題型一：異面直線所成的角
題型二：線面角
題型三：二面角
題型四：距離問題
題型五：體積問題
【知識點梳理】
知識點1、求點線、點面、線面距離的方法
（1）若P是平面外一點，a是平面內(nèi)的一條直線，過P作平面的垂線PO，O為垂足，過O作OA⊥a，連接PA，則以PA⊥a．則線段PA的長即為P點到直線a的距離（如圖所示）．
（2）一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫直線與平面的距離．
（3）求點面距離的常用方法：①直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個直角三角形來求解．
②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解．
③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解．
知識點2、異面直線所成角的常用方法
求異面直線所成角的一般步驟：
（1）找（或作出）異面直線所成的角——用平移法，若題設(shè)中有中點，常考慮中位線．
（2）求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．
（3）結(jié)論——設(shè)（2）所求角大小為θ．若，則θ即為所求；若，則即為所求．
知識點3、直線與平面所成角的常用方法
求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟
（1）確定斜線與平面的交點（斜足）；
（2）通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；
（3）求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形．
知識點4、作二面角的三種常用方法
（1）定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖①，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角．

（2）垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．
（3）垂線法：過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線，垂足為B，由點B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則為二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖③，為二面角的平面角．
知識點5、求體積的常用方法
選擇合適的底面，再利用體積公式求解．
【典例例題】
題型一：異面直線所成的角
【例1】（2023·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，平面，底面是邊長為的正方形，，為的中點，為的中點．

(1)求證：平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值．
【對點訓(xùn)練1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┤鐖D，三棱錐中，平面平面ACD，，，，點為棱AD的中點，．
(1)求證：平面平面BCD；
(2)求異面直線AB與CE所成角的余弦值．
【對點訓(xùn)練2】（2023·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級中學(xué)?？计谥校┰诶忾L為2的正方體中，分別為棱和的中點.
(1)證明：平面；
(2)求異面直線與所成的余弦值；
題型二：線面角
【例2】（2023·河南·高一校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱中，為等邊三角形，，，．

(1)證明：平面平面；
(2)求直線和平面所成角的正弦值．
【對點訓(xùn)練3】（2023·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，在直三棱柱中，．

(1)證明：為直角三角形．
(2)若為等腰三角形，且，求與側(cè)面所成角的正弦值．
【對點訓(xùn)練4】（2023·吉林長春·高一長春市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在直三棱柱中，.

(1)求證：；
(2)求與平面所成的角的大小.
題型三：二面角
【例3】（2023·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AA1，B1C1的中點．
(1)求證：平面C1BD；
(2)若DC1⊥BD，AC＝BC＝1，AA1＝2，求二面角B﹣DC1﹣C的正切值．
【對點訓(xùn)練5】（2023·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，圓錐PO的母線長為，底面圓O的直徑AB＝2，C是圓O所在平面內(nèi)一點，AC與圓O相切，連接BC交圓O于點D，連接PD，PC，CO，DO．
(1)證明：平面PAC；
(2)若，求二面角的正切值．
【對點訓(xùn)練6】（2023·廣東茂名·高一統(tǒng)考期中）如圖，三棱錐中，平面，，，，是的中點，是的中點，點在棱上，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
題型四：距離問題
【例4】（2023·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.

(1)證明：平面：
(2)若，求點到平面的距離.
【對點訓(xùn)練7】（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐，四邊形正方形，平面．，，點是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【對點訓(xùn)練8】（2023·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，，分別是，的中點.
(1)求證：平面；
(2)若，，，求點到平面的距離.
題型五：體積問題
【例5】（2023·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，平面是的中點.

(1)證明：面
(2)證明：平面平面；
(3)求三棱錐的體積.
【對點訓(xùn)練9】（2023·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，且．

(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求三棱錐的體積．
【對點訓(xùn)練10】（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）如圖，圓錐的底面半徑，母線的長為3，為上靠近的一個三等分點，從點拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點.

(1)求繩子的最短長度；
(2)過點作一個與底面平行的截面，將圓錐分為上、下兩部分，其體積分別為，，求.
【真題演練】
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（ ）

A．B．
C．D．
3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．2D．3
5．（多選題）（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（ ）．
A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為
C．D．的面積為
6．（多選題）（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．
8．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺中，若面，分別是中點.

(1)求證：//平面；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；
(3)求點到平面的距離．
9．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
10．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，求四棱錐的高．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·海南·高一海南華僑中學(xué)校考期末）如圖所示，四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．
B．平面SCD
C．直線SA與平面SBD所成的角等于
D．直線SA與平面SBD所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.
2．（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）小明為了加強(qiáng)體育鍛煉，提高身體素質(zhì)，從網(wǎng)上購買了一對大小相同的健身啞鈴.啞鈴是由兩個全等的大圓柱和中間一個連桿圓柱構(gòu)成的，已知大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，則一只健身啞鈴的體積為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·廣東深圳·高一校聯(lián)考期中）如圖，已知為正方體，則異面直線與所成角為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正方體的八個頂點中，有四個頂點A，，C，恰好是正四面體的頂點，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D一，矩形中，，交對角線于點，交于點．現(xiàn)將 沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下列判斷一定成立的是（ ）

A．B．平面
C．平面D．平面平面
7．（2023·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點D，與BC交于點E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則（ ）

A．B．C．D．
8．（2023·江蘇無錫·高一輔仁高中?？计谀┧睦馀_中，其上、下底面均為正方形，若，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，則該棱臺的體積為（ ）
A．224B．448C．D．147
二、多選題
9．（2023·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中正確的有（ ）

A．
B．平面
C．與平面所成角是
D．與所成的角等于與所成的角
10．（2023·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面ABCD中，，且，下列說法正確的是（ ）

A．該圓臺軸截面面積為
B．該圓臺的體積為
C．該圓臺的表面積為
D．沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為
11．（2023·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱雉中，平面，底面為矩形，且，則（ ）

A．平面平面B．點到平面的距離為
C．二面角的正切值為D．若平面與平面的交線為直線，則
12．（2023·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點M為側(cè)棱上的動點（包括端點），平面．下列說法正確的有（ ）
A．異面直線AM與可能垂直
B．直線BC與平面可能垂直
C．AB與平面所成角的正弦值的范圍為
D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為
三、填空題
13．（2023·安徽黃山·高一屯溪一中?？计谥校┤鐖D中，，在三角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C，M，交BC于點N），則圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為__________．

14．（2023·福建三明·高一校聯(lián)考期中）在正方體中，直線與所成的角是__________.
15．（2023·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知在矩形ABCD中，，，M為邊BC的中點，將，分別沿著直線AM，MD翻折，使得B，C兩點重合于點P，則點P到平面MAD的距離為______．

16．（2023·江蘇徐州·高一徐州市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在長方形中，，是的中點，沿AE將向上折起，使到的位置，且平面平面，則直線與平面所成角的大小為____.

四、解答題
17．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）如圖，斜三棱柱中，D，分別為AC，上的點．

(1)當(dāng)時，求證平面；
(2)若平面平面，求的值，并說明理由．
18．（2023·浙江寧波·高一效實中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點.

(1)證明：平面；
(2)設(shè)直線與底面所成角的正切值為，，，求直線與平面所成角的正弦值.
19．（2023·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）臺州黃巖被譽(yù)為“模具之鄉(xiāng)”，為市場對球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其內(nèi)壁恰好是球體的表面，且內(nèi)壁與棱柱的每一個面都相切（內(nèi)壁厚度忽略不計），店家可以將不同口味的冰淇淋放入該模具中，再通過按壓的方式得到球形冰淇淋。已知該模具底部邊長為3cm．

(1)求內(nèi)壁的面積；
(2)求制作該模具所需材料的體積；
(3)求模具頂點到內(nèi)壁的最短距離．
20．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點，，．

(1)求證：平面；
(2)求二面角平面角的大小.
21．（2023·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體的棱長均相等，，點分別是棱的中點．
(1)求證：平面；
(2)求直線與底面所成角的正弦值．

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