題型一：拋物線的定義
題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：拋物線的綜合問題
題型四：軌跡方程
題型五：拋物線的幾何性質(zhì)
題型六：拋物線中的范圍與最值問題
題型七：焦半徑問題
【知識點(diǎn)梳理】
知識點(diǎn)一：拋物線的定義
定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
知識點(diǎn)詮釋:
（1）上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點(diǎn)，一定直線；一個定值
（2）定義中的隱含條件：焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上，若F在上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與的一條直線.
（3）拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化.
知識點(diǎn)二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：
根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式
，，，。
知識點(diǎn)詮釋：
①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸時，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開口方向與一次項的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點(diǎn)在軸上，且開口向負(fù)方向（向下）
③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項的系數(shù)是焦點(diǎn)的對應(yīng)坐標(biāo)的4倍.
④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開口方向定型），然后求一次項的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論.
⑤在求拋物線方程時，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來，不要遺漏某一種情況。
知識點(diǎn)三：拋物線的簡單幾何性質(zhì)：
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)
范圍：，，
拋物線y2=2px（p＞0）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。
對稱性：關(guān)于x軸對稱
拋物線y2=2px（p＞0）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。
頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)
拋物線y2=2px（p＞0）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）。
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比
知識點(diǎn)詮釋：
（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點(diǎn)、一個頂點(diǎn)、一條對稱軸，一條準(zhǔn)線；
（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.
【典例例題】
題型一：拋物線的定義
【例1】（2023·高二課時練習(xí)）若P為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則以|PF|為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相離
C．相切D．不確定
【答案】C
【解析】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)，作軸、軸分別交軸于點(diǎn)，
由拋物線的定義，可得，
又由梯形的中位線的性質(zhì)，可得，
所以以為直徑的圓與軸相切.
故選：C.

【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為點(diǎn)到軸的距離為，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，
拋物線的準(zhǔn)線為.
所以到拋物線準(zhǔn)線的距離為，即點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為.
故選：C
【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·浙江臺州·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是C上一點(diǎn)，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】依題意知，焦點(diǎn)，
由定義知：，
所以，所以．
故選：C.
【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·四川德陽·高二四川省廣漢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）拋物線的方程為，拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】依題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，而點(diǎn)在拋物線上，則，
所以點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為.
故選：B
【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽實(shí)驗高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5的點(diǎn)在C上，，則（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】D
【解析】依題意，拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
顯然有，所以.
故選：D
題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】（2023·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)準(zhǔn)線方程是；
(2)過點(diǎn)；
(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.
【解析】（1）由準(zhǔn)線方程為知拋物線的焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且，
則，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）點(diǎn)在第二象限，
設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，
將點(diǎn)代入，得，解得，
所以拋物線方程為；
將點(diǎn)代入，得，解得，
所以拋物線方程為．
綜上所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
（3）由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或或或．
【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·陜西西安·高二西北大學(xué)附中校考階段練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．
(1)經(jīng)過點(diǎn)．
(2)焦點(diǎn)為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．
【解析】（1）①設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)代入方程得：，解得：，
所以拋物線方程為，即，所以，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
②設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)代入方程得：，解得：，
所以拋物線方程為，即，所以，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
綜述：①拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
②拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
（2）因為，令得，即，令得，即，
①當(dāng)焦點(diǎn)為時，，則，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為.
②當(dāng)焦點(diǎn)為時，，則，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為.
綜述：①拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
②拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下，分別求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程：
(1)；
(2)．
【解析】（1）由拋物線方程為，可得，且焦點(diǎn)在軸正半軸上，
所以可得其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；
（2）將化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，
可得，且焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，
所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.
【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·高二課時練習(xí)）求焦點(diǎn)在x軸正半軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】由題意，拋物線的開口向右，設(shè)方程為，
將代入拋物線方程可得，
，
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·高二單元測試）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）經(jīng)過點(diǎn)；
（2）焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是6.
【解析】（1）當(dāng)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為時，將點(diǎn)代入，得，即所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為時，將點(diǎn)代入，得，即所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
（2）由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，知.
又焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
題型三：拋物線的綜合問題
【例3】（2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過焦點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中垂線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，求.
【解析】（1）因為拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，
根據(jù)建系方案的不同，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種可能，
分別是，，，.
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的位置并不影響的取值，因此不妨取拋物線的方程為，此時焦點(diǎn)，
根據(jù)題意，直線的斜率存在且不為，因此設(shè)直線的方程為，
與拋物線聯(lián)立，得關(guān)于的一元二次方程，
則，設(shè)、，
則，，，
，
則，
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，中垂線方程為，
令，解得，即中垂線與軸交于，
所以，則.

【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知圓S：，點(diǎn)P是圓S上的動點(diǎn)，T是拋物線的焦點(diǎn)，Q為PT的中點(diǎn)，過Q作交PS于G，設(shè)點(diǎn)G的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過的直線l交曲線C于點(diǎn)M，N，若在曲線C上存在點(diǎn)A，使得四邊形OMAN為平行四邊形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．
【解析】（1）圓S：，即，
由題意得，，，是的中垂線，所以，
所以，
所以點(diǎn)G的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為，焦距為，
則，得，所以曲線C的方程為.

（2）由題意知，直線l的斜率不為0，設(shè)，，，設(shè)與交于點(diǎn).
聯(lián)立，得，
當(dāng)時，，則，
所以，
因為是中點(diǎn)，所以，
因為在曲線C：上，
所以，
化簡得，，
得或（舍），所以，
所以直線l的方程為，
即或.

【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且.
(1)求拋物線方程；
(2)求面積的最小值.
【解析】（1）設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)，
聯(lián)立得，顯然，所以，
因為，
所以，即，
化簡得，代入得
解得，
所以拋物線方程為
（2）因為直線過定點(diǎn)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取得最小值為
【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C：過點(diǎn)．
(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
(2)過該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長度．
【解析】（1）∵過點(diǎn)，
∴，解得，
∴拋物線C：，準(zhǔn)線方程為；
（2）由（1）知，拋物線焦點(diǎn)為，
設(shè)直線AB：，，，
由，得：，則，
則．
【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知動點(diǎn)與點(diǎn)的距離與其到直線的距離相等.
(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；
(2)求點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最小值，并指出此時的坐標(biāo).
【解析】（1）由題意知動點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，
所以動點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線，
因此動點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）設(shè)，
由兩點(diǎn)間的距離公式得：，
當(dāng)，即時，，
即當(dāng)或時，點(diǎn)與點(diǎn)的距離最小，最小值為.
題型四：軌跡方程
【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，且曲線上的任意一點(diǎn)P都滿足．則曲線的軌跡方程為_______________.
【答案】
【解析】設(shè)，由題設(shè)有，
整理得到，
故.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·高三課時練習(xí)）已知點(diǎn)F（1，0），直線，若動點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線l的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程是______.
【答案】
【解析】根據(jù)拋物線定義可知，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線上，
所以，，拋物線方程為.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）動點(diǎn)在曲線上移動，則點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是__________.
【答案】
【解析】設(shè)，點(diǎn)P和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則,又，∴，
代入得，，
∴，即點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是，
故答案為∶．
【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P和點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡方程為_____________．
【答案】
【解析】由題意，
由得，
化簡得．
故答案為：．
【對點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·北京海淀·高二北京市十一學(xué)校校考期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)A是直線上一個動點(diǎn)，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點(diǎn)A作y軸的垂線交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為______．
【答案】
【解析】如圖，由垂直平分線的性質(zhì)可得，符合拋物線第一定義，拋物線開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，點(diǎn)P的軌跡方程為.
故答案為：
【對點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·四川·高二雙流中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知動圓M與直線相切，且與定圓C：外切，那么動圓圓心M的軌跡方程為_______.
【答案】
【解析】方法一：由題意知，設(shè)，
則，
，
解得.
方法二：由題意知，動點(diǎn)M到的距離比到的距離多1，
則動點(diǎn)M到的距離與到的距離相等，
根據(jù)拋物線的定義，為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)，
設(shè)拋物線為，，，
故.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的動點(diǎn)，線段PB的中點(diǎn)E在y軸上，且AE垂直PB，則點(diǎn)P的軌跡方程為______．
【答案】
【解析】設(shè)，，則．由點(diǎn)E在y軸上，得，則，即．又，若，則，即．若，則，此時點(diǎn)P，B重合，直線PB不存在．所以點(diǎn)P的軌跡方程是．
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，且為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線，
設(shè)拋物線的方程為，
可知，解得，
所以該拋物線方程是，
故答案為：
題型五：拋物線的幾何性質(zhì)
【例5】（2023·高二課時練習(xí)）拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6，則該點(diǎn)的橫坐標(biāo)是__________．
【答案】1或9
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，對稱軸為軸，
設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意可得，，則，
即，解得或，
因為，所以或.
故答案為：1或9.
【對點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·高二課時練習(xí)）一個正三角形的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，其中一個頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則這個三角形的面積為__________．
【答案】
【解析】設(shè)等邊三角形，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上，與軸的交點(diǎn)為，如圖所示，

由圖可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則，
則，即，
因為，
所以，解得或（不合題意舍去），
則，
所以，
故答案為：．
【對點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則__________.
【答案】
【解析】由拋物線，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為，
設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，
可得，則的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
因為線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可得，解得，
又由拋物線的定義可得.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線在第一象限上一點(diǎn)，滿足，為該拋物線的焦點(diǎn)，則直線的斜率為______.
【答案】
【解析】由題意作圖如下：過引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
則，所以，
在中，，所以，
所以.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·山東德州·高二統(tǒng)考期末）如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．當(dāng)水位下降，水面寬為6米時，拱頂?shù)剿娴木嚯x為______米．
【答案】4.5/
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，
將代入，得，所以．
設(shè)，代入，得．
所以拱橋到水面的距離為．
故答案為：4.5.
【對點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，若，則直線的斜率___________.
【答案】
【解析】設(shè)，直線
與拋物線聯(lián)立得，即；
，
因為，所以，
所以，代入可得
即，，
所以
故答案為：
【對點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·陜西漢中·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€：經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，則______
【答案】4
【解析】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
因為點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，
由拋物線定義可得到的距離為4，
所以，
所以.
故答案為：4.
題型六：拋物線中的范圍與最值問題
【例6】（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（3，6），點(diǎn)Q在拋物線上，則的最小值為______．
【答案】
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，
過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，
所以.當(dāng)且僅當(dāng)與準(zhǔn)線垂直時，取等號.
所以的最小值為.

故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為______.
【答案】7
【解析】依題意，如圖所示：
其中，準(zhǔn)線，
由拋物線的定義知：，
要使取得最小值，只需點(diǎn)移動到點(diǎn)時，
三點(diǎn)共線時取得最小值，
此時準(zhǔn)線，
所以的最小值為：.
故答案為：7.
【對點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)在圓上，則的最小值為__________.
【答案】3
【解析】設(shè)，因為點(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等，
所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，即；
設(shè)圓的圓心為，則，
，僅當(dāng)x=6時等號成立，
所以，即.
故答案為：3.
【對點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·湖南衡陽·高二校考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線內(nèi)側(cè)一點(diǎn)，為上的一動點(diǎn)，的最小值為，則______.
【答案】3
【解析】根據(jù)題意畫圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
由拋物線的定義可知，，由于為上的一動點(diǎn)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時即，
則，解得.
故答案為：3.
【對點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·河北邢臺·高二邢臺一中?？计谀┮阎c(diǎn)分別是拋物線和圓上的動點(diǎn)，到的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，則，
圓的圓心為，半徑為
所以.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練30】（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線：的準(zhǔn)線為，若M為上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】由題意知，，
∴拋物線：.
設(shè)，由題意知，
則，
當(dāng)時，取得最小值8，
∴的最小值為.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·浙江寧波·高二效實(shí)中學(xué)?？计谥校佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)且不在直線上，則△周長的最小值為______．
【答案】/
【解析】由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線為，由拋物線定義：等于到準(zhǔn)線的距離，而，
∴要使△周長的最小，只需到準(zhǔn)線的距離等于，即在過點(diǎn)且垂直于準(zhǔn)線的直線上，
此時，.
故答案為：
題型七：焦半徑問題
【例7】（2023·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線C上一點(diǎn)，若，則________．
【答案】9
【解析】由題可知，，解得．
故答案為：9
【對點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·北京·高二北京師大附中?？计谥校┤魭佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在此拋物線上且橫坐標(biāo)為，則________.
【答案】
【解析】設(shè)，由題意可知 ，則，
故答案為：6
【對點(diǎn)訓(xùn)練33】（多選題）（2023·山西大同·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，，則下列說法中正確的是（ ）
A．當(dāng)與軸垂直時，最小B．
C．以弦為直徑的圓與直線相離D．
【答案】ABD
【解析】

如圖，設(shè)直線為，
聯(lián)立，
得，即，
所以，，
故D正確，
，
將代入得，
故當(dāng)時，取得最小值，此時直線與軸垂直，故A正確，
，
代入，，
得，故B正確，
設(shè)的中點(diǎn)為，則以弦為直徑的圓的圓心為，半徑為
分別過作拋物線的垂線，垂足分別為,
由拋物線的定義知，，
則,
故以弦為直徑的圓與直線相切，C錯誤，
故選：ABD
【對點(diǎn)訓(xùn)練34】（多選題）（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由題可知，
因為點(diǎn)在拋物線上，且，
所以，
解得，
所以，
故選：BD.
【對點(diǎn)訓(xùn)練35】（多選題）（2023·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，則（ ）
A．的準(zhǔn)線為B．的大小可能為
C．的最小值為8D．
【答案】ACD
【解析】由題意得，，則的準(zhǔn)線為，故A正確；
,設(shè)
，整理得，，
所以，
，
，
所以，故B錯誤；
，
當(dāng)時，的最小值為8，故C正確；
∵，
∴，故D正確.
故選：ACD.
【對點(diǎn)訓(xùn)練36】（多選題）（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若，則直線的傾斜角可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】如圖，作于，則，作于，則，
在中，，
又，所以，即直線的傾斜角為，
同理，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，直線的傾斜角為．

故選： AC.
【對點(diǎn)訓(xùn)練37】（多選題）（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且，直線交于另一點(diǎn)，記坐標(biāo)原點(diǎn)為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】依題意，拋物線C的準(zhǔn)線為，
因為為C上一點(diǎn)，且，則，
解得，故A正確；
可得拋物線C:，焦點(diǎn)為，
因為A為C上一點(diǎn)，則4，所以 ，故B錯誤；
若，則線的方程為，
代入，得，整理得，解得或，
因為B與A分別在x軸的兩側(cè)，可得；
同理：若，可得；
綜上所述：或，故C錯誤；
若，則，則；
同理：若，可得；
故D正確；
故選：AD.
【對點(diǎn)訓(xùn)練38】（多選題）（2023·湖北·高二宜昌市三峽高級中學(xué)校聯(lián)考期中）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．的最小值為4
C．對任意的直線，D．以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切
【答案】BD
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，A選項錯誤；
拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，故的最小值為4，B選項正確；
由題意，直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，則，C選項錯誤；
如圖所示，的中點(diǎn)為M，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，可知以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，D選項正確.
故選：BD
【對點(diǎn)訓(xùn)練39】（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知拋物線：，圓：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，分別為、上的動點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】因為拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，所以圓心即為拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)，
∴，∴.
∵，
∴，，
∴，∴.
故答案為：
【對點(diǎn)訓(xùn)練40】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多，記點(diǎn)的軌跡為．直線與軌跡恰好有兩個公共點(diǎn)，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，則，即，
整理可得：，；
記，，
當(dāng)時，與有且僅有一個交點(diǎn)，與無交點(diǎn)，與有且僅有一個交點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時：，
由得：；
由得：，即，則；
①當(dāng)，即或時，與有一個交點(diǎn)，
與有且僅有一個交點(diǎn)，，解得：或；
②當(dāng)，即時，與無交點(diǎn)，
與有兩個不同交點(diǎn)，，解得：，；
綜上所述：的取值范圍為.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練41】（2023·山東濟(jì)南·高二濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校考期中）拋物線與圓交于A、B兩點(diǎn)，圓心，點(diǎn)為劣弧上不同于A、的一個動點(diǎn)，平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則的周長的取值范圍是______．
【答案】
【解析】∵圓交，拋物線，
∴圓心也是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，
過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，

故的周長，
由可得，
又圓與軸正半軸交于，
所以，
又因為，
所以的取值范圍為，
所以的周長的取值范圍為.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練42】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角，點(diǎn)A在x軸上方，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，，如圖，
設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是，則有，由拋物線定義知，
于是得，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，
因此，即有，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的方程為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意，結(jié)合圖形可知，，由于該拋物線開口向右，可設(shè)，即，解得，于是.
故選：B
2．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線C：過點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線方程為（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【解析】拋物線C：過點(diǎn)，則，解之得，
則拋物線C方程為，則C的準(zhǔn)線方程為
故選：B
3．（2023·高二課時練習(xí)）已知是拋物線上的三點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且，則（ ）
A．
B．
C．
D．與的大小關(guān)系不確定
【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
由拋物線的定義及，得，
所以.
故選：B
4．（2023·高二課時練習(xí)）拋物線上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意，
在拋物線中，
準(zhǔn)線方程，
∵到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離，
∴，解得：，
∴拋物線方程為：，
故選：A.
5．（2023·云南昆明·高二統(tǒng)考期中）圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為圓心在拋物線上，
所以設(shè)圓心為，
又因為圓與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切，
所以，解得，
所以圓心為，半徑為，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，即，
故選：A．
6．（2023·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上的一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)，，
，
或（舍去），
，
到拋物線的準(zhǔn)線的距離，
點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離，
點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為．
故選：C.
7．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
設(shè)點(diǎn)、在直線上的射影點(diǎn)分別為、，如圖所示：

設(shè)，因為為線段的中點(diǎn)，，，則，
所以，，
由拋物線的定義可得，，
所以，，
所以，，
因為軸，則，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，，
所以，，
又因為，可得，
故.
故選：A.
8．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的面積為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，所以，所以，
所以，又，所以4），
即，又，
所以，解得或，所以，
又因為，
點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積.

故選：.
二、多選題
9．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由題可知，
因為點(diǎn)在拋物線上，且，
所以，
解得，
所以，
故選：BD.
10．（2023·高二單元測試）拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A．其焦點(diǎn)坐標(biāo)是
B．其焦點(diǎn)坐標(biāo)是
C．其準(zhǔn)線方程是
D．其準(zhǔn)線方程是
【答案】AC
【解析】由，得，
故準(zhǔn)線方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故A，C正確，B，D錯誤，
故選：AC
11．（2023·湖北·高二宜昌市三峽高級中學(xué)校聯(lián)考期中）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．的最小值為4
C．對任意的直線，D．以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切
【答案】BD
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，A選項錯誤；
拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，故的最小值為4，B選項正確；
由題意，直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，則，C選項錯誤；
如圖所示，的中點(diǎn)為M，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，可知以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，D選項正確.
故選：BD
12．（2023·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）若直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，則的可能取值為（ ）
A．2B．C．D．0
【答案】BD
【解析】聯(lián)立，消去可得，
∵直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，
或.
故選：BD.
三、填空題
13．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，則點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為________．
【答案】4
【解析】由題意可得，，P縱坐標(biāo)為，由其解析式可得P橫坐標(biāo)為，
由拋物線定義知.
故答案為：4
14．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（3，6），點(diǎn)Q在拋物線上，則的最小值為______．
【答案】
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，
過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，
所以.當(dāng)且僅當(dāng)與準(zhǔn)線垂直時，取等號.
所以的最小值為.

故答案為：.
15．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則實(shí)數(shù)的值為_________．
【答案】2
【解析】是拋物線的焦點(diǎn)，
，準(zhǔn)線方程，
設(shè)，
， ，
線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為， 即.
故答案為：2.

16．（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)?？计谥校┰O(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為該拋物線上三點(diǎn),若為的重心，則_________
【答案】12
【解析】設(shè)三角形的三個頂點(diǎn)，
由條件可知，,
根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式，可得，所以，
根據(jù)拋物線的定義，可得
所以，
故答案為：12.
四、解答題
17．（2023·高二課時練習(xí)）分別求符合下列條件的拋物線方程:
(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,且過點(diǎn);
(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.
【解析】（1）由題意,方程可設(shè)為或,
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得或,
∴或,
∴所求的拋物線方程為或.
（2）由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,可知,
∴所求拋物線方程為或或或.
18．（2023·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為4．
(1)求實(shí)數(shù)p的值；
(2)若過點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．
【解析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)知：P到焦點(diǎn)的距離等于P到準(zhǔn)線的距離， ，解得：；
（2）由（1）知拋物線，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，
顯然直線l斜率不為0，設(shè)直線l為：，，
聯(lián)立直線與拋物線方程：，得：，
則，，則
所以 ，解得，
所以直線l為：或；
綜上， ，直線l為：或.
19．（2023·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）已知動圓過定點(diǎn)，且與直線：相切，圓心的軌跡為．
(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過點(diǎn)作傾斜角為的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，求．
【解析】（1）設(shè)，由動圓過定點(diǎn)，且與直線：相切，
，整理得，
故動點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）設(shè)，，直線的方程為，
則由，整理得,
．
20．（2023·上海靜安·高二上海市新中高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，太陽灶是一種將太陽光反射至一點(diǎn)用來加熱水或食物的設(shè)備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分（如圖2），盛水或食物的容器放在拋物線的焦點(diǎn)處，該容器由6根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐（圖中F點(diǎn)為放置容器處，其余6個焊點(diǎn)在鏡口圓上）．已知鏡口圓的直徑為，鏡深．
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作點(diǎn)，試求支撐容器的架子所用鐵筋的總長度（單位）．
【解析】（1）如圖，
在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，
使反光鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，x軸垂直于鏡口直徑．由已知，得A點(diǎn)坐標(biāo)是，
設(shè)拋物線方程為，則，解得，
則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，
焦點(diǎn)坐標(biāo)是.
（2）因為盛水的容器在焦點(diǎn)處，所以A、F兩點(diǎn)間的距離即為每根鐵筋長，
所以每根鐵筋長為，
所以架子所用鋼筋總長度為.
21．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.
(1)過點(diǎn)且斜率為2的直線與曲線交于兩個不同的點(diǎn)、，求線段的長；
(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離.
【解析】（1）已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，
所以曲線的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
其標(biāo)準(zhǔn)方程為①，
因為過點(diǎn)且斜率為2的直線與曲線交于兩個不同的點(diǎn)、，
則直線的方程為②，
聯(lián)立①②，消去并整理得，
設(shè)點(diǎn)，，由韋達(dá)定理得，
此時；
（2）不妨設(shè)點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，
則點(diǎn)到直線的距離，
易知當(dāng)時，，
故曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離為．

22．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線l過點(diǎn)F且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，交直線l于點(diǎn)M，求證為定值．
【解析】（1）因為，所以，拋物線，
（2）由（1）知，，
設(shè)直線，代入，得，
恒成立，
設(shè)，，
則，，
所以線段的中點(diǎn)，
線段的垂直平分線為，
令，得，則，
所以，
，
所以（定值）.

圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
頂點(diǎn)
O（0，0）
范圍
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
對稱軸
x軸
y軸
焦點(diǎn)
離心率
e=1
準(zhǔn)線方程
焦半徑

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