課前知識管理


1、線段比：在同一單位下兩條線段的長度的比叫做線段的比.


2、比例線段：在四條線段中，如果與的比等于與的比，即（或︰=︰），那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.


3、比例的項：如果，那么叫做組成比例的項，線段叫做比例外項，線段叫做比例內(nèi)項，線段還叫做的第四比例項.


4、比例中項：在比例線段︰=︰中，如果內(nèi)項，即或︰=︰，那么叫做的比例中項.


5、比例的性質(zhì)：（1） → ad=bc； （2）


（3）


名師導(dǎo)學(xué)互動


典例精析：


知識點1：線段比


例1、已知線段AB=10，CD=25，則AB︰CD= .


【解題思路】上述兩條線段單位一致，可直接按照定義求值.


【解】AB︰CD=10︰25=2︰5.


【方法歸納】要注意所給線段的單位是否一致，若不一致，應(yīng)先統(tǒng)一單位后再計算.


對應(yīng)練習(xí)：如圖，是一個比例尺的中國地圖，則北京、佛山兩地之間的實際直線距離大約是（ ）


Ａ．kmＢ．km Ｃ．km Ｄ．km





答案 ：A


知識點2：比例線段


例2、已知線段，試判斷四條線段是否成比例？


【解題思路】判斷四條線段是否成比例的方法有下列兩種：（1）把四條線段按長短排列好，判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等；（2）查看是否有兩條線段的積等于其余兩條線段的積.


【解】∵，∴，故四條線段是成比例的.


【方法歸納】判斷四條線段是否成比例時，若所給的線段單位不一致，一定要先統(tǒng)一單位.


對應(yīng)練習(xí)：已知四條線段a,b,c,d的長度分別如下，試判斷它們是否成比例線段：a＝8，b＝4，c＝2.5，d＝5.


答案：四條線段的長度由小到大的順序是c,b,d,a．∵c：b=d：a, 故c,b,d,a四條線段成比例．


知識點3：比例的性質(zhì)


例3、如果，求，，，的值.


【解題思路】本題既可利用比例性質(zhì)直接求值，還可設(shè)a=k1,b=3k1,c=k2,d=3k2,代入就可以求得各值．


【解】；；


；.


【方法歸納】利用公比k，將各未知數(shù)的關(guān)系聯(lián)系起來，或直接利用比例性質(zhì)，還可以用a表示b,即b=3a，用c表示d，即d=3c，再代入求之．


對應(yīng)練習(xí)：如果，則下列各式不成立的是（ ）


Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．


答案：D


易錯警示


1、對比的概念認(rèn)識模糊


例4、因為＝，所以a＝4，b＝3，你認(rèn)為這種說法正確嗎？為什么？


錯解：正確. 因為a＝4，b＝3，所以＝，反過來則有＝，即a＝4，b＝3.


錯解剖析：＝僅表示a、b在同一長度單位下的比值，并不表示a＝4，b＝3.


正解：這種說法是錯誤的.因為＝僅表示a、b在同一長度單位下的比值，它表示a＝4k，b＝3k(k＞0)，所以這種說法是錯誤的.


2、對線段比的單位認(rèn)識不足


例5、有兩條線段，它們的長度之比為a∶b＝5∶3，則a＝5cm，b＝3cm，你認(rèn)為這種說法正確嗎？為什么？


錯解：正確. 因為a＝5cm，b＝3cm，所以它們的長度之比為a∶b＝5∶3，即這種說法是正確的.


錯解剖析：比值是沒有單位的，它與采用共同單位無關(guān).


正解：這種說法是錯誤的.因為a∶b＝5∶3僅表示a、b的比值，它表示a＝5k，b＝4k(k＞0)，所以這種說法是錯誤的.


3、忽視單位的統(tǒng)一


例6、A、B兩地的實際距離AB＝250m，畫在紙上的距離A′B′＝5cm，求紙上距離與實際距離的比.


錯解：紙上距離與實際距離的比是A′B′∶AB＝5∶250＝1∶50.


錯解剖析：求兩條線段的比，就是求出這兩條線段用統(tǒng)一單位量得的線段長度之比，這里要注意有三點：①兩條線段的比與采用的長度單位無關(guān)，因此一般線段的長度單位可不寫；


②如果給出的線段長度單位不同，則必須化為同一長度單位后再求線段的比；③兩線段的比值總是正數(shù)，如在運算中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，必須舍去，結(jié)果一般化為最簡整數(shù)比.由此我們可以發(fā)現(xiàn)本題的錯解是沒有將單位化統(tǒng)一.


正解：因為AB＝250m＝25000 cm，所以紙上距離與實際距離的比是A′B′∶AB＝5∶25000＝1∶5000.


4、錯誤認(rèn)為兩個分式相等就有分子與分母分別相等


例7、若＝，求的值.


錯解：因為＝，所以解得所以＝.


錯解剖析：這里錯誤理解為兩個分?jǐn)?shù)相等，則它們的分子、分母分別相等，而事實上如＝，分子上的2與1、分母上的4與2都是不相等的，雖然結(jié)果是正確的，但是過程是錯誤的.


正解：設(shè)＝＝k(k≠0)，所以y＝(y－x)k，即xk＝y(tǒng)k－y＝y(tǒng)(k－1)，所以＝＝＝.


5、忽視使用性質(zhì)的條件


例8、若＝＝＝k. 求k的值.


錯解：因為＝＝＝k，所以由等比性質(zhì)，得＝k，即k＝.


錯解剖析：運用等比性質(zhì)的條件是分母之和不等于0，而這里并沒有說明a+b+c≠0，所以應(yīng)分情況討論.


正解：當(dāng)a+b+c≠0時，由等比性質(zhì)，得＝k，即k＝；當(dāng)a+b+c＝0時，則有a+b＝－c，或a+c＝－b，或b+c＝－a，無論哪一種情況都有k＝－1，所以k的值為或－1.


6、錯誤地運用設(shè)k法解題


例9、已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y+3z＝38，求3x+y－2z的值.


錯解：設(shè)x∶y∶z＝3∶5∶6＝k，則x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.


錯解剖析：本題不能用“設(shè)x∶y∶z＝3∶5∶6＝k”的方法求解，因為“3∶5∶6＝k”這個式子是錯誤的，所以雖然結(jié)果正確，但開始的設(shè)法就是錯誤的.


正解：因為x∶y∶z＝3∶5∶6，所以可設(shè)＝＝＝k，則x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.


7、忽視成線段成比例的順序性


例10、已知線段a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm. 試求a、b、c的第四比例項x.


錯解：因為a、b、c的第四比例項是x，所以有x∶a＝b∶c，即x＝，又a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝＝.


錯解剖析：要求a、b、c的第四比例項x，就表示四條線段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝，就是說線段成比例得講究一個順序性，錯解正是忽略了這一點.


正解：因為四條線段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝，又a＝3 cm，


b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝＝.


課堂練習(xí)評測


考點1：相似多邊形的特征


1. 下列哪兩個圖形是相似圖形（ ）.





A、①與② B、①與③ C、②與③ D、③與④





考點2：線段的比


2. 在比例尺為1︰10 000 000的地圖上，量得A，B兩地的距離是50cm，則A，B兩地的實際距離為______．


3. 如果，那么的值是 ( ).


A． B． C. D．





課后作業(yè)練習(xí)


基礎(chǔ)練習(xí)


1、若，則下列式子正確的是( ).


A. B. C. D.


2、應(yīng)中共中央總書記胡錦濤同志的邀請，中國國民黨主席連戰(zhàn)先生．親民黨主席宋楚瑜先生分別從臺灣來大陸參觀訪問，先后來到西安，都參觀了新建成的“大唐芙蓉園”．該園占地面積約為800000 m2，若按比例尺1：2000縮小后，其面積大約相當(dāng)于（ ）


Ａ．一個籃球場的面積B．一張乒乓球臺臺面的面積


C．《陜西日報》的一個版面的面積 D．《數(shù)學(xué)》課本封面的面積


3、正方形的邊長與對角線的比是 .


4、若線段，則︰= .


5、一般認(rèn)為，如果一個人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割，則這個人好看，如圖，是一個參加空姐選撥的選手的身高情況，那么她應(yīng)穿多高的鞋子才能好看？（精確到1cm）參考數(shù)據(jù)：黃金分割比為.





拓展練習(xí)


6、一位同學(xué)想利用樹影測出樹高，他在某時刻測得直立的標(biāo)桿高1米，影長是0.9米，但他去測樹影時，發(fā)現(xiàn)樹影的上半部分落在墻CD上，（如圖所示）他測得BC=2．7米，CD=1．2米．你能幫他求出樹高為多少米嗎？





7、以長為2cm的定線段AB為邊，作正方形ABCD，取AB的中點P．在BA的延長線上取點F，使PF＝PD．以AF為邊長作正方形AFEM．點M落在AD上．（如圖）


（1）試求AM，DM的長；


（2）點M是線段AD的黃金分割點嗎？請說明理由．





23.1課堂練習(xí)評測參考答案：


1.B；


2. 5 000km；


3.A


課后作業(yè)參考答案：


1、B


2、C


3、5︰3


4、1︰


5、解：設(shè)應(yīng)穿xcm高的鞋子，根據(jù)題意，得，解得x≈10cm.


6、解：如圖，樹的一部分AE的影投射到CD．即AE=CD=1.2米．根據(jù)題意，得，解得BE=3米，所以，AB=AE+BE=3+1.2=4.2米．





7、提示：要證明點M是AD的黃金分割點，只需證明等式或成立即可．


解：由AB=2cm，得AP=1cm，于是有DP=cm，PF=PD=cm，因為AM=AF=-1（cm），所以，從而點M是AD的黃金分割點．

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級上冊電子課本 舊教材

1. 成比例線段

版本： 華師大版

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