華師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第22章《一元二次方程》單元測試卷考試范圍：第22章；考試時間：120分鐘；總分：120分學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分）如圖，把一塊長為，寬為的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為，設(shè)剪去小正方形的邊長為，則可列方程為(    )A.  B.
C.  D. 已知是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為(    )A.  B.  C.  D. 已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是(    )A.  B.  C. 且 D. 且定義新運算“”：對于任意實數(shù)，，都有，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例若為實數(shù)是關(guān)于的方程，則它的根的情況為(    )A. 有一個實數(shù)根 B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 有兩個不相等的實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根小剛在解關(guān)于的方程時，只抄對了，，解出其中一個根是他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的比原方程的值小則原方程的根的情況是(    )A. 不存在實數(shù)根 B. 有兩個不相等的實數(shù)根
C. 有一個根是 D. 有兩個相等的實數(shù)根方程的解是(    )A.  B.
C. ， D. ，解下列方程，最適合用公式法求解的是(    )A.  B.
C.  D. 一元二次方程的根的情況是(    )A. 有兩個不相等的實數(shù)根 B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 沒有實數(shù)根 D. 無法判斷王叔叔從市場上買了一塊長，寬的矩形鐵皮，準(zhǔn)備制作一個長方體工具箱如圖，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長為的正方形后，剩余的部分剛好能圍成一個底面積為的無蓋長方體工具箱，根據(jù)題意列方程為(    )
 A.
B.
C.
D. 如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長米、寬米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為(    )A.
B.
C.
D. 國家實施“精準(zhǔn)扶貧”政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路，某地區(qū)年底有貧困人口萬人，通過社會各界的努力，年底貧困人口減少至萬人設(shè)年底至年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為，根據(jù)題意列方程得(    )A.  B.  C.  D. 方程的解是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）方程的根為______．若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為          ．若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是______．等腰三角形的邊長是方程的解，則這個三角形的周長是_________． 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．
求的取值范圍；
如果是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與方程有一個相同的根，求此時的值．已知關(guān)于的一元二次方程．
求證：對于任意實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
若方程的一個根是，求的值及方程的另一個根．解方程：
；
．用配方法解一元二次方程：小明同學(xué)的解題過程如下：
解：


．
小明的解題過程是否正確？若正確，請回答“對”；若錯誤，請寫出你的解題過程．已知關(guān)于一元二次方程．
求證：無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；
當(dāng)時，方程的兩實數(shù)根是等腰三角形的兩邊，試求等腰三角形的周長．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．
求的取值范圍；
若此方程的一個實數(shù)根為，求的值；
直接寫出所有不大于的正整數(shù)的值，使原方程的兩個根均為有理數(shù)．已知關(guān)于的一元二次方程．
求證：對于任意實數(shù)，該方程總有兩個不相等實數(shù)根；
如果此方程有一個根為，求的值．已知關(guān)于的方程．
小明同學(xué)說：“無論為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．”你認(rèn)為他說的有道理嗎？請說明理由．
若方程的一個根是，求另一個根及的值．隨著電池技術(shù)的突破，電動汽車已呈替代燃油汽車的趨勢，安徽電動汽車在今年第一季度銷售了萬輛，第三季度銷售了萬輛．
求前三季度銷售量的平均增長率．
某廠家目前只有條生產(chǎn)線，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是輛季度，若每增加條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少輛季度．
現(xiàn)該廠家要保證每季度生產(chǎn)電動汽車萬輛，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入成本的條件下生產(chǎn)線越多，投入成本越大，應(yīng)該再增加幾條生產(chǎn)線？
是否能增加生產(chǎn)線，使得每季度生產(chǎn)電動汽車達(dá)到萬輛，若能，應(yīng)該再增加幾條生產(chǎn)線？若不能，請說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)剪去小正方形的邊長是，則紙盒底面的長為，寬為，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合紙盒的底面積是，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【解答】
解：設(shè)剪去小正方形的邊長是，則紙盒底面的長為，寬為，
根據(jù)題意得：．
故選D．  2.【答案】 【解析】解：是一元二次方程的一個根，
，
，
．
故選：．
先利用一元二次方程根的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
 3.【答案】 【解析】解：關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，
，
解得：且．
故選D．
根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．
本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義以及解一元一次不等式組，牢記“當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：為實數(shù)是關(guān)于的方程，
，
整理得，
，
方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：．
利用新定義得到，再把方程化為一般式后計算判別式的值，然后利用可判斷方程根的情況．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本題考查一元二次方程的解，根的判別式，正確得出的值是解題關(guān)鍵．
直接把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)而得出原方程的值，再根據(jù)判別式求出答案．
【解答】
解：小剛在解關(guān)于的方程時，只抄對了，，解出其中一個根是，
小剛解的方程是，
，
解得：，
故原方程中，
原方程中，，
原方程不存在實數(shù)根．  6.【答案】 【解析】【試題解析】【分析】
此題考查了解一元二次方程因式分解法，掌握因式分解法解一元二次方程的步驟是關(guān)鍵，提取得到，即可求解．
【解答】
解：，
，
，，
故選D．  7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程的方法，對各項逐一判斷即可．
【解答】
解：選用因式分解法或直接開平方法進(jìn)行求解更合適，排除；
B.選用直接開平方法進(jìn)行求解更合適，排除；
C.變形后選用直接開平方法進(jìn)行求解更合適，排除；
D.左邊是一個二次三項式，不能進(jìn)行因式分解，用公式法求解比較好，D正確．
故選D．  8.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，計算得出，由此即可得出原方程有兩個相等的實數(shù)根．
本題考查了根的判別式，熟練掌握“當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：在方程中，，
一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根．
故選：．  9.【答案】 【解析】略
 10.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
若設(shè)小道的寬為米，則陰影部分可合成長為米，寬為米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【解答】
解：依題意，得：，即．
故選：．  11.【答案】 【解析】【分析】
本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，得到年內(nèi)變化情況的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
等量關(guān)系為：年貧困人口下降率年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．
【解答】解：設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為，根據(jù)題意得：，
故選：．
   12.【答案】 【解析】解：原方程可變形為：
，．
故選：．
可化為，本題可根據(jù)方程的解，--將方程進(jìn)行分解，得出兩式相乘的形式，再根據(jù)“兩式相乘值為，這兩式中至少有一式值為”來解題．
本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．本題運用的是因式分解法．
 13.【答案】， 【解析】【分析】
此題考查了直接開平方法解一元二次方程．
根據(jù)直接開平方法的步驟先把方程兩邊分別開方，再進(jìn)行計算即可．
【解答】
解：，
，
，．
故答案為，．  14.【答案】 【解析】解：關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，
即，
．
故答案為：．
利用根的判別式進(jìn)行計算，令即可得到關(guān)于的不等式，解答即可．
本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：
方程有兩個不相等的實數(shù)根；
方程有兩個相等的實數(shù)根；
方程沒有實數(shù)根．
 15.【答案】 【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
，
解得：．
故答案為：．
根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出，解之即可得出值．
本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】或或 【解析】【分析】
此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法．解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想的應(yīng)用．解一元二次方程，因式分解等知識點的理解和掌握，能把一元二次方程轉(zhuǎn)換成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
由等腰三角形的邊長是方程的解，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰與底邊的長，注意需要分類討論，然后根據(jù)三角形周長的求解方法求解即可．
【解答】
解：，
，
解得：或，
等腰三角形的邊長是方程的解，
當(dāng)是等腰三角形的腰時，，不能組成三角形，舍去；
當(dāng)是等腰三角形的腰時，，則這個三角形的周長為．
當(dāng)邊長為的等邊三角形，得出這個三角形的周長為．
當(dāng)邊長為的等邊三角形，得出這個三角形的周長為．
這個三角形的周長為或或．
故答案為或或．  17.【答案】解：根據(jù)題意得，
解得；
的最大整數(shù)為，
方程變形為，解得，，
一元二次方程與方程有一個相同的根，
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得，
而，
的值為． 【解析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．
利用判別式的意義得到，然后解不等式即可；
利用中的結(jié)論得到的最大整數(shù)為，解方程解得，，把和分別代入一元二次方程求出對應(yīng)的，同時滿足．
 18.【答案】證明：原方程可變形為，
，
方程總有兩個不等的實數(shù)根；
解：方程的一個根是，
，
，解得：，
原方程為：，
解得：，．
即的值為，方程的另一個根是． 【解析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的解有關(guān)知識．
將方程變形為一般式，再根據(jù)根的判別式，即可證出結(jié)論；
將代入原方程求出的值，將其代入原方程解方程即可得出方程的另一個根，此題得解．
 19.【答案】解：，
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，． 【解析】利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程；
先移項得到，然后利用因式分解法解方程．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右邊化為，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想也考查了配方法解一元二次方程．
 20.【答案】解：小明的解題過程不正確，
正確的解題過程如下：
，
，
，
，
，
，
或，
，． 【解析】根據(jù)解一元二次方程配方法，進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握解一元二次方程配方法是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：，
無論何值，原方程總有實數(shù)根；
解：當(dāng)時，方程化為，
，
或，
，，
當(dāng)?shù)妊切窝L為，底邊長為時，，不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去；
當(dāng)?shù)妊切窝L為，底邊為，它的周長為． 【解析】先計算根的判別式得到，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；
先利用因式分解法解方程得到，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系確定等腰三角形腰長為，底邊為，然后計算三角形的周長．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
 22.【答案】解：根據(jù)題意得且，
解得且；
把代入得，
解得；
當(dāng)為完全平方數(shù)時，原方程的兩個根均為有理數(shù)，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，舍去；
當(dāng)時，舍去；
當(dāng)時，舍去；
當(dāng)時，，
綜上所述，當(dāng)為或時，原方程的兩個根均為有理數(shù)． 【解析】根據(jù)根的判別式的意義得到且，然后求出兩不等式的公共部分即可；
把代入得，然后解關(guān)于的方程即可；
利用求根公式得到當(dāng)為完全平方數(shù)時，原方程的兩個根均為有理數(shù)，然后對、、、、依次進(jìn)行判斷．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．
 23.【答案】證明：對關(guān)于的一元二次方程，
，
，
對于任意實數(shù)，一元二次方程總有兩個不相等實數(shù)根；
解：如果此方程有一個根為，則，
，
解得或，
答：的值為或． 【解析】求出，即可證明方程總有兩個不相等實數(shù)根；
把代入可得關(guān)于的一元二次方程，即可解得答案．
本題考查一元二次方程根的判別式及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式與根個數(shù)的關(guān)系以及解一元二次方程的方法步驟，此題難度不大．
 24.【答案】解：有道理，理由如下：


，
無論為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
將代入方程，得，
解得，
原方程化為，
解得，
另一個根為． 【解析】根據(jù)，即可得證；
將代入方程，求出的值，再將代入方程，解方程即可確定方程的另一個根．
本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：設(shè)前三季度銷售量的平均增長率為，
依題意得：，
解得：，不合題意，舍去．
答：前三季度銷售量的平均增長率為．
設(shè)應(yīng)該再增加條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為輛季度，
依題意得：，
整理得：，
解得：，，
又要節(jié)省投入成本，
．
答：應(yīng)該再增加條生產(chǎn)線．
不能，理由如下：
設(shè)應(yīng)該再增加條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為輛季度，
依題意得：，
整理得：，
，
該方程沒有實數(shù)根，
即不能通過增加生產(chǎn)線，使得每季度生產(chǎn)電動汽車達(dá)到萬輛． 【解析】設(shè)前三季度銷售量的平均增長率為，利用第三季度的銷售量第一季度的銷售量前三季度銷售量的平均增長率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
設(shè)應(yīng)該再增加條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為輛季度，根據(jù)每季度生產(chǎn)電動汽車萬輛，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合要節(jié)省投入成本，即可得出應(yīng)該再增加條生產(chǎn)線；
不能，設(shè)應(yīng)該再增加條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為輛季度，根據(jù)每季度生產(chǎn)電動汽車萬輛，即可得出關(guān)于的一元二次方程，由根的判別式，可得出該方程沒有實數(shù)根，即不能通過增加生產(chǎn)線，使得每季度生產(chǎn)電動汽車達(dá)到萬輛．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；牢記“當(dāng)時，方程無實數(shù)根”．
 

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