學(xué)習(xí)目標 1.理解事件的關(guān)系與運算.2.通過事件之間的運算，理解互斥事件和對立事件的概念.





知識點一 事件的關(guān)系





知識點二 交事件與并事件





知識點三 互斥事件和對立事件








1.若A，B表示隨機事件，則A∩B與A∪B也表示事件.( √ )


2.若兩個事件是互斥事件，則這兩個事件是對立事件.( × )


3.若兩個事件是對立事件，則這兩個事件也是互斥事件.( √ )


4.若事件A與B是互斥事件，則在一次試驗中事件A和B至少有一個發(fā)生.( × )





一、互斥事件和對立事件的判斷


例1 某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”.判斷下列事件是否為互斥事件，如果是，判斷它們是否為對立事件.


(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.


解 (1)由于事件C“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件.


(2)事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故事件B與E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一個發(fā)生，故B與E也是對立事件.


(3)事件B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件.


(4)事件B“至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”，“只訂乙報”，“訂甲、乙兩種報”.事件C“至多訂一種報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”.即事件B與事件C可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件.


(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事件.


反思感悟 判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們在一次試驗中能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件；判斷兩個事件是否為對立事件，主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生.這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件，只要有一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件.


跟蹤訓(xùn)練1 (1)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么下列各對事件中，互斥而不對立的是( )


A.至少有一個紅球與都是紅球


B.至少有一個紅球與都是白球


C.至少有一個紅球與至少有一個白球


D.恰有一個紅球與恰有兩個紅球


答案 D


解析 根據(jù)互斥事件與對立事件的定義判斷.A中兩事件不是互斥事件，事件“三個球都是紅球”是兩事件的交事件；B中兩事件是對立事件；C中兩事件能同時發(fā)生，如“恰有一個紅球和兩個白球”，故不是互斥事件；D中兩事件是互斥而不對立事件.


(2)有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”是( )


A.互斥但非對立事件 B.對立事件


C.非互斥事件 D.以上都不對


答案 A


解析 由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件.


二、事件的運算


例2 在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件.例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點}，事件C2＝{出現(xiàn)2點}，事件C3＝{出現(xiàn)3點}，事件C4＝{出現(xiàn)4點}，事件C5＝{出現(xiàn)5點}，事件C6＝{出現(xiàn)6點}，事件D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：


(1)請舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；


(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.


解 (1)因為事件C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.


同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.


且易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1.


(2)因為事件D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點}，


所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).


同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.


反思感悟 事件間運算方法


(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進行事件間的運算.


(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進行運算.


跟蹤訓(xùn)練2 拋擲相同硬幣3次，設(shè)事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，兩次反面向上}，事件C＝{兩次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.


(1)試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；


(2)試求事件A與事件D的交事件，事件B與事件C的并事件，并判斷二者的關(guān)系.


解 (1)B?A，C?A，E?A，且A＝B＋C＋E.


(2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C.


三、隨機事件的表示及含義


例3 設(shè)A，B，C表示三個隨機事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.


(1)三個事件都發(fā)生；


(2)三個事件至少有一個發(fā)生；


(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；


(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；


(5)A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；


(6)A，B，C中恰好有兩個發(fā)生.


解 (1)ABC (2)A∪B∪C (3)Aeq \x\t(B)eq \x\t(C) (4)ABeq \x\t(C) (5)(A∪B)eq \x\t(C) (6)ABeq \x\t(C)∪Aeq \x\t(B)C∪eq \x\t(A)BC


延伸探究


本例條件不變，試用A，B，C表示以下事件.


(1)三個事件都不發(fā)生；


(2)三個事件至少有兩個發(fā)生.


解 (1)eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C) (2)ABC∪ABeq \x\t(C)∪Aeq \x\t(B)C∪eq \x\t(A)BC(或AB∪BC∪AC)


反思感悟 清楚隨機事件的運算與集合運算的對應(yīng)關(guān)系有助于解決此類問題.


跟蹤訓(xùn)練3 5個相同的小球，分別標上數(shù)字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取兩個小球.記事件A為“第一次抽取的小球上的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B為“抽取的兩個小球上的數(shù)字至少有一個是偶數(shù)”，事件C為“兩個小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，試用集合的形式表示A，B，C，A∩B，eq \x\t(A)∩eq \x\t(C)，eq \x\t(B)∩C.


解 總的樣本空間為Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，


A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，


B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，


C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.


A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，


eq \x\t(A)∩eq \x\t(C)＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)}，


eq \x\t(B)∩C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.





1.某人射擊一次，設(shè)事件A為“擊中環(huán)數(shù)小于4”，事件B為“擊中環(huán)數(shù)大于4”，事件C為“擊中環(huán)數(shù)不小于4”，事件D為“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”，則正確的關(guān)系是( )


A.A與B為對立事件


B.B與C為互斥事件


C.C與D為對立事件


D.B與D為互斥事件


答案 D


2.抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為( )


A.至多有2件次品 B.至多有1件次品


C.至多有2件正品 D.至少有2件正品


答案 B


解析 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9種結(jié)果，故它的對立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品.


3.設(shè)M，N，P是三個事件，則M，N至少有一個不發(fā)生且P發(fā)生可表示為( )


A.(eq \x\t(M)∪eq \x\t(N))P B.(eq \x\t(M) eq \x\t(N))P


C.(eq \x\t(M)∪eq \x\t(N))∪P D.(eq \x\t(M)N)∪(Meq \x\t(N))


答案 A


4.甲、乙兩人破譯同一個密碼，令甲、乙破譯出密碼分別為事件A，B，則eq \x\t(A)B∪Aeq \x\t(B)表示的含義是________，事件“密碼被破譯”可表示為________.


答案 只有一人破譯密碼 eq \x\t(A)B∪Aeq \x\t(B)∪AB


5.從0,1,2,3,4,5中任取兩個數(shù)字組成一個不重復(fù)的兩位數(shù).事件A表示組成的兩位數(shù)是偶數(shù)，事件B表示組成的兩位數(shù)中十位數(shù)字大于個位數(shù)字，則事件A∩B用樣本點表示為_______.


答案 {10,20,30,40,50,32,42,52,54}





1.知識清單：


(1)事件的包含關(guān)系與相等關(guān)系.


(2)交事件和并事件.


(3)互斥事件和對立事件.


2.方法歸納：列舉法、Venn圖法.


3.常見誤區(qū)：互斥事件和對立事件之間的關(guān)系易混淆.








1.下列各組事件中，不是互斥事件的是( )


A.一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6


B.統(tǒng)計一個班級期中考試數(shù)學(xué)成績，平均分數(shù)不低于90分與平均分數(shù)不高于90分


C.播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒


D.檢查某種產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率為70%


答案 B


2.許洋說：“本周我至少做完三套練習(xí)題.”設(shè)許洋所說的事件為A，則A的對立事件為( )


A.至多做完三套練習(xí)題B.至多做完二套練習(xí)題


C.至多做完四套練習(xí)題D.至少做完二套練習(xí)題


答案 B


解析 至少做完3套練習(xí)題包含做完3,4,5,6，…套練習(xí)題，故它的對立事件為做完0,1,2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題.


3.把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是( )


A.對立事件B.相等


C.互斥但不對立事件D.以上說法都不對


答案 C


解析 因為只有1張紅牌，所以這兩個事件不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；但這兩個事件并不是必有一個發(fā)生，所以它們不是對立事件.


4.向上拋擲一枚均勻的骰子兩次，事件A表示兩次點數(shù)之和小于10，事件B表示兩次點數(shù)之和能被5整除，則事件eq \x\t(A)B用樣本點表示為( )


A.{(5,5)} B.{(4,6)，(5,5)}


C.{(6,5)，(5,5)} D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)}


答案 D


5.設(shè)A，B為兩事件，則(A∪B)(eq \x\t(A)∪eq \x\t(B))表示( )


A.必然事件 B.不可能事件


C.A與B恰有一個發(fā)生 D.A與B不同時發(fā)生


答案 C


解析 A∪B表示事件A，B至少有1個發(fā)生，eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)表示事件A，B至少有一個不發(fā)生，


∴(A∪B)(eq \x\t(A)∪eq \x\t(B))表示A與B恰有一個發(fā)生.


6.設(shè)某隨機試驗的樣本空間Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,4,5}，C＝{5,6,7}.則：


(1)A∪B＝________________；


(2)eq \x\t(A)∩B＝________；


(3)A∩(B∩C)＝________.


答案 (1){2,3,4,5} (2){5} (3)?


7.在某大學(xué)的學(xué)生中任選一名學(xué)生，若事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示該生是大三學(xué)生，事件C表示該生是運動員，則事件ABeq \x\t(C)的含義是________________.


答案 該生是大三男生，但不是運動員


8.現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和化學(xué)共5本書，從中任取1本，記取到語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)書分別為事件A，B，C，D，E，則事件取出的是理科書可記為________.


答案 B∪D∪E


解析 由題意可知事件“取到理科書”可記為B∪D∪E.


9.從某大學(xué)數(shù)學(xué)系圖書室中任選一本書.設(shè)A＝{數(shù)學(xué)書}；B＝{中文版的書}；C＝{2000年后出版的書}.問：


(1)A∩B∩eq \x\t(C)表示什么事件？


(2)在什么條件下有A∩B∩C＝A?


(3)如果eq \x\t(A)＝B，那么是否意味著圖書室中的所有的數(shù)學(xué)書都不是中文版的？


解 (1)A∩B∩eq \x\t(C)＝{2000年或2000年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書}.


(2)在“圖書室中所有數(shù)學(xué)書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有A∩B∩C＝A.


(3)是.eq \x\t(A)＝B意味著圖書室中的非數(shù)學(xué)書都是中文版的，而且所有的中文版的書都不是數(shù)學(xué)書.同時eq \x\t(A)＝B又可等價成eq \x\t(B)＝A，因而也可以解釋為：圖書室中所有數(shù)學(xué)書都不是中文版的，而且所有外文版的書都是數(shù)學(xué)書.


10.盒子里有3個紅球，2個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設(shè)事件A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}.求：


(1)事件D與事件A，B是什么樣的運算關(guān)系？


(2)事件C與事件A的交事件是什么事件？


(3)把紅球記為1,2,3，白球記為a，b，試用集合的形式表示A∪C，C∩D.


解 (1)對于事件D，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故D＝A∪B.


(2)對于事件C，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球，2個紅球1個白球或3個紅球，故C∩A＝A.


(3)A∪C＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(1,2,3)，(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)}，


C∩D＝{(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)，(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)}.





11.對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列關(guān)系不正確的是( )


A.A?D B.B∩D＝?


C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D


答案 D


12.(多選)一箱產(chǎn)品有正品4件、次品3件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有( )


A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”


B.“至少有1件次品”和“都是次品”


C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”


D.“至少有1件次品”和“都是正品”


答案 AD


解析 對于A，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，與“2件都是次品”顯然是互斥事件；


對于B，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是次品”可能同時發(fā)生，因此這兩個事件不是互斥事件；


對于C，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，與“至少有1件次品”不是互斥事件；


對于D，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是正品”顯然是互斥事件，故AD是互斥事件.


13.盒子內(nèi)分別有3個紅球，2個白球，1個黑球，從中任取2個球，則下列選項中的兩個事件互斥而不對立的是( )


A.至少有1個白球，至多有1個白球


B.至少有1個白球，至少有1個紅球


C.至少有1個白球，沒有白球


D.至少有1個白球，紅球、黑球各1個


答案 D


解析 當取出的2個球是1白1紅時，A中兩個事件同時發(fā)生，所以A中的兩個事件不是互斥事件，此時B也一樣，所以排除A，B；C中，兩個事件不可能同時發(fā)生，但是必有一個發(fā)生，所以C中的兩個事件是對立事件，所以排除C；D中，兩個事件不可能同時發(fā)生，但是當取出的2個球都是紅球時，這兩個事件都沒有發(fā)生，所以D中的兩個事件是互斥事件但不是對立事件.


14.電路如圖所示.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關(guān)Ⅰ閉合”“開關(guān)Ⅱ閉合”“開關(guān)Ⅲ閉合”，則A＝____________.(用B，C，D間的運算關(guān)系式表示)





答案 (BC)∪(BD)或B∩(C∪D)





15.如果A，B是互斥事件，那么( )


A.eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件


B.eq \x\t(A)與eq \x\t(B)一定是互斥事件


C.eq \x\t(A)與eq \x\t(B)一定不是互斥事件


D.A∪B是必然事件


答案 A


解析 由互斥事件的概念，A，B互斥即A∩B為不可能事件，所以eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件，故A正確；C選項中，當B＝eq \x\t(A)時，eq \x\t(A)與eq \x\t(B)互斥，故C錯誤；D和B可舉反例，如投擲骰子試驗中，A表示向上數(shù)字1，B表示向上數(shù)字為2，A∪B不是必然事件，eq \x\t(A)與eq \x\t(B)不是互斥事件，故B，D錯誤.


16.投擲一枚均勻的硬幣，連續(xù)投擲3次.Ai表示第i次正面朝上，試用文字敘述下列事件.


(1)A1∪A2；


(2)A1∪A2∪A3；


(3)eq \x\t(A)2A3；


(4)eq \x\t(A1∪A2)；


(5)eq \x\t(A)1∩eq \x\t(A)2；


(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.


解 (1)A1∪A2表示第1次和第2次投擲硬幣至少有1次正面朝上.


(2)A1∪A2∪A3表示3次投擲硬幣中至少有1次正面朝上.


(3)eq \x\t(A)2A3表示第2次投擲硬幣反面朝上且第3次正面朝上.


(4)eq \x\t(A1∪A2)表示第1次和第2次投擲硬幣均反面朝上.


(5)eq \x\t(A)1∩eq \x\t(A)2表示第1次和第2次投擲硬幣均反面朝上.


(6)3次投擲硬幣中至少有2次正面朝上.定義
符號
圖示
包含關(guān)系
一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等關(guān)系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等
A＝B
定義
符號
圖示
并事件


(或和事件)
一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B


(或A＋B)
交事件


(或積事件)
一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B


(或AB)
定義
符號
圖示
互斥事件
一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝?
對立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為eq \x\t(A)
A∪B＝Ω


A∩B＝?
符號
事件的運算
集合的運算
A
隨機事件
子集
eq \x\t(A)
A的對立事件
A的補集
AB
事件A與B的交事件
集合A與B的交集
A∪B
事件A與B的并事件
集合A與B的并集

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這是一份數(shù)學(xué)必修 第二冊10.1 隨機事件與概率學(xué)案，共6頁。學(xué)案主要包含了教學(xué)目標，自主學(xué)習(xí)，課內(nèi)探究，當堂檢測等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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這是一份數(shù)學(xué)人教A版 (2019)10.1 隨機事件與概率學(xué)案及答案，共9頁。

數(shù)學(xué)必修 第二冊10.1 隨機事件與概率導(dǎo)學(xué)案及答案：

這是一份數(shù)學(xué)必修 第二冊10.1 隨機事件與概率導(dǎo)學(xué)案及答案，文件包含1012事件的關(guān)系和運算原卷版docx、1012事件的關(guān)系和運算解析版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共27頁， 歡迎下載使用。

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

10.1 隨機事件與概率

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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