本章內(nèi)容主要分為三部分，第一部分是一元二次方程的有關(guān)概念第二部分是一元二次方程的解法第三部分是實(shí)際與探索（即一元二次方程的應(yīng)用），該章是初中數(shù)學(xué)中十分重要的一個(gè)內(nèi)容，是各地中考基本題、中檔題和高分題命題的一個(gè)熱點(diǎn)題源．主要題型有：（1）不解方程，判斷方程根的情況（2）求方程中的參系數(shù)值、范圍或相互關(guān)系（3）驗(yàn)根、求根或確定方程根的符號（5）求與方程根有關(guān)的代數(shù)式的值（6）列方程解應(yīng)用題．應(yīng)用題主要討論行程問題、工程問題等及其他類型的常見應(yīng)用問題．近年出現(xiàn)的一些與市場經(jīng)濟(jì)、社會重大問題等有關(guān)的新穎情境問題層出不斷，且已成為中考命題的方向．


一、知識脈絡(luò)圖





二、重點(diǎn)、難點(diǎn)與關(guān)鍵


重點(diǎn)：一元二次方程的解法；


難點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用；


關(guān)鍵：通過分析題意，從中提煉有用信息，確定問題中各量之間的數(shù)量關(guān)系，建立一元二次方程模型．


三、主要知識解讀


1、一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是．


2、一元二次方程的解法


五、典型例題解析


例1．方程是一元二次方程，則 = ．


命題意圖：考查一元二次方程的概念及其成立的條件（二次項(xiàng)系數(shù)不為零）．


思路分析：首先根據(jù)一元二次方程的定義得，；再由一元二次方程的定義


中這一條件得來求的值．


解：．


例2．請寫出一個(gè)根為，另一個(gè)根滿足的一元二次方程 ．


命題意圖：本題考查一元二次方程根的定義．


思路分析：本題是道開放型試題，答案不唯一．首先要明確一元二次方程的概念及其解的含義，其次要選用恰當(dāng)?shù)?br/>

方法——待定系數(shù)法，即可以先假定中中一個(gè)數(shù)的值已給定，然后將方程的根代入原方程，求


得另兩個(gè)數(shù)，從而求得的值．


解：因?yàn)榱硪粋€(gè)根滿足，所以不妨設(shè)另一根為0，那么滿足條件的方程可以為．


例3．用配方法解方程：．


命題意圖：本題考查用配方法解一元二次方程．


思路分析：用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是：首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為，并將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，關(guān)鍵是方程


兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后寫出完全平方的形式，用直接開平方法求得．


解：，，所以，所以，．


例4．某農(nóng)戶種植花生，原來種植的花生畝產(chǎn)量為kg，出油率為（即每千克花生可加工成花生油kg）．


現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油kg，其中花生出油率的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的，求新品種花生畝產(chǎn)量的增長率．


命題意圖：考查學(xué)生運(yùn)用增長率解決實(shí)際問題的能力．


思路分析：增長率問題在近年中考試題中頻頻出現(xiàn)，解決此類問題應(yīng)掌握：（1）增長率是指增長數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的比；


（2）如果設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為，增長率為，那么第一次增長后的畝產(chǎn)量為．


解：設(shè)新品種花生畝產(chǎn)量的增長率為，根據(jù)題意，得.


解得 (不合題意舍去)．


答：新品種花生畝產(chǎn)量的增長率為．


例5．某百貨商場服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)“寶樂”牌童裝平均每天可售出件，每件盈利元．為了迎接“六·一”兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)；如果每件童裝每降價(jià)元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在銷售這種童裝上盈利元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？


命題意圖：本題考查一元二次方程解應(yīng)用題及分析問題和解決實(shí)際問題的能力．


思路分析：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)“每天所賣童裝件數(shù)×每件童裝贏利=每件贏利元”關(guān)系式建立方程．不妨設(shè)每


件降價(jià)元，可知在每天售件，每天盈利元的基礎(chǔ)上，根據(jù)每降價(jià)元，就多售件得降價(jià)元，多售件，即售


件，相應(yīng)每件盈利減少元，即盈利元，列出方程并求解，對所求結(jié)果，還要結(jié)合“減少庫存”進(jìn)行取舍，


從而得到最后結(jié)果．


解：設(shè)降價(jià)元，則，解得，由于要減少庫存，故降價(jià)越多，售出越多，庫


存越少，故取．


答：每件降價(jià)元．


章末測試題


一、選擇題：


1、（2010湖北鄂州）慶“五一”,市工會組織籃球比賽,賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場）,共進(jìn)行了45場比賽,這次有____ 隊(duì)參加比賽.


A.12 B.11 C. 9 D10


選D.


2、（2010江蘇蘇州）下列四個(gè)說法中，正確的是


A．一元二次方程有實(shí)數(shù)根；


B．一元二次方程有實(shí)數(shù)根；


C．一元二次方程有實(shí)數(shù)根；


D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有實(shí)數(shù)根．


選D





3、（2010安徽蕪湖）關(guān)于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有實(shí)數(shù)根，則a滿足（ ）


A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1且a≠5 C．a(chǎn)≥1且a≠5 D．a(chǎn)≠5


選A





4、（2010 嵊州市）已知是方程的兩根，且，則的值等于 （ ）


A．－5 B.5 C.-9 D.9


選C


5、已知反比例函數(shù),當(dāng)x＞0時(shí),隨x的增大而增大,則關(guān)于x的方程的根的情況是（ ）


A.有兩個(gè)正根 B.有兩個(gè)負(fù)根 C.有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根


答案：C


6、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間(min)之間滿足：，則當(dāng)=59時(shí)所用的時(shí)間為（ ）


A、10或16分鐘 B、10分鐘 C、16分鐘 D、8或16分鐘


答案：A


7、三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽,在其所著的《勾股圓方圖注》中記載用圖形的方法來解一元二次方程，四個(gè)相等的矩形（每一個(gè)矩形的面積都是35）拼成如圖所示的一個(gè)大正方形，利用所給的數(shù)據(jù)，能得到的方程是（ ）


A. B.


C. D.





答案：A


8、用換元法解方程，設(shè)，則原方程可化為 （ ）


A. B. C. D.


答案：A


二、填空題：


9、（2010遼寧大連）如圖是一張長9cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣的正方形，可制成底面積是12 的一個(gè)無蓋長方體紙盒，設(shè)剪去的正方形邊長為，則可列出關(guān)于的方程為





答案：


10、（2010 四川自貢）關(guān)于x的一元二次方程－x2＋（2m＋1）x＋1－m2=0無實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是_______________。


答案：＜－


11、設(shè)A是方程的所有根的絕對值之和，則= .


12、若一元二次方程有一個(gè)根為1,則= ;若有一個(gè)根為-1,則與之間的關(guān)系為 ;若有一個(gè)根為零,則= .


13、如果是一個(gè)完全平方式，則


14、已知是方程的一個(gè)根,則= ,另一根為 .


15、已知一個(gè)小燈泡的額定功率為1.8，額定電壓小于8.當(dāng)它與一個(gè)30的電阻并聯(lián)后接入電路時(shí)，干流電路的電流是0.5，且燈泡正常發(fā)光，則小燈泡的額定電壓是 .（提示：干流電路的電流計(jì)算公式為）


16、國家為了加強(qiáng)對香煙產(chǎn)銷的宏觀管理，對銷售香煙實(shí)行征收附加稅政策.現(xiàn)在知道某種品牌的香煙每條的市場價(jià)格為70元，不加收附加稅時(shí)，每年產(chǎn)銷100萬條.若國家征收附加稅，每銷售100元征稅元（叫做稅率%），則每年的產(chǎn)銷量將減少10萬條.要使每年對此項(xiàng)經(jīng)營收取附加稅金為168萬元，并使香煙的產(chǎn)銷量得到宏觀控制，年產(chǎn)銷量不超過50萬條，則稅率應(yīng)確定為 .





答案：11、4083


12、.


13、2


14、－6,


15、6.提示：設(shè)小燈泡的額定電壓為，根據(jù)題意，得，解得（舍去），因額定電壓小于8，所以=6.


16、6%.提示：由題意，易得，整理后得，解得，當(dāng)時(shí)，100－10×4=60＞50，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，100－10×6=40＜50，故稅率應(yīng)確定為6%.











三、解答題：


17、（1）





(2)





(3)








答案：（1）； （2）； （3）.





18、（2010四川達(dá)州）在一塊長16m，寬12m的矩形荒地上，要建造一個(gè)花園，要求花園面積是荒地面積的一半，下面分別是小華與小芳的設(shè)計(jì)方案.





(1)同學(xué)們都認(rèn)為小華的方案是正確的，但對小芳方案是否符合條件有不同意見，你認(rèn)為小芳的方案符合條件嗎？若不符合，請用方程的方法說明理由.


(2)你還有其他的設(shè)計(jì)方案嗎？請?jiān)趫D中畫出你所設(shè)計(jì)的草圖，將花園部分涂上陰影，并加以說明.


解：（1）不符合. 設(shè)小路寬度均為 m，根據(jù)題意得：,解這個(gè)方程得：但不符合題意，應(yīng)舍去,∴.∴小芳的方案不符合條件，小路的寬度均為2m.


（2）答案不唯一.例如：








19、（2010湖南長沙）長沙市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米5000元的均價(jià)對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望．為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4050元的均價(jià)開盤銷售．


（1）求平均每次下調(diào)的百分率；


（2）某人準(zhǔn)備以開盤均價(jià)購買一套100平方米的房子．開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.5元，請問哪種方案更優(yōu)惠？


解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，根據(jù)題意，得，解得，（不合題意舍去）.所以平均每次下調(diào)的百分率為0.1.


（2）方案①購房少花4050×100×0.02＝8100（元），但需要交兩年的物業(yè)管理費(fèi)1.5×100×12×2＝3600（元），實(shí)際得到的優(yōu)惠是8100－3600＝4500（元）；方案②省兩年物業(yè)管理費(fèi)1.5×100×12×2＝3600（元）．因此方案①更優(yōu)惠．





20、在某次數(shù)字變換游戲中，我們把整數(shù)0，1，2，…，200稱為“舊數(shù)”，游戲的變換規(guī)則是：將舊數(shù)先平方，再除以100，所得到的數(shù)稱為“新數(shù)”.


（1）請把舊數(shù)60按照上述規(guī)則變成新數(shù)；


（2）是否存在這樣的舊數(shù)，經(jīng)過上述規(guī)則變換后，新數(shù)比舊數(shù)大75，如果存在，請求出這個(gè)舊數(shù)；如果不存在，請說明理由.





解：（1）；（2）存在.設(shè)這個(gè)舊數(shù)為，依題意得，整理得.解得（不合題意，舍去）.











21、（2010浙江紹興）某公司投資新建了一商場,共有商鋪30間.據(jù)預(yù)測,當(dāng)每間的年租金定為10萬元時(shí),可全部租出.每間的年租金每增加5 000元,少租出商鋪1間.該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用1萬元,未租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用5 000元.（1）當(dāng)每間商鋪的年租金定為13萬元時(shí),能租出多少間？（2）當(dāng)每間商鋪的年租金定為多少萬元時(shí),該公司的年收益（收益＝租金－各種費(fèi)用）為275萬元？





解：（1）∵ 30 000÷5 000=6，∴ 能租出24間.


（2）設(shè)每間商鋪的年租金增加x萬元，則（30-）×（10+x）-（30-）×1-×0.5=275，2 x2-11x+5=0，∴ x=5或0.5，∴ 每間商鋪的年租金定為10.5萬元或15萬元.直接開平方法
配方法
求根公式法
因式分解法
理論


依據(jù)
平方根的定義
完全平方公式


直接開平方法
配方法和直接


開平方法
，


則或
適


用


題


型
，



所有的一元二次方程
所有的一元


二次方程
左邊能分解因式，


右邊為的方程
方


法


或


步


驟
觀察方程是否


符合或


；


直接開平方，得兩


個(gè)一次方程；


3、解一元一次方程得


原方程的兩個(gè)根



化二次項(xiàng)系數(shù)為1


移項(xiàng)，使方程左邊之含有二


次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)


方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)


一半的平方


原方程變?yōu)?br/>


1、把方程化為一般


形式


2、確定 的值


3、求出的值


4、的值代入



1、將方程右邊化為


2、將方程左邊進(jìn)行


因式分解


3、令每個(gè)因式等于，


得兩個(gè)一元一次方程


4、解這兩個(gè)一元一次


方程，得方程的兩個(gè)


根．

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