初中數(shù)學(xué)華師大版九年級上冊第24章 解直角三角形綜合與測試學(xué)案

這是一份初中數(shù)學(xué)華師大版九年級上冊第24章 解直角三角形綜合與測試學(xué)案，共13頁。學(xué)案主要包含了知識脈絡(luò)，典例分析，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、知識脈絡(luò)：








二、典例分析：


例1 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于點(diǎn)D，求∠BCD的四個三角函數(shù)值．


【分析】求∠BCD的四個三角函數(shù)值，關(guān)鍵要弄清其定義，由于∠BCD是在Rt△BCD中的一個內(nèi)角，根據(jù)定義，僅一邊BC是已知的，此時有兩條路可走，一是設(shè)法求出BD和CD，二是把∠BCD轉(zhuǎn)化成∠A，顯然走第二條路較方便，因?yàn)樵赗t△ABC中，三邊均可得出，利用三角函數(shù)定義即可求出答案．


【解】 在Rt△ABC中，∵ ∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝10，∴sin∠BCD=sinA= eq \f(BC,AB) = eq \f(4,5) ,cs∠BCD=csA= eq \f(AC,AB) = eq \f(3,5) ,


tan∠BCD=tanA= eq \f(BC,AC) = eq \f(4,3) ,ct∠BCD=ctA= eq \f(AC,BC) = eq \f(3,4) ．





【說明】本題主要是要學(xué)生了解三角函數(shù)定義，把握其本質(zhì)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的思想，即本題中角的轉(zhuǎn)換．


例2 如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，已知測角儀離AB為1.5米，求拉線CE的長．（結(jié)果保留根號）


【分析】求CE的長，此時就要借助于另一個直角三角形，故過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為G，在Rt△ACG中，可求出CG，從而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的長．





【解】 過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為點(diǎn)G，在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，∴tan30°= eq \f(CG,AG) ，∴CG=6× eq \f(\r(3),3) =2 eq \r(3) ，∴CD=2 eq \r(3) +1.5,在Rt△CED中，sin60°= eq \f(CD,EC) ，∴EC= eq \f(CD,sin60°) ==4+ eq \r(3) ．


答：拉線CE的長為4+ eq \r(3) 米．


【說明】在直角三角形的實(shí)際應(yīng)用中，利用兩個直角三角形的公共邊或邊長之間的關(guān)系，往往是解決這類問題的關(guān)鍵，在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)加以引導(dǎo)和總結(jié)．


例3 如圖，某縣為了加固長90米，高5米，壩頂寬為4米的迎水坡和背水坡，它們是坡度均為1∶0.5，橫斷面是梯形的防洪大壩，現(xiàn)要使大壩順勢加高1米，求⑴坡角的度數(shù)；⑵完成該大壩的加固工作需要多少立方米的土？


【分析】大壩需要的土方＝橫斷面面積×壩長；所以問題就轉(zhuǎn)化為求梯形ADNM的面積，在此問題中，主要抓住坡度不變，即MA與AB的坡度均為1∶0.5．


【解】 ⑴∵i=tanB,即tanB= eq \f(1,0.5) =2，∴∠B=63.43°．


⑵過點(diǎn)M、N分別作ME⊥AD，NF⊥AD，垂足分別為E、F．由題意可知：ME＝NF＝5，∴ eq \f(ME,AE) ＝ eq \f(1,0.5) ，∴AE＝DF＝2.5，∵AD=4， ∴MN=EF=1.5，∴S梯形ADNM＝ eq \f(1,2) (1.5+4)×1＝2.75．∴需要土方為2.75×90=247.5 (m3) ．





【說明】本題的關(guān)鍵在于抓住前后坡比不變來解決問題，坡度＝ eq \f(垂直高度,水平距離) ＝坡角的正切值．


例4 某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A,其正東方向有一棵大樹B，小明想測量A、B之間的距離，他從湖邊的C處測得A在北偏西45°方向上，測得B在北偏東32°方向上，且量得B、C間距離為100米，根據(jù)上述測量結(jié)果，請你幫小明計算A、B之間的距離．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.5299,cs32°≈0.8480,tan s32°≈0.6249,ct32°≈1.600）





【分析】本題涉及到方位角的問題，要解出AB的長，只要去解Rt△ADC和Rt△BDC即可．


【解】過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．由題知：∠=45°，∠=32°．在Rt△BDC中，sin32°= eq \f(BD,BC) ，∴BD＝100sin32°≈52.99．cs 32°= eq \f(CD,BC) ，∴CD=100 cs 32°≈84.80．在Rt△ADC中，∵∠ACD=45°，∴AD=DC=84.80．


∴AB=AD+BD≈138米．


答：AB間距離約為138米．


【說明】本題中涉及到方位角的問題，畫圖是本題的難點(diǎn)，找到兩個直角三角形的公共邊是解題的關(guān)鍵，在復(fù)習(xí)中應(yīng)及時進(jìn)行歸納、總結(jié)由兩個直角三角形構(gòu)成的各種情形．


例5 在某海濱城市O附近海面有一股臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于該城市的東偏南70°方向200千米的海面P處，并以20千米/ 時的速度向西偏北25°的PQ的方向移動，臺風(fēng)侵襲范圍是一個圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60千米，且圓的半徑以10千米/ 時速度不斷擴(kuò)張．


(1)當(dāng)臺風(fēng)中心移動4小時時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到 千米；又臺風(fēng)中心移動t小時時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到 千米．


(2)當(dāng)臺風(fēng)中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風(fēng)是否侵襲這座海濱城市？請說明理由(參考數(shù)據(jù)，)．





【分析】先要計算出OH和PH的長，即可求得臺風(fēng)中心移動時間，而后求出臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑，此圓半徑與OH比較即可．


【解】⑴100； ．⑵作OH⊥PQ于點(diǎn)H，可算得（千米），設(shè)經(jīng)過t小時時，臺風(fēng)中心從P移動到H，則，算得（小時），此時，受臺風(fēng)侵襲地區(qū)的圓的半徑為：（千米）＜141（千米）．∴城市O不會受到侵襲．


【說明】本題是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形問題，對于此類問題常常要構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)知識來解決．








第24章測試題設(shè)計


一、選擇題：


1、某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°，否則就有危險，那么梯子的長至少為（ ）


A．8米 B．米 C．米 D．米


2、如圖，中邊上的高為，中邊上的高為，下列結(jié)論正確的是（ ）


A．B． C． D．無法確定





3、已知在中，，設(shè)，當(dāng)是最小的內(nèi)角時，的取值范圍是


A． B． C． D．


4、如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于點(diǎn)M，CN⊥AN于點(diǎn)N．則DM+CN的值為（用含a的代數(shù)式表示）( )





A．a(chǎn) B． C． D．


5、已知α為銳角，則m=sinα+csα的值（ ）


A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≥1





6、如果方程的兩個根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC最小的角為A，那么tanA的值為（ ）．


A、或 B、 C、 D、或


7、已知α為銳角，且cs（90°－α）＝，則α的度數(shù)為（ ）


A．30° B．60° C．45° D．75°


8、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°， AM是BC邊上的中線，，則的值為( )．





A、 B、 C、 D、


9、在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，那么BC的長等于（ ）





A、4 B、4+3 C、4－3 D、4+3或4－3





10、如圖，小穎利用有一個銳角是30°的三角板測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的水平距離BE為5m，AB為1.5m





（即小穎的眼睛距地面的距離），那么這棵樹高是（ ）


A．（）m B．（）m C． m D．4m








二、填空題：


11、如圖所示，小華同學(xué)在距離某建筑物6米的點(diǎn)A處測得廣告牌B點(diǎn)．C點(diǎn)的仰角分別為52°和35°，則廣告牌的高度BC為_____________米(精確到0.1米)．(sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cs52°≈0.62，tan52°≈1.28)





12、長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了 m．





13、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中線CM將△CMA折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，若CD恰好與MB垂直，則tanA的值為 ．








14、某人沿著有一定坡度的坡面前進(jìn)了10米，此時他與水平地面的垂直距離為米，則這個坡面的坡度為_________.


15、如圖，是一張寬的矩形臺球桌，一球從點(diǎn)（點(diǎn)在長邊上）出發(fā)沿虛線射向邊，然后反彈到邊上的點(diǎn). 如果，.那么點(diǎn)與點(diǎn)的距離為 .





16、如圖所示，某河堤的橫斷面是梯形，，迎水坡長13米，且，則河堤的高為 米．





17、如圖，小明同學(xué)在東西方向的環(huán)海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，在A處東500米的B處，測得海中燈塔P在北偏東30°方向上，則燈塔P到環(huán)海路的距離PC＝ 米（用根號表示）．








18、水管的外部需要包扎,包扎時用帶子纏繞在管道外部.若要使帶子全部包住管道且不重疊（不考慮管道兩端的情況）,需計算帶子的纏繞角度（指纏繞中將部分帶子拉成圖中所示的平面ABCD時的∠ABC,其中AB為管道側(cè)面母線的一部分）.若帶子寬度為1,水管直徑為2,則的余弦值為 .





19、如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分線，tanB=，則CD∶DB= .





20、若等腰梯形的上、下底之和為4，并且兩條對角線所夾銳角為，則該等腰梯形的面積為 （結(jié)果保留根號的形式）．





三、解答題：


21、計算：（1）； （2）；





22、一種千斤頂利用了四邊形的不穩(wěn)定性. 如圖，其基本形狀是一個菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動手柄可改變的大小（菱形的邊長不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋碅、C之間的距離）.若AB=40cm，當(dāng)從變?yōu)闀r，千斤頂升高了多少？（，結(jié)果保留整數(shù)）





23、某大草原上有一條筆直的公路，在緊靠公路相距40千米的A、B兩地，分別有甲、乙兩個醫(yī)療站，如圖，在A地北偏東45°、B地北偏西60°方向上有一牧民區(qū)C.一天，甲醫(yī)療隊(duì)接到牧民區(qū)的求救電話，立刻設(shè)計了兩種救助方案，方案I：從A地開車沿公路到離牧民區(qū)C最近的D處，再開車穿越草地沿DC方向到牧民區(qū)C.方案II：從A地開車穿越草地沿AC方向到牧民區(qū)C.已知汽車在公路上行駛的速度是在草地上行駛速度的3倍.（1）求牧民區(qū)到公路的最短距離CD.（2）你認(rèn)為甲醫(yī)療隊(duì)設(shè)計的兩種救助方案，哪一種方案比較合理？并說明理由.（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.73，取1.41）











24、如圖，小唐同學(xué)正在操場上放風(fēng)箏，風(fēng)箏從A處起飛，幾分鐘后便飛達(dá)C處，此時，在AQ延長線上B處的小宋同學(xué)，發(fā)現(xiàn)自己的位置與風(fēng)箏和旗桿PQ的頂點(diǎn)P在同一直線上.


（1）已知旗桿高為10米，若在B處測得旗桿頂點(diǎn)P的仰角為30°，A處測得點(diǎn)P的仰角為45°，試求A、B之間的距離；


（2）此時，在A處背向旗桿又測得風(fēng)箏的仰角為75°，若繩子在空中視為一條線段，求繩子AC約為多少？（結(jié)果可保留根號）





25、某大學(xué)計劃為新生配備如圖（1）所示的折疊椅．圖（2）是折疊椅撐開后的側(cè)面示意圖，其中椅腿AB和CD的長相等，O是它們的中點(diǎn)．為使折疊椅既舒適又牢固，廠家將撐開后的折疊椅高度設(shè)計為32cm，∠DOB＝100°，那么椅腿的長AB和篷布面的寬AD各應(yīng)設(shè)計為多少cm？（結(jié)果精確到0.1cm）











26、路邊的路燈的燈柱BC垂直于地面，燈桿BA的長為2米，燈桿與燈柱BC成120°角，錐形燈罩的軸線AD與燈桿AB垂直，且燈罩軸線AD正好通過道路里面的中心線（D在中心線上），已知C點(diǎn)與D點(diǎn)之間的距離為12米，求燈柱BC的高（結(jié)果保留根號）








27、如圖，家住江北廣場的小李經(jīng)西湖橋到教育局上班，路線為→→→．因西湖橋維修封橋，他只能改道經(jīng)臨津門渡口乘船上班，路線為→→→．已知，，，，米，米，，．請你計算小李上班的路程因改道增加了多少？（結(jié)果保留整數(shù)）


溫馨提示：．





28、如圖，在小山的西側(cè)A處有一熱氣球，以30米/分鐘的速度沿著與垂直方向所成夾角為30°的方向升空，40分鐘后到達(dá)C處，這時熱氣球上的人發(fā)現(xiàn)，在A處的正東方向有一處著火點(diǎn)B，十分鐘后，在D處測得著火點(diǎn)B的俯角為15°，求熱氣球升空點(diǎn)A與著火點(diǎn)B的距離.（結(jié)果保留根號，參考數(shù)據(jù)：(，，，）.














參考答案：


一、選擇題：


1、C


2、C


3、A


4、C


5、A


6、D


7、B


8、A


9、D


10、A


二、填空題：


11、3.5


12、


13、





14、1:2


15、





16、12


17、


18、





19、1∶2


20、或





三、解答題：


21、（1）；（2）2.5





22、解: 連結(jié)AC，與BD相交于點(diǎn)O， 四邊形ABCD是菱形，ACBD,ADB=CDB,AC=2AO ， 當(dāng)ADC=時，△ADC是等邊三角形，AC=AD=AB=40 .


當(dāng)ADC=時，ADO=，AO=ADsinADO=40×=20，AC=40 ，因此增加的高度為4040=400.73229（cm）








23、解：（1）設(shè)CD為x千米，由題意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°，∴AD=CD=x.在Rt△BCD中，tan30°=，所以BD=x.


∵AD＋DB=AB=40，∴x＋x=40.解得 x≈14.7，所以，牧民區(qū)到公路的最短距離CD為14.7千米.


（2）設(shè)汽車在草地上行駛的速度為v，則在公路上行駛的速度為3v，在Rt△ADC中，∠CAD=45°，∴AC=CD，


方案I用的時間t1=；方案II用的時間t2=； 所以t1－t2==.因?yàn)?－4>0，所以t1－t2>0.所以方案I用的時間少，方案I比較合理.





24、解：(1) 在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，則BQ=ct30°×PQ＝,又在Rt△APQ中，∠PAB=45°，則AQ=ct45°×PQ=10， 即：AB=(+10)(米)；


(2) 過A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=+10，∴ AE=sin30°×AB=（+10）=5+5，∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴ ∠C=45°，在Rt△CAE中，sin45°＝，∴AC=（5+5）=(5+5)(米)








25、解：連接AC，BD ， ∵OA=OB=OC=OB ，∴四邊形ACBD為矩形


∵∠DOB=100o, ∴∠ABC=50o，由已知得AC=32，在Rt△ABC中，sin∠ABC=，∴AB==≈41.8（cm），tan∠ABC=，∴BC==≈26.9（cm），∴AD=BC =26.9 （cm）


答：椅腿AB的長為41.8cm,篷布面的寬AD為26.9cm.








26、解：設(shè)燈柱BC的長為h米，過點(diǎn)A作AD⊥CD于點(diǎn)H，過B作BE⊥AH于點(diǎn)E，∴四邊形BCHE為矩形，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝30°，又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＝60°，在Rt△AEB中，∴AE＝ABsin30°＝1，BE＝ABcs30°＝，∴CH＝，又CD＝12，∴DH＝12－，在Rt△AHD中，tan∠ADH＝＝，解得，h＝12－4（米），∴燈柱BC的高為（12－4）米．





27、解：在中，，


四邊形為平行四邊形．．


在中，，，，，，


增加的路程=（米）．





28、解：由題意可知，AD＝(40＋10)×30＝1500（米）過點(diǎn)D作DH⊥BA，交BA延長線于點(diǎn)H.


在Rt△DAH中，DH＝AD·sin60°＝1500×＝750（米）.AH＝AD·cs60°＝1500×＝750（米）.


在Rt△DBH中，BH＝DH·cs15°＝750×(2＋)＝（1500＋2250）（米），∴BA＝BH－AH＝1500＋2250－750＝1500（＋1）（米）.答：熱氣球升空點(diǎn)A與著火點(diǎn)B的距離為1500（＋1）（米）