學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解概率的基本性質(zhì).2.掌握利用互斥事件和對立事件的概率公式解決與古典概型有關(guān)的問題.





知識點(diǎn) 概率的基本性質(zhì)


性質(zhì)1 對任意的事件A，都有P(A)≥0.


性質(zhì)2 必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.


性質(zhì)3 如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).


性質(zhì)4 如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).


性質(zhì)5 如果A?B，那么P(A)≤P(B).


性質(zhì)6 設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).


思考 (1)如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，那么事件A1，A2，…，An的和事件的概率等于事件A1，A2，…，An的概率和嗎？


答案 相等.P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).


(2)對于任意事件A，事件A的概率的范圍是多少？


答案 因??A?Ω，∴0≤P(A)≤1.





1.A，B為兩個事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B).( × )


2.若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( × )


3.事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對立事件.( × )


4.如果事件A與事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.( √ )





一、互斥事件與對立事件概率公式的應(yīng)用


例1 某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.計算這個射手在一次射擊中：


(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；


(2)至少射中7環(huán)的概率；


(3)射中8環(huán)以下的概率.


解 “射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”是彼此互斥的，可運(yùn)用互斥事件的概率加法公式求解.


設(shè)“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為事件A，B，C，D，E，則


(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.


(2)方法一 P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.


方法二 事件“至少射中7環(huán)”的對立事件是“射中7環(huán)以下”，其概率為0.13，則至少射中7環(huán)的概率為1－0.13＝0.87.


(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中8環(huán)以下的概率為0.29.


反思感悟 運(yùn)用互斥事件的概率加法公式解題的一般步驟


(1)確定各事件彼此互斥.


(2)求各事件分別發(fā)生的概率，再求其和.


注意：(1)是公式使用的前提條件，不符合這點(diǎn)，是不能運(yùn)用互斥事件的概率加法公式的.


跟蹤訓(xùn)練1 在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分與89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.計算下列事件的概率：


(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分及80分以上的成績；


(2)小明考試及格(60分及60分以上為及格).


解 分別記小明的成績“在90分及90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”為事件B，C，D，E，顯然這四個事件彼此互斥.


(1)小明的成績在80分及80分以上的概率是


P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.


(2)方法一 小明考試及格的概率是


P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.


方法二 因?yàn)樾∶骺荚嚥患案竦母怕适?.07，所以小明考試及格的概率是1－0.07＝0.93.


二、互斥、對立事件與古典概型的綜合應(yīng)用


例2 一盒中裝有各色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球，從中隨機(jī)取出1球，求：


(1)取出1球是紅球或黑球的概率；


(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.


解 記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球}；A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷；A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷；A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則


P(A1)＝eq \f(5,12)，P(A2)＝eq \f(4,12)，P(A3)＝eq \f(2,12)，P(A4)＝eq \f(1,12).


根據(jù)題意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.


方法一 由互斥事件概率公式，得


(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為


P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq \f(5,12)＋eq \f(4,12)＝eq \f(3,4).


(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為


P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq \f(5,12)＋eq \f(4,12)＋eq \f(2,12)＝eq \f(11,12).


方法二 (1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的對立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1＋A2的對立事件為A3＋A4，所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為


P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)


＝1－eq \f(2,12)－eq \f(1,12)＝eq \f(9,12)＝eq \f(3,4).


(2)A1＋A2＋A3的對立事件為A4，所以


P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12).


反思感悟 求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法


(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件.


(2)若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”，它常用來求“至少……”或“至多……”型事件的概率.


跟蹤訓(xùn)練2 某學(xué)校的籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有10名隊員，某些隊員不止參加了一支球隊，具體情況如圖所示.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊員，求：





(1)該隊員只屬于一支球隊的概率；


(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率.


解 分別令“抽取一名隊員只屬于籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊”為事件A，B，C.由題圖知3支球隊共有球員20名.


則P(A)＝eq \f(5,20)，P(B)＝eq \f(3,20)，P(C)＝eq \f(4,20).


(1)令“抽取一名隊員，該隊員只屬于一支球隊”為事件D.


則D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C兩兩互斥，


∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)


＝eq \f(5,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(4,20)＝eq \f(3,5).


(2)令“抽取一名隊員，該隊員最多屬于兩支球隊”為事件E，


則eq \x\t(E)為“抽取一名隊員，該隊員屬于3支球隊”，


∴P(E)＝1－P(eq \x\t(E))＝1－eq \f(2,20)＝eq \f(9,10).





正難則反思想的應(yīng)用


典例 一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.


(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；


(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.


解 (1)由題意知，(a，b，c)所有可能的結(jié)果為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種.


設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，


則事件A包含的樣本點(diǎn)有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3個.


所以P(A)＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9).


即“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為eq \f(1,9).


(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件B的對立事件eq \x\t(B)包括的樣本點(diǎn)有(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種.


∴P(B)＝1－P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(3,27)＝eq \f(8,9).


即“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq \f(8,9).


[素養(yǎng)提升] 當(dāng)正面考慮所解決的問題比較繁瑣復(fù)雜時，可以通過邏輯推理，找到所求事件的對立事件，利用對立事件的概率的公式求解.





1.在一個試驗(yàn)中，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A與事件B的關(guān)系是( )


A.互斥不對立 B.對立不互斥


C.互斥且對立 D.以上答案都不對


答案 C


2.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )


C.0.3 D.0.7


答案 C


解析 ∵摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故選C.


3.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是( )


A.A＋B與C是互斥事件，也是對立事件


B.B＋C與D是互斥事件，也是對立事件


C.A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件


D.A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件


答案 D


解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一個必然事件，故四個事件的關(guān)系如圖所示.由圖可知，任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件，故選D.





4.從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是( )


A.eq \f(1,10) B.eq \f(3,10)


C.eq \f(3,5) D.eq \f(9,10)


答案 D


解析 記3個紅球分別為a1，a2，a3,2個白球分別為b1，b2，從3個紅球、2個白球中任取3個，則樣本空間Ω＝{(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)}，共含10個樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)會均等，因此這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.用事件A表示“所取的3個球中至少有1個白球”，則其對立事件eq \x\t(A)表示“所取的3個球中沒有白球”，則事件eq \x\t(A)包含的樣本點(diǎn)有1個(a1，a2，a3)，所以P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,10).故P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(1,10)＝eq \f(9,10).


5.中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運(yùn)會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為eq \f(3,7)，乙奪得冠軍的概率為eq \f(1,4)，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________.


答案 eq \f(19,28)


解析 由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式進(jìn)行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq \f(3,7)＋eq \f(1,4)＝eq \f(19,28).





1.知識清單：


性質(zhì)1 對任意的事件A，都有P(A)≥0.


性質(zhì)2 必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.


性質(zhì)3 如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).


性質(zhì)4 如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).


性質(zhì)5 如果A?B，那么P(A)≤P(B).


性質(zhì)6 設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).


2.方法歸納：


(1)將所求事件轉(zhuǎn)化為互斥事件的并事件.


(2)將求復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率.


3.常見誤區(qū)：將事件拆分成若干個互斥的事件，不能重復(fù)和遺漏.








1.P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，則P(A＋B)等于( )


A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不確定


答案 D


解析 由于不能確定A與B是否互斥，則P(A＋B)的值不能確定.


2.(多選)下列四個命題中錯誤的是( )


A.對立事件一定是互斥事件


B.若A，B為兩個事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)


C.若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1


D.事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對立事件


答案 BCD


解析 對立事件首先是互斥事件，故A正確；只有互斥事件的和事件的概率才適合概率的加法公式，故B不正確；概率的加法公式可以適合多個互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故C不正確；對立事件和的概率公式逆用不正確，比如在擲骰子試驗(yàn)中，設(shè)事件A＝{正面為奇數(shù)}，B＝{正面為1,2,3}，則P(A)＋P(B)＝1.而A，B不是對立事件，故D不正確.


3.若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，則P(B)的取值范圍是( )


A.[0,0.9] B.[0.1,0.9]


C.(0,0.9] D.[0,1]


答案 A


解析 由于事件A和B是互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故選A.


4.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為( )





答案 C


解析 ∵抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.


5.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質(zhì)量小于4.8 g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85 g的概率為0.32，那么質(zhì)量在4.8～4.85 g范圍內(nèi)的概率是( )





答案 C


解析 設(shè)“質(zhì)量小于4.8g”為事件A，“質(zhì)量小于4.85 g”為事件B，“質(zhì)量在4.8～4.85 g”為事件C，則A＋C＝B，且A，C為互斥事件，所以P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，則P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.


6.某城市2018年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：





其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50

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10.1 隨機(jī)事件與概率

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