第14講


講























分式的運(yùn)算












































概 述














【教學(xué)建議】


分式的乘除在有關(guān)分式的運(yùn)算中占有非常重要的地位，是有關(guān)分式運(yùn)算的基礎(chǔ).分式的乘除法是分?jǐn)?shù)乘除法的延伸和拓展，它們的本質(zhì)相同，可以類比分?jǐn)?shù)的乘除法法則得到分式的乘除法法則.分式的乘法法則是除法法則的基礎(chǔ)，分式的除法必須轉(zhuǎn)化為分式的乘法運(yùn)算.


學(xué)生在小學(xué)時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過同分母分?jǐn)?shù)加減及異分母分?jǐn)?shù)加減的運(yùn)算法則，并且經(jīng)歷過用字母表示現(xiàn)實(shí)情境中數(shù)量關(guān)系的過程。由此類比分式的加減法，可以猜想分式的加減運(yùn)算法則。在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷過一些從實(shí)際問題建模的思想，因此本節(jié)課從實(shí)際問題入手，能夠引起學(xué)生的有意記憶；同時(shí)，還與整式運(yùn)算、分解因式等有密切聯(lián)系，因此可以加強(qiáng)知識(shí)之間的縱向聯(lián)系。





【知識(shí)導(dǎo)圖】

















教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個(gè)環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。


導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法：


情境導(dǎo)入，比如講一個(gè)和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象；


溫故知新，在知識(shí)體系中，從學(xué)生已有知識(shí)入手，揭示本節(jié)知識(shí)與舊知識(shí)的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。


提供一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)供講師參考：


復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)


上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了分式的基本性質(zhì)，我們可以發(fā)現(xiàn)它與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類似，那么分式的運(yùn)算是否也和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算類似呢？


探索、交流——觀察下列算式：


×=, ×=,


÷=×=, ÷=×=


觀察上面運(yùn)算，可知：


兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；


兩個(gè)分?jǐn)?shù)相除，把除數(shù)的分子和分母顛倒位置后，再與被除數(shù)相乘.


對(duì)比分?jǐn)?shù)的乘除法猜猜








二、知識(shí)講解








考點(diǎn)1 分式的乘法法則








【教學(xué)建議】通過前面的引導(dǎo)，得到分式乘法法則，注意區(qū)別在字母部分。





分式的乘法法則


與分?jǐn)?shù)的乘法法則類似，我們得到分式的乘法法則：兩個(gè)分式相乘，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．


符號(hào)表示： ．


說明：


分式與分式相乘時(shí)，若分子和分母都是多項(xiàng)式，則先分解因式，看能否約分，然后再相乘。


（2）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）與分式的分子相乘作為積的分子，分母不變，當(dāng)然能約分的要約分。








考點(diǎn)2 分式的除法法則








與分?jǐn)?shù)的除法法則類似，我們得到分式的除法法則：兩個(gè)分式相除，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．


符號(hào)表示： ．


說明：


當(dāng)分式的分子與分母都是單項(xiàng)式時(shí)，運(yùn)算步驟是：把除式中的分子與分母顛倒位置后，與被除式相乘，其它與乘法運(yùn)算步驟相同。


（2）當(dāng)分子與分母都是多項(xiàng)式時(shí)：運(yùn)算步驟是：


①把各個(gè)分式的分子與分母分解因式；


②把除式的分子與分母顛倒位置后，與被除式相乘；


③約分，得到計(jì)算結(jié)果.








考點(diǎn)3 分式的乘方法則








分式的乘方


幾個(gè)相同分式的積的運(yùn)算叫做分式的乘方。法則：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分別乘方。


符號(hào)表示：（為正整數(shù)）。


說明：


（1）分式的乘方，必須把分式加上括號(hào)。


（2）在一個(gè)算式中同時(shí)含有分式的乘方、乘法、除法時(shí)，應(yīng)先算乘方，再算乘、除，有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先分解因式，再約分。


3. （1）同底數(shù)冪的除法法則： (a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n).


同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減. 規(guī)定：


（2）一般地，我們規(guī)定： （a≠0，n是正整數(shù)）


這就是說，任何不等于零的數(shù)的－n （n為正整數(shù)）次冪，等于這個(gè)數(shù)的n 次冪的倒數(shù).


（3）（a,b為實(shí)數(shù)且ab≠0，m是正整數(shù)）








考點(diǎn)4 同分母分式的加減法








同分母分式的加減法則


同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；


符號(hào)表示： ．


說明：


同分母分式相加減時(shí)應(yīng)注意：


①當(dāng)分式的分子是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先添括號(hào)，再去括號(hào)合并同類項(xiàng)，從而避免符號(hào)錯(cuò)誤。


②分式的分子相加減后，若結(jié)果為多項(xiàng)式，應(yīng)先考慮因式分解后與分母約分，將結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式或整式。








考點(diǎn)5 單調(diào)區(qū)間的定義








異分母分式的加減法則


異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p．


說明：


異分母分式相加減時(shí)應(yīng)注意：


①把異分母的分式化成同分母的分式，在這個(gè)過程中必須保證化成的分式與其原來的分式相等；


②通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，分母需要乘“什么”，分子也必須隨之乘“什么”；分式的分子、分母同時(shí)乘的整式是最簡(jiǎn)公分母除以分母所得的商。


符號(hào)表示：








三 、例題精析








類型一 分式乘除








例題1








計(jì)算：1）·; （2）·.








例題2








【教學(xué)建議】提醒學(xué)生除法法則，注意乘除換算，把握倒數(shù)特征及符號(hào)特征.


計(jì)算：（1）3xy2÷;（2）÷





類型二 分式的乘方





例題1








計(jì)算：（1） ; (2)








類型三 同分母相加減





例題1








計(jì)算：（1）；（2）











例題1








計(jì)算：.(2)














四 、課堂運(yùn)用











基礎(chǔ)








下列各式中，正確的是（ ）．


A． B．


C． D．


用科學(xué)記數(shù)法表示 為 .


計(jì)算：





計(jì)算：

















鞏固








計(jì)算：= ．





化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）


A. B. C. D.





計(jì)算：





先化簡(jiǎn)，再求值：，其中














拔高








已知兩個(gè)分式：，，其中，則A與B 的關(guān)系是（ ）


A、相等 B、互為倒數(shù) C、互為相反數(shù) D、A大于B





先化簡(jiǎn)，再求值： ，其中





3.用兩種方法計(jì)算：（－）·.














五 、課堂小結(jié)








1．分式的乘除法的法則


2．分式運(yùn)算的結(jié)果通常要化成最簡(jiǎn)分式或整式.


3. 學(xué)會(huì)類比的數(shù)學(xué)方法


六 、課后作業(yè)

















基礎(chǔ)








計(jì)算的結(jié)果是（ ）


A． B． C． D．





計(jì)算的結(jié)果是。





已知：a=3, , 求的值．





已知．求的值








鞏固











計(jì)算：





已知，求的值.





先化簡(jiǎn)，再求值：，其中滿足

















拔高











計(jì)算：（1）


（2）








（1）已知, 求的值．


（2）已知，求的值


（3）若，則 _________.





先化簡(jiǎn), 再選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膞值代入并求值．








適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初二
適用區(qū)域
人教版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
分式的乘除法；分式的加減法；分式的混合運(yùn)算
教學(xué)目標(biāo)
1、讓學(xué)生通過實(shí)踐總結(jié)分式的乘除法，并能較熟練地進(jìn)行式的乘除法運(yùn)算。


2、使學(xué)生理解分式乘方的原理，掌握乘方的規(guī)律，并能運(yùn)用乘方規(guī)律進(jìn)行分式的乘方運(yùn)算


3、使學(xué)生掌握同分母、異分母分式的加減，能熟練地進(jìn)行同分母，異分母分式的加減運(yùn)算。


4、通過同分母、異分母分式的加減運(yùn)算，復(fù)習(xí)整式的加減運(yùn)算、多項(xiàng)式去括號(hào)法則以及分式通分，培養(yǎng)學(xué)生分式運(yùn)算的能力。


5、引導(dǎo)學(xué)生通過分析、歸納，培養(yǎng)學(xué)生用類比的方法探索新知識(shí)的能力
教學(xué)重點(diǎn)
分式的乘除法、乘方運(yùn)算；同分母、異分母分式的加減法
教學(xué)難點(diǎn)
分式的乘除法、混合運(yùn)算，以及分式乘法，除法、乘方運(yùn)算中符號(hào)的確定。


分式的分子是多項(xiàng)式的分式減法的符號(hào)法則，去括號(hào)法則應(yīng)用。

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