全等三角形的判定1















































概 述








【知識(shí)導(dǎo)圖】











教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








1、復(fù)習(xí)三角形相關(guān)概念及性質(zhì)：


①三角形的三邊關(guān)系


②與三角形有關(guān)的線段


③三角形的內(nèi)角與外角


④正多邊形相關(guān)概念


2、從幾個(gè)圖形中找到兩個(gè)完全一樣的圖形，引出全等形的概念。





二、知識(shí)講解








考點(diǎn)1全等形及全等三角形


胞








能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，則能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。





考點(diǎn)2全等三角形的概念








把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。


“全等”符號：“≌”讀作“全等于”


證兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上，如果本圖11．1─2△ABC和△DBC全等，點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)B，點(diǎn)C和點(diǎn)C是對應(yīng)頂點(diǎn)，記作△ABC≌△DBC．














考點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)








全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等。


如圖1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是對應(yīng)頂點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形中相等的邊：OC=OB、OA=OD、AC=DB。相等的角:∠A=∠D、∠C=∠B、∠COD=∠BOD。








考點(diǎn)4全等三角形的判定SSS








三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”．





考點(diǎn)5判定全等三角形的書寫方法














在△ABC和△A1B1C1中





∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）





考點(diǎn)6全等三角形的判定SAS








兩邊一夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”．





考點(diǎn)7判定全等三角形的書寫方法








在△ABC和△A1B1C1中





∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）





三 、例題精析














例題1








如果△ABC≌△DEF，△DEF的周長為13，DE=3，EF=4，則AC的長為（ ）


A．13B．3C．4D．6


【答案】D


【解析】∵△ABC≌△DEF，


∴DF=AC，


∵△DEF的周長為13，


DE=3，EF=4，


∴DF=6，即AC=6，


故選D．





例題2








某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成三片，現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊完全一樣形狀的玻璃那么最省事的辦法是帶________去配．（ ）





A．① B．② C．③ D．①和②


【答案】C




















例題3








如圖，△ABC≌△ADE，B點(diǎn)的對應(yīng)頂點(diǎn)是D點(diǎn)，若∠BAD=100°，∠CAE=40°，求∠BAC的度數(shù)．








【答案】∵△ABC≌△ADE，


∴∠BAC=∠DAE，


∴∠BAC-∠CAE=∠DAE-∠CAE，


即∠BAE=∠DAC，


∵∠BAD=100°，∠CAE=40°，


∴∠BAE=（∠BAD-∠CAE）=（100°-40°）=30°，


∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=30°+40°=70°．


【解析】本題考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖并求出∠BAE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵


根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAC=∠DAE，然后求出∠BAE=∠DAC，再根據(jù)∠BAC=∠BAE+∠CAE，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．








例題4








用尺規(guī)作圖，驗(yàn)證全等三角形——SSS


【答案】畫一個(gè)△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：


1．畫線段取B′C′=BC；


2．分別以B′、C′為圓心，線段AB、AC為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A′；


3．連接線段A′B′、A′C′．





【解析】在思考、實(shí)踐的基礎(chǔ)上可以歸納出下面判定兩個(gè)三角形全等的定理．


（1）判定方法：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）．


（2）判斷兩個(gè)三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等．





例題5








如圖所示，△ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架，求證△ABD≌△ACD．





【答案】證明：∵D是BC的中點(diǎn)，


∴BD=CD


在△ABD和△ACD中





∴△ABD≌△ACD（SSS）．


【解析】要證明△ABD≌△ACD，可看這兩個(gè)三角形的三條邊是否對應(yīng)相等，根據(jù)“邊邊邊”判定三角形全等





例題6








已知∠AOB，求作：∠A’O’B’，使∠A’O’B’=∠AOB


【答案】


【解析】先作射線O′B′，然后以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑，畫弧分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F，以O(shè)′為圓心，以相同的長度為半徑畫弧與OB′相交于點(diǎn)E′，再以點(diǎn)E′為圓心，以EF的長度為半徑畫弧，與前弧相交于點(diǎn)F′，過點(diǎn)O′、F′作射OA′，則∠A′O′B′即為所求。


由作法可知，OF=O′F′，OE=O′E′,EF=E′F′，根據(jù)“邊邊邊”可知兩個(gè)三角形全等，所以∠A′O′B′=∠AOB





例題7








如圖，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求證：△AFD≌△CEB





【答案】∵AE＝CF


∴AE-EF＝CF-EF


∴AF=CE


∵AD//BC


∴∠A=∠C


在△AFD和△CEB中


∴△AFD≌△CEB


【解析】首先標(biāo)記已知條件，平行得等角，由等式性質(zhì)得等邊，根據(jù)判定定理進(jìn)行證明。





四 、課堂運(yùn)用











基礎(chǔ)











1.如圖，在△ABC和△DEC中，∠BCE=∠ACD，BC=EC請你,添加一個(gè)條件，使得△ABC和△DEC全等。并加以證明。你添加的條件是





2.若△ABC≌△DEF，△ABC的周長為100cm，DE=30cm，DF=25cm，那么BC長（ ）


A．55cm B．45cm C．30cm D．25cm


3.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB于D，交BC于E，則∠CAE的度數(shù)是（ ）


A．15° B．30° C．60° D．75°





答案與解析


1【答案】CD=CA


【解析】添加的條件：CD=CA，


理由：∵∠BCE=∠ACD，


∴∠BCE+∠BCD=∠ACD+∠BCD，


即∠ECD=∠ACB，


在△ABC和△DEC中


，


∴△ABC≌△DEC （SAS），


2【答案】B


【解析】∵△ABC≌△DEF,且△ABC的周長為100cm


∴△DEF的周長為100cm


即：DE+DF+EF=100cm.


∴BC=EF=100-30-25=45cm.


故選B.


3.答案】C





【解析】∵△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，


∴∠BAC=90°-∠B=90°-15°=75°．


∵D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB于D，


∴AE=BE，


∴∠B=∠BAE=15°，


∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=75°-15°=60°．


故選C．





D








鞏固


3.如圖，





1.如圖，在等邊△ABC中，D，E分別AC，AB是上的點(diǎn)，且AD=BE，CE與BD交于點(diǎn)P，則∠BPE的度數(shù)為（ ）


A．75° B．60° C．55° D．45°








2.已知∠AOB，求作：∠A’O’B’，使∠A’O’B’=∠AOB





答案與解析


1【答案】B


【解析】∵△ABC是等邊三角形，


∴AC=BC，∠A=∠CBE=60°，


又知BD=CE，


在△ABD和△CBE中，


，


∴△ABD≌△BCE（SAS），


∴∠DBA=∠BCE，


∵∠BPE=∠BCE+∠CBP，


∴∠BPE=∠ABD+∠CBP=∠ABC=60°，





2【答案】


【解析】先作射線O′B′，然后以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑，畫弧分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F，以O(shè)′為圓心，以相同的長度為半徑畫弧與OB′相交于點(diǎn)E′，再以點(diǎn)E′為圓心，以EF的長度為半徑畫弧，與前弧相交于點(diǎn)F′，過點(diǎn)O′、F′作射OA′，則∠A′O′B′即為所求。


由作法可知，OF=O′F′，OE=O′E′,EF=E′F′，根據(jù)“邊邊邊”可知兩個(gè)三角形全等











拔高











1、如圖，已知AB=AD，BC=DC，AC和BD相交于點(diǎn)O，（1）求證△ABC≌△ADC；（2）求證△ABO≌△ADO








（第2題圖）


2、如圖，已知，AD=AB，求證：。














3、如圖，已知AB＝AC，AE＝AD，∠1＝∠2，你能說明△ABD≌△ACE嗎？





（第3題圖）

















答案與解析


略


略


略





五 、課堂小結(jié)








本節(jié)課主要講授全等形和全等三角形的定義及性質(zhì)，讓大家了解什么是全等三角形，全等三角形有哪些性質(zhì)。會(huì)確定全等三角形的對應(yīng)元素．掌握找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法．





六 、課后作業(yè)


找對應(yīng)邊、對應(yīng)角有下面兩種方法：（1）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（2）對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．








基礎(chǔ)





1.如圖所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，在下列結(jié)論中，不正確的是（ ）


2.我國的紙傘工藝十分巧妙，如圖，傘不論張開還是縮攏，△AED與△AFD始終保持全等，因此傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)．你知道△AED≌△AFD的理由嗎？（ ）


3.如圖所示，將一長方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，折痕為MN，圖中有全等三角形嗎？若有，請找出并證明．





答案與解析


1.【答案】C．∵△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，∴BC=EF，∠AFE=∠ACB，∠EAB=∠FAC，∠BAC=∠CAF不是對應(yīng)角，因此不相等．


【解析】確認(rèn)兩條線段或兩個(gè)角相等，往往利用全等三角形的性質(zhì)求解．


2【答案】C．∵E、F為定點(diǎn)，∴AE=AF，又∵AD=AD，ED=FD，


∴在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SSS）．


【解析】由題意可知AE=AF，AD=AD，DE=DF根據(jù)SSS即可證明△AED≌△AFD．


3【答案】∵四邊形ABCD是長方形，∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90°


∵四邊形NCDM翻折得到四邊形NAEM，∴AE=CD，∠E=∠D=90°，∠EAN=∠C=90°．


∴AB=AE，∠B=∠E，∠DAB=∠EAN，即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM，


∴∠BAN=∠EAM．在△ABN與△AEM中，，∴△ABN≌△AEM（ASA）．





鞏固


【解析】判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等，角須是兩邊夾角．基礎(chǔ)





1.如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，求證：△ABD≌△ACE．








2.如圖，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，則∠BCD等于（ ）





3.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、EC．


試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．








答案與解析


1【答案】證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠EAC=∠DAB，


在△AEC和△ADB中，∴△AEC≌△ADB（SAS）．


【解析】考查了全等三角形的判定，推出∠EAC=∠DAB是解題的關(guān)鍵．


2.B


3【答案】數(shù)量關(guān)系為：BE=EC，位置關(guān)系是：BE⊥EC．


證明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一個(gè)銳角是45°，


∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，


∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，∵D是AC的中點(diǎn)，


∴AD=CD=AC，∵AC=2AB，∴AB=AD=DC，


∵在△EAB和△EDC中，，∴△EAB≌△EDC（SAS），∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，∴BE⊥EC．


【解析】證明線段相等的問題一般的解決方法是轉(zhuǎn)化為證明三角形全等．





拔高








1.如圖，△ABC中，M為BC中點(diǎn)，DM⊥ME，MD交AB于D，ME交AC于E．


求證：BD+CE＞DE．





2.如圖，在△ABC中，O為內(nèi)心，點(diǎn)E、F都在大邊BC上．已知BF=BA，CE=CA．求證：∠EOF=∠ABC+∠ACB．





3.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D．


（1）求證：AE=CD；


（2）若AC=12cm，求BD的長．





答案與解析


1.【答案】證明：如圖，延長DM到F，使MF=DM，連接EF、CF，∵BM=CM，∠BMD=∠CMF，


∴△BDM≌△CFM（SAS），∴BD=CF，∵DM⊥ME，DM=FM，ME是公共邊，


∴△DEM≌△FEM（SAS），∴DE=FE，在△ECF中，EC+FC＞EF，∴BD+EC＞DE．


【解析】作輔助線構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵．


2、略


3、略





七 、教學(xué)反思


適用學(xué)科
數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)
適用年級
初二初中二年級
適用區(qū)域
人教版
課時(shí)時(shí)長（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
全等圖形；全等三角形的表示和性質(zhì)；全等三角形的判定SSS,SAS
教學(xué)目標(biāo)
掌握全等形、全等三角形及全等三角形的對應(yīng)元素；掌握全等三角形的性質(zhì)，能用符號正確地表示兩個(gè)三角形全等；能熟練找出兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊；了解三角形的穩(wěn)定性，會(huì)應(yīng)用“邊邊邊”判定兩個(gè)三角形全等；會(huì)應(yīng)用“邊角邊”判定兩個(gè)三角形全等
教學(xué)重點(diǎn)
確定全等三角形的對應(yīng)元素；掌握SSS、SAS、的含義，并能靈活運(yùn)用它們進(jìn)行全等證明
教學(xué)難點(diǎn)
掌握找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法；


理解證明的基本過程，學(xué)會(huì)綜合分析法；掌握圖形特征，尋找適合條件的兩個(gè)三角形

A．
∠EAB=∠FAC
B．
BC=EF
C．
∠BAC=∠CAF
D．
∠AFE=∠ACB

A．
SAS
B．
ASA
C．
SSS
D．
AAS

A．
80°
B．
60°
C．
40°
D．
20°

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12.2 三角形全等的判定

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