題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系
題型二：求兩圓的交點
題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)
題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長
題型五：圓的公切線條數(shù)
題型六：圓的公切線方程
題型七：圓系問題
【知識點梳理】
知識點一：圓與圓的位置關(guān)系
1、圓與圓的位置關(guān)系：
（1）圓與圓相交，有兩個公共點；
（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個公共點；
（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒有公共點．
2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：
（1）代數(shù)法：
判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．
有兩組不同的實數(shù)解時，兩圓相交；
有一組實數(shù)解時，兩圓相切；
方程組無解時，兩圓相離．
（2）幾何法：
設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．
當時，兩圓相交；
當時，兩圓外切；
當時，兩圓外離；
當時，兩圓內(nèi)切；
當時，兩圓內(nèi)含．
知識點詮釋：
判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運算量?。部衫么鷶?shù)法，但是利用代數(shù)法解決時，一是運算量大，二是方程組僅有一解或無解時，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時，一般不用代數(shù)法．
3、兩圓公共弦長的求法有兩種：
方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．
方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．
4、兩圓公切線的條數(shù)
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．
（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；
（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；
（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；
（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；
（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．
【典例例題】
題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系
【例1】（2023·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習）圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切
【對點訓(xùn)練1】（2023·山東日照·高二?？茧A段練習）兩圓和的位置關(guān)系是（ ）
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切
【對點訓(xùn)練2】（2023·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)?？茧A段練習）設(shè)圓，圓，則圓，的位置（ ）
A．內(nèi)切B．相交C．外切D．外離
題型二：求兩圓的交點
【例2】（2023·全國·高二專題練習）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點的圓的方程為（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【對點訓(xùn)練3】（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谀┢矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，P為圓C1：上的動點，過點P引圓：的切線，切點為T，則滿足的點P有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)
【例3】（2023·高二課時練習）若圓與圓外切，則＝（ ）
A．21B．19C．9D．
【對點訓(xùn)練4】（2023·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)校考期中）若，，且，則r的取值范圍是（ ）
A．(0，]B．(0，1]C．(0，]D．[0，2]
【對點訓(xùn)練5】（2023·貴州黔東南·高二凱里一中校考期末）已知圓與圓有兩個交點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長
【例4】（2023·福建福州·高二福建省福州高級中學(xué)?？计谥校﹫A：與圓：的公共弦長為________.
【對點訓(xùn)練6】（2023·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學(xué)校考期末）圓與圓的公共弦所在直線方程為___________.
【對點訓(xùn)練7】（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谀﹫A與圓的公共弦所在直線的方程為________．
【對點訓(xùn)練8】（2023·全國·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）圓與圓的公共弦長為______．
題型五：圓的公切線條數(shù)
【例5】（2023·高二課時練習）已知兩圓，，當圓與圓有且僅有兩條公切線時，則的取值范圍________.
【對點訓(xùn)練9】（2023·廣東·高二統(tǒng)考期末）已知點，，為平面上的動直線，點A，B到直線的距離分別為1，3，則這樣的直線有______條．
【對點訓(xùn)練10】（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)?？计谀┢矫嬷苯亲鴺讼祪?nèi)，點到直線的距離分別為4和9，則滿足條件的直線有__________條.
【對點訓(xùn)練11】（2023·湖北襄陽·高二襄陽四中?？奸_學(xué)考試）圓與圓的公切線共有__________條
題型六：圓的公切線方程
【例6】（2023·江西南昌·高二?？茧A段練習）如圖，圓和圓的圓心分別為、，半徑都為，寫出一條與圓和圓都相切的直線的方程：_________
【對點訓(xùn)練12】（2023·河南·高二臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程：__________．
【對點訓(xùn)練13】（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀懗雠c圓和都相切的一條直線的方程__________．
題型七：圓系問題
【例7】過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是_______．
【對點訓(xùn)練14】已知圓與圓相交于A、B兩點．
（1）求公共弦AB所在直線方程；
（2）求過兩圓交點A、B，且過原點的圓的方程．
【對點訓(xùn)練15】已知圓．求證：對任意不等于的實數(shù)，方程是通過兩個已知圓交點的圓的方程．
【對點訓(xùn)練16】已知圓和圓．
（1）求證：兩圓相交；
（2）求過點，且過兩圓交點的圓的方程．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·高二課時練習）若圓與圓有公共點，則滿足的條件是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）在坐標平面內(nèi)，與點距離為，且與點距離為的直線共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
3．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相交C．內(nèi)含D．外離
4．（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓外切，則實數(shù)（ ）
A．－1B．1C．1或4D．4
6．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（ ）
A．5B．3C．2D．1
7．（2023·高二課時練習）若兩圓和圓相交，則a的取值范圍是（ ）
A．B．或
C．D．或
8．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知點是圓上的一點，過點作圓的切線，則切線長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）已知圓的方程為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該圓的面積為B．點在該圓內(nèi)
C．該圓與圓相離D．直線與該圓相切
10．（2023·甘肅蘭州·高二蘭大附中?？茧A段練習）已知圓和圓，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓與圓外切
B．直線與圓相切
C．直線被圓所截得的弦長為2
D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10
11．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）設(shè)，圓與圓的位置關(guān)系可能是（ ）
A．內(nèi)切B．相交C．外切D．外離
12．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，則下列說法正確的是（ ）
A．圓C的半徑為18
B．圓C截x軸所得的弦長為
C．圓C與圓相外切
D．若圓C上有且僅有兩點到直線的距離為1，則實數(shù)m的取值范圍是
三、填空題
13．（2023·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.
14．（2023·高二課時練習）到點、的距離分別為和的直線有________條．
15．（2023·四川資陽·高二四川省資陽中學(xué)?？计谥校┮阎獔A與圓恰有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍________．
16．（2023·高二單元測試）已知圓和圓的公共弦所在直線恒過定點M，且點M在直線 上，則的最小值為_____.
四、解答題
17．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期中）已知圓C的圓心為，且與直線相切．
(1)求圓C的方程；
(2)求圓C與圓的公共弦的長．
18．（2023·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學(xué)?？计谀┻^點可以作兩條直線與圓相切，切點分別為
(1)求實數(shù)的取值范圍.
(2)當時，存在直線嗎？若存在求出直線方程，若不存在說明理由.
19．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習）如圖，圓，點為直線上一動點，動點P引圓M的兩條切線，切點分別為A、B．
(1)若，求兩條切線所在的直線方程；
(2)求線段AB的最小值；
(3)求直線AB的方程，并寫出直線AB所經(jīng)過的定點的坐標．
20．（2023·福建莆田·高二莆田一中?？计谀?）已知圓與圓.證明圓與圓相交；并求兩圓公共弦所在直線的方程；
（2）求圓心既在第一象限又在直線上，與x軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程.
21．（2023·山東東營·高二統(tǒng)考期末）已知圓C與圓M：相外切，且圓心C與點關(guān)于直線l：對稱．
(1)求圓C的標準方程；
(2)求經(jīng)過點圓C的切線的方程．
22．（2023·湖南衡陽·高二衡陽市一中?？茧A段練習）已知兩個定，，動點滿足.設(shè)動點的軌跡為曲線，直線：.
(1)求曲線的軌跡方程；
(2)若與曲線交于不同的C，D兩點，且（O為坐標原點），求直線的斜率；
(3)若，Q是直線上的動點，過Q作曲線E的兩條切線QM，ON，切點為M，N，探究：直線MN是否過定點，若有，請求出該定點，否則說明理由.

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