一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖





二、重、難點(diǎn)梳理


1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．事實(shí)上（a≥0）表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根.


2．滿足下列兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（即被開(kāi)方數(shù)不含分母）；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．如等是最簡(jiǎn)二次根式.但等不是最簡(jiǎn)二次根式.


3．幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.如是同類二次根式.


4、二次根式的主要性質(zhì)


（1）（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0（a≥0）；


（2）()2=a (a≥0)；


（3）；


（4）二次根式的乘法法則：


（5）二次根式的除法法則：


5、二次根式的運(yùn)算


（1）二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個(gè)根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式分別合并（類似整式中的合并同類項(xiàng)）.


（2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被開(kāi)方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變.








三、考點(diǎn)例析


考點(diǎn)1: 最簡(jiǎn)二次根式


例1 、(2010年哈爾濱市) 在下列根式中,最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)為( )


A．4個(gè) B. 3 個(gè) C. 2個(gè) D.1個(gè)


分析: 是最簡(jiǎn)二次根式, 中有因式可以開(kāi)出,中有因數(shù)可以開(kāi)出，所以不是最簡(jiǎn)二次根式.故選C.


考點(diǎn)2: 同類二次根式


例2 、(2010年北京市) 下列根式中,能與合并的是( )


A． B.


C. D.


分析: 能與合并的應(yīng)是的同類二次根式,這幾個(gè)二次根式都不是最簡(jiǎn)二次根式, 應(yīng)先化為最簡(jiǎn)二次根式,=; ;;.所以與是同類二次根式的是,故選B.


例3 、(2010年青海省)若最簡(jiǎn)二次根式與的被開(kāi)方數(shù)相同,則的值為( )


A． B.


C. D..


分析: 最簡(jiǎn)二次根式與的被開(kāi)方數(shù)相同;即,解得， 故選C.


考點(diǎn)3: 二次根式的運(yùn)算


例4、 (2010年山東省東營(yíng)市) 下列計(jì)算正確的是 ( )


A． B.


C. D..


分析: 由二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則的. 而B(niǎo)選項(xiàng)中明顯用被開(kāi)方數(shù)除以非被開(kāi)方數(shù),錯(cuò)用二次根式除法法則;C選項(xiàng)用平方差公式即可得4－5 =－1; D選項(xiàng)丟了=-1這一項(xiàng).故選A.


例5、（2010年江西省）化簡(jiǎn)得( )


A．－2 B.


C. 2 D.


分析:由二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則得,.故選A.


考點(diǎn)4:化簡(jiǎn)


例6、 （2010年北京市）計(jì)算


分析：原式=.


考點(diǎn)5: 運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)


例7、（2010年江西?。┮阎? ．


分析：


例8、 （2010年紹興）化簡(jiǎn)得（ ）


A．2 B. C. －2 D..


分析:由,所以==,故應(yīng)選A.


考點(diǎn)6：二次根式成立的條件


例9、（2010年山西省課該實(shí)驗(yàn)區(qū)）代數(shù)式有意義時(shí)，字母的取值范圍（ ）


A． B. C. D..


分析:由分母不為零和二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以即故選A


考點(diǎn)7：估算二次根式


例10、（2010年沈陽(yáng)課改）估算的值為( )


A．在5和6之間 B. 在6和7之間


C. 在7和8之間 D.在8和9之間.


分析：因?yàn)榧?，所?故選C.


四、熱點(diǎn)、易混點(diǎn)追蹤


1、概念理解模糊、審題不清


例1、有下列命題：（1）二次根式的被開(kāi)方數(shù)是相負(fù)數(shù)，則其值是非負(fù)數(shù)；（2）是最簡(jiǎn)二次根式；（3）若是二次根式，則.其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè).


A、0 B、1 C、2 D、3


錯(cuò)解：選D.


剖析：本例中，（1）錯(cuò)在對(duì)二次根式概念的狹隘理解，認(rèn)為形如的式子就是二次根式，而二次根式的值是非負(fù)數(shù)的.事實(shí)上，－2等也是二次根式，但它是非正數(shù).（2）錯(cuò)在忽視了的條件.（3）錯(cuò)在將二次根式的概念與其性質(zhì)混為一談了，事實(shí)上只要滿足即可.故選A.


例2、已知與是同類二次根式，則的值為（ ）


A、4 B、5 C、無(wú)數(shù)個(gè) D、非上述答案


錯(cuò)解：選A.


剖析：選項(xiàng)A錯(cuò)在是解而得，這考慮僅僅是最簡(jiǎn)二次根式的情況.當(dāng)或52×5也是同類二次根式，故選C.


2、對(duì)性質(zhì)成立的條件理解不透


例3、有下列各式：（1）；（2）；（3）一定成立的有（ ）個(gè).


A、0 B、1 C、2 D、3


錯(cuò)解：選D.


剖析：（1）錯(cuò)在不一定是非負(fù)數(shù)，（2）錯(cuò)在忽視了的條件，（3）錯(cuò)在等式要成立，必須滿足.故選A.


3、忽視幾何圖形中的條件限制


例4、已知為△ABC的三邊長(zhǎng)，求的值.


錯(cuò)解：原式=.


剖析：本例錯(cuò)在忽視了“三角形兩邊之和大于第三邊”條件的限制，而導(dǎo)致錯(cuò)誤.


原式=.


4、計(jì)算不依據(jù)法則，隨意而為


例5、下列計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.正確的個(gè)數(shù)有（ ）


A、3 B、4 C、5 D、非上述答案


錯(cuò)解：選C.


剖析：（1）錯(cuò)在臆造；（2）錯(cuò)在合并同類二次根式是只考慮了“系數(shù)”；（3）錯(cuò)在套用了整數(shù)與分?jǐn)?shù)相加的法則；（4）、（5）錯(cuò)在想巧算、快算反而弄巧成拙.故5個(gè)都錯(cuò)，選D.


5、求解顧后不瞻前


例6、若有意義，則的取值范圍是 .


錯(cuò)解：由題意，得，解得.


剖析：本例雖然考慮到被開(kāi)方數(shù)的取值情況，但忽視了分母不能為零這個(gè)條件，正確結(jié)果為且.


例7、先化簡(jiǎn)，然后再選擇合適的數(shù)求值.


錯(cuò)解：原式=.當(dāng)=0時(shí)，原式=0.


剖析：由題意，知，當(dāng)=0時(shí)，原式無(wú)意義，因此只可取的數(shù)求值.如取=4時(shí)，原式=6.


例8、解方程：


錯(cuò)解：原方程變?yōu)椋?，解得?


剖析：只顧一直做下去，以為求得解了就大功告成，是犯這類錯(cuò)誤的特點(diǎn).如果解題后，回過(guò)頭來(lái)驗(yàn)證一下，就可以避免這類錯(cuò)誤了，本題中，=－2時(shí)，無(wú)意義，所以=2.


6、忽視隱含條件，使結(jié)論多解、漏解


例9、化簡(jiǎn).


錯(cuò)解：原式=.


剖析：本例隱含著，故，則，化簡(jiǎn)得原式=1.


7、已知，那么的值是 .


錯(cuò)解：原式=.


剖析：雖然，但我們并不知道的取值符號(hào)，因此要進(jìn)行討論.（1）當(dāng)時(shí)，原式=；（2）當(dāng)時(shí)，原式=.故填.


五、本章達(dá)標(biāo)測(cè)試


一、選擇題（每小題3分，共30分）：


1、已知與是同類二次根式，則的值為（ ）


A、4 B、5 C、無(wú)數(shù)個(gè) D、非上述答案


2、有下列各式：（1）；（2）；（3）.一定成立的有（ ）


A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)


3、如果實(shí)數(shù)滿足，則的值為（ ）


A、0 B、5 C、2 D、－5


4、若，且，則的值為（ ）


A、14.02 B、 C、 D、1.402


5、如果，則的關(guān)系為（ ）


A、 B、 C、 D、


6、下列運(yùn)算正確的是（ ）


A、 B、


C、 D、


7、如果代數(shù)式有意義，那么直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P的位置在（ ）


A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限


8、下列各組二次根式中，的取值范圍相同的是（ ）


A、與 B、與


C、與 D、與


9、如圖所示，有一邊長(zhǎng)為8米的正方形大廳，它是由大小完全相同的黑白方磚密鋪而成，則每一塊方磚的邊長(zhǎng)為（ ）


A、 EQ \F(8,5) B、 EQ \R(,2) ＋1 C、 EQ \R(,2) D、 EQ \F( EQ \R(,2) ＋1,2)





二、填空題（每小題2分，共20分）：


10、請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)無(wú)理數(shù)使它與的積是有理數(shù)： .


11、若，則a的取值范圍是__________________．若 EQ \R(, EQ \F(1－a,a2) ) ＝ EQ \F( EQ \R(,1－a) ,a) ，則a的取值范圍是 .


12、已知二次根式與是同類二次根式，試寫(xiě)出三個(gè)a的可能取值 .


13、一個(gè)密碼系統(tǒng)的原理如下所示：輸入→→輸出，如果輸出結(jié)果為13時(shí)，則輸入的=


.


14、已知，那么的值是 .


15、已知，，則用含的代數(shù)式表示為 .


16、已知（為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，有.請(qǐng)用計(jì)算器計(jì)算當(dāng)時(shí)，A、B的若干值，并由此歸納出當(dāng)時(shí)，A、B間的大小關(guān)系為 .


17、數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)= ．





18、已知長(zhǎng)方形相鄰兩邊之比為2︰3， 對(duì)角線長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方形的面積為 .











19、規(guī)定兩種新運(yùn)算：，如，那么= .


三、解答題（70分）：


20、（8分）不使用計(jì)算器，計(jì)算








21、（10分）已知，求的值.

















22、（10分）圖1是一種兩種口味的火鍋，為了制造這種火鍋，我們把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題就是在一圓筒里放入兩種不同的物體，并用一個(gè)長(zhǎng)方形的金屬薄片（金屬厚度忽略不計(jì)）分隔開(kāi)來(lái)（如圖2），已知圓筒高為，容積為，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形玻璃薄片的面積為多少？（取3.14，玻璃薄片的上邊與圓筒的上底面持平）





圖1 圖2




















23、（10分）邊長(zhǎng)為a的正方形桌面，正中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形方孔．若沿圖中虛線鋸開(kāi)，可以拼成一個(gè)新的正方形桌面．你會(huì)拼嗎？試求出新的正方形邊長(zhǎng)．

















24、（7分）已知：=│a│，，一個(gè)同學(xué)在化簡(jiǎn)時(shí)是這樣化簡(jiǎn)的：=2+．


請(qǐng)仿照這個(gè)同學(xué)的做法化簡(jiǎn)：.























25、（7分）閱讀理解：


我們把稱作二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為，如，現(xiàn)在請(qǐng)你計(jì)算.

















26、（10分）同學(xué)們都知道對(duì)于的式子，可以將分子、分母同乘以來(lái)化去分母中的根號(hào)，如，那么如果分母中是形如的形式，該怎么辦呢？辦法有的是，我們可以利用平方差公式，將分子、分母同乘以，從而化去分母中的根號(hào)，如.根據(jù)以上介紹，請(qǐng)你解答下面的問(wèn)題：


（1）已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值.





（2）試著化簡(jiǎn)：


























參考答案


一、1～9 、C A D C B D B C C


二、10、





11、，0＜a≤1


12、3，31，87


13、±


14、±


15、


16、





17、－2


18、18


19、


三、20、


21、


22、解：設(shè)圓柱形圓筒的底面半徑為，則：=，故長(zhǎng)方形玻璃薄片的面積應(yīng)為：.





23、解：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意有：，解得.








24、3－


25、


26、（1）


（2）原式==2

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