的是( )


A. B . C. D.


下列各式是完全平方式的是（ ）


A. B.


C. D.





因式分解的結(jié)果是( )


A. B. C. D.











鞏固








因式分解的結(jié)果是( )


A. B.


C. D.


利用因式分解計(jì)算： ．


時(shí)，是完全平方式．若成立，則 ， ．











拔高








把下列各式分解因式：








利用因式分解計(jì)算:


（1）已知求的值．


（2）若，求的值．


已知是的三邊，且滿足關(guān)系式，試判定的形狀．











五 、課堂小結(jié)








1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。可見，因式分解與整式乘法是相反的過(guò)程。


2.如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式化成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。


3.找公因式的方法：①系數(shù)取公約②字母找公有③指數(shù)找最低④首項(xiàng)與公因式的符號(hào)保持一致。


4.在學(xué)習(xí)了多種方法之后，應(yīng)當(dāng)注意因式分解的步驟：


（1）先看是否可以用提取公因式法分解因式；


（2）觀察是否可以使用公式；


*（3）嘗試十字相乘法；


*（4）嘗試分組分解法；


（5）觀察是否可以繼續(xù)分解．


六 、課后作業(yè)

















基礎(chǔ)








下列各式的因式分解中,正確的是（ ）


A. B.


C.D.


把多項(xiàng)式分解因式為，則的值是（ ）


A. 2 B. C. D.


已知 求的值．


分解下列各式:


①； ②；


③ ；④ ；














鞏固











因式分解應(yīng)為( )


A. B.


C. D.


填空題:


( _)


( _)


( _)


把下列各式分解因式：


； ；


；

















拔高








等于( )


A. B. C. D.





利用因式分解說(shuō)明367﹣612能被140整除





計(jì)算：























七 、教學(xué)反思

















適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初中二年級(jí)
適用區(qū)域
人教版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
因式分解：提公因式法；十字相乘法
教學(xué)目標(biāo)
1.了解因式分解的意義，知道它與整式乘法在整式形變過(guò)程中的相反關(guān)系；能夠利用提公因式法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解


2.經(jīng)歷探索多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式過(guò)程，依據(jù)數(shù)學(xué)化歸思想方法進(jìn)行因式分解


3.通過(guò)觀察，推導(dǎo)分解因式與整式乘法的關(guān)系，了解事物間的因果聯(lián)系


4. 十字相乘的定義
教學(xué)重點(diǎn)
運(yùn)用提公因式法對(duì)整式進(jìn)行因式分解；十字相乘法因式分解
教學(xué)難點(diǎn)
用提公因式法進(jìn)行因式分解的正確應(yīng)用

相關(guān)教案

初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)15.2 分式的運(yùn)算綜合與測(cè)試優(yōu)質(zhì)教案：

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)15.2 分式的運(yùn)算綜合與測(cè)試優(yōu)質(zhì)教案，共13頁(yè)。教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖等內(nèi)容，歡迎下載使用。

八年級(jí)上冊(cè)15.3 分式方程獲獎(jiǎng)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思：

這是一份八年級(jí)上冊(cè)15.3 分式方程獲獎(jiǎng)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思，共14頁(yè)。教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)14.3 因式分解綜合與測(cè)試優(yōu)質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)：

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)14.3 因式分解綜合與測(cè)試優(yōu)質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)，共20頁(yè)。教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖，總結(jié)與反思等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)教案 更多

初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)15.1 分式綜合與測(cè)試公開課教案

初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)15.1 分式綜合與測(cè)試公開課教案
【精品講義】 人教版 八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第09講 期中復(fù)習(xí)（講義+練習(xí)）學(xué)生版

【精品講義】 人教版 八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第09講 期中復(fù)習(xí)（講義+練習(xí)）學(xué)生版
人教版八年級(jí)上冊(cè)14.2 乘法公式綜合與測(cè)試優(yōu)質(zhì)教案

人教版八年級(jí)上冊(cè)14.2 乘法公式綜合與測(cè)試優(yōu)質(zhì)教案
人教版八年級(jí)上冊(cè)14.1 整式的乘法綜合與測(cè)試優(yōu)質(zhì)教案

人教版八年級(jí)上冊(cè)14.1 整式的乘法綜合與測(cè)試優(yōu)質(zhì)教案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)電子課本

本節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 人教版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部