蘇教版高二數(shù)學(xué)寒假講義第13講雙曲線（十大題型）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：雙曲線的定義、條件
題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：雙曲線的綜合問(wèn)題
題型四：軌跡方程
題型五：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
題型六：求雙曲線的離心率
題型七：求雙曲線離心率的取值范圍
題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍
題型九：雙曲線中的范圍與最值問(wèn)題
題型十：焦點(diǎn)三角形
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義
在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；
2、若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；
3、若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；
4、若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；
5、若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；
2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中
橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件
方程Ax2+By2=C可化為，即，
所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線．
當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；
當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
3、當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式．此時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．
4、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．
5、雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．
6、對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．
知識(shí)點(diǎn)三：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；
②定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程．
知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
雙曲線（a＞0，b＞0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
范圍
雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的．因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x≤-a或x≥a．
對(duì)稱性
對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時(shí)換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心．
頂點(diǎn)
①雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)．
②雙曲線（a＞0，b＞0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為
A1（-a，0），A2（a，0），頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)．
③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸．實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a(chǎn)叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)．
①雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．
②雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上．
③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線．
離心率
①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．
②因?yàn)閏＞a＞0，所以雙曲線的離心率．
由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開(kāi)口大小，越大，e也越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊．所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開(kāi)口的大小程度．
③等軸雙曲線，所以離心率．
漸近線
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是．
我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永不相交．
知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較
知識(shí)點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．
對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．
知識(shí)點(diǎn)五：雙曲線的漸近線
（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：
若雙曲線方程為，則其漸近線方程為
已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．
（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：
若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．
（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線
與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）
（4）等軸雙曲線的漸近線
等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為．
知識(shí)點(diǎn)六：雙曲線中a，b，c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．
雙曲線，如圖：
（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距，
（2）離心率：；
（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；
【典例例題】
題型一：雙曲線的定義、條件
【例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于的點(diǎn)的軌跡是（）
A．雙曲線B．兩條射線C．一條線段D．一條直線
【答案】B
【解析】如圖：
設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，
則若在線段（不包含兩端點(diǎn)）上，有；
若在直線外，有；
若在線段的延長(zhǎng)線上或線段的反向延長(zhǎng)線上（均包含兩端點(diǎn)），
則有.
故選：B
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)的軌跡（）
A．橢圓B．直線C．雙曲線D．兩條射線
【答案】D
【解析】因?yàn)?，?br>故的軌跡是已、為端點(diǎn)的兩條射線，
故選：D.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）
A．雙曲線B．雙曲線左支
C．雙曲線右支D．一條射線
【答案】C
【解析】因?yàn)?的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差為2，
又因?yàn)椋?br>所以由雙曲線的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是雙曲線右支．
故選：C
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·四川成都·高二成都實(shí)外校考階段練習(xí)）方程所表示的曲線是（）
A．圓的一部分B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分D．直線的一部分
【答案】C
【解析】方程兩邊平方后可整理出雙曲線的方程，由于的值只能取大于等于1的數(shù)，推斷出方程表示的曲線為雙曲線的一部分．兩邊平方，
可變?yōu)椋?br>即，
表示的曲線為雙曲線的一部分；
故選：C．
題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】（2023·廣東揭陽(yáng)·高二惠來(lái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解答下列兩個(gè)小題：
(1)雙曲線：離心率為，且點(diǎn)在雙曲線上，求的方程；
(2)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【解析】（1）雙曲線半焦距為c，由離心率，得，即，
又，即，
雙曲線的方程即為，點(diǎn)坐標(biāo)代入此方程得，解得．
所以雙曲線的方程為．
（2）依題意，設(shè)橢圓方程為：，
因?yàn)闄E圓的焦距為，則橢圓的半焦距，即有，又橢圓過(guò)點(diǎn)，
因此，整理得：，解得：，則，
所以橢圓方程為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求與雙曲線有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】設(shè)所求雙曲線的方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，
因此，所求雙曲線的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·四川成都·高二?？计谥校┣鬂M足下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10的橢圓方程；
(2)已知雙曲線的漸近線方程為，焦距為10．
【解析】（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
又橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和是10，故，
∴，又∵，
∴，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸時(shí)，可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸時(shí)，可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高二單元測(cè)試）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為，其離心率；
(2)漸近線方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(3)雙曲線：離心率為，且點(diǎn)在雙曲線上，求的方程；
(4)雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，且雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
由題知：，解得，
所以雙曲線方程為：；
（2）由漸近線方程為，
設(shè)雙曲線方程為：，
將代入，
解得，
所以雙曲線方程為：；
（3）由，得，即，
又，即，
雙曲線的方程即為，
點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
解得，
所以雙曲線的方程為；
（4）橢圓的焦點(diǎn)為，
則，
設(shè)雙曲線的方程為，
所以，且，
所以，，
所以雙曲線的方程為.
題型三：雙曲線的綜合問(wèn)題
【例3】（2023·新疆喀什·高二校考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F?，F(xiàn)?，動(dòng)點(diǎn)M滿足|| MF? | -| MF?|| =4.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程：
(2)已知點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，當(dāng)點(diǎn)M與A，B不重合時(shí)，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k?，k?，證明:為定值.
【解析】（1）由橢圓知：

所以左、右焦點(diǎn)分別為
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M滿足|| MF? | -| MF?|| =4
所以動(dòng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)方程為：
由雙曲線的定義得：
所以
所以動(dòng)點(diǎn)設(shè)方程為：
（2）設(shè)
則
由
所以
所以.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·江蘇徐州·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知雙曲線．
(1)設(shè)F是C的左焦點(diǎn)，M是C右支上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2)設(shè)斜率為的直線l交C于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，求證：．
【解析】（1）由雙曲線，可得，
∴，設(shè)，則，
∴，
∴，
又M是C右支上一點(diǎn)，故，
∴，
即；
（2）設(shè)直線PQ的方程為，因直線PQ與已知圓相切，
故，即，
由，得，
設(shè)、，則，
又，
所以
，
所以．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知點(diǎn)?依次為雙曲線（，）的左?右焦點(diǎn)，且，.
(1)若，以為法向量的直線經(jīng)過(guò)，求到的距離；
(2)設(shè)雙曲線經(jīng)過(guò)第一?三象限的漸近線為，若直線與直線垂直，求雙曲線的離心率.
【解析】（1）由題意，，，則，，直線的方程為.
所以，點(diǎn)到的距離為.
（2）由題意，，，其中，，則直線的斜率.
雙曲線的一條漸近線，其斜率為.
因?yàn)橹本€與直線垂直，所以.
代入可得，，又因?yàn)?，所以?br>兩邊同除以，可得，解得.
又因?yàn)?，所?
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·四川資陽(yáng)·高二?？计谥校┮阎p曲線C：的焦距為4，且過(guò)點(diǎn).
(1)求雙曲線方程；
(2)若直線與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.
【解析】（1）由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)為和，
根據(jù)定義有．
，又，所以，，．
所求雙曲線的方程為．
（2）因?yàn)殡p曲線的方程為，所以漸近線方程為；
由，消去整理得．
①當(dāng)即時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，符合題意；
②當(dāng)即時(shí)，由，解得，
此時(shí)直線雙曲線相切于一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意．
綜上所述：符合題意的的所有取值為，．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（多選題）（2023·安徽合肥·高二?？计谀┮阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，則下列結(jié)論正確的是（）
A．該雙曲線的離心率為
B．若，則的面積為
C．點(diǎn)到兩漸近線的距離乘積為
D．直線和直線的斜率乘積為
【答案】ACD
【解析】由雙曲線方程得，，，雙曲線的離心率為，A正確；
若，不妨設(shè)，，，B錯(cuò)誤；
設(shè)，則，，漸近線方程為，
點(diǎn)到兩漸近線的距離乘積為，C正確；
，，，D正確；
故選：ACD
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（多選題）（2023·湖北十堰·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且，共焦點(diǎn)，，，，的離心率分別為，，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．，B．
C．若，則D．若，則的最小值為2
【答案】BC
【解析】依題意，，解得，A不正確；
令，由余弦定理得：，
因?yàn)樵跈E圓中，在雙曲線中，，
所以，故B選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，即，
所以，，故C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，，有，
因?yàn)椋?br>所以，，解得，D不正確；
故選：BC
題型四：軌跡方程
【例4】（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】由知，
點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線下支，
得，，
，，
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．
故答案為：．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·上海浦東新·高二?？计谀┮阎S上兩點(diǎn)，則平面內(nèi)到這兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為8的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______
【答案】
【解析】由題，動(dòng)點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸為的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為：
，右焦點(diǎn)為，則，
故.則雙曲線方程為：.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與圓外切，
所以，，，
所以，
所以，由雙曲線的定義得的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的右支，
因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)為，
所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，即
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·河北石家莊·高二河北新樂(lè)市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）已知圓M與圓C1：和圓C2：一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】當(dāng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切時(shí)，，，
當(dāng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切時(shí)，，，
所以，點(diǎn)的軌跡為雙曲線，設(shè)軌跡方程為，，，則，所以軌跡方程為.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·遼寧本溪·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的方程為，其左?右頂點(diǎn)分別為，一條垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】由題意知，
設(shè)直線為，，
由三點(diǎn)共線及三點(diǎn)共線，
得，
兩式相乘化簡(jiǎn)，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·浙江杭州·高二杭州四中?？计谀┓▏?guó)數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：雙曲線的兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡方程為：，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A.若某雙曲線對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為，則___________.
【答案】2
【解析】由雙曲線的方程可得，
由蒙日?qǐng)A的定義可得雙曲線對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程，所以，即，
可得.
故答案為：2.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·廣西百色·高二階段練習(xí)）設(shè)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)____________．
【答案】
【解析】設(shè)，，
則，即，
又，則，
整理得，
即點(diǎn)M的軌跡方程為.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，圓，點(diǎn)，動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)F，且與圓E內(nèi)切于點(diǎn)M，則動(dòng)圓P的圓心P的軌跡方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】圓的方程為，圓心為，半徑．
設(shè)動(dòng)圓圓心為，
動(dòng)圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，
，
的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，其中，得，
而，，
故所求軌跡方程為．
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·高二單元測(cè)試）已知雙曲線，、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，是的平分線，過(guò)作的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)______．
【答案】
【解析】延長(zhǎng)，交于，因?yàn)椋?br>，所以，所以，
所以，
因?yàn)镸是雙曲線C右支上一點(diǎn)，所以，
又因?yàn)镻是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，所以，
所以P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2的圓的一部分，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為．
故答案為：.
題型五：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
【例5】（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的左?右頂點(diǎn)和原點(diǎn)把線段四等分，則該雙曲線的焦距為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】因?yàn)槭请p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的左?右頂點(diǎn)和原點(diǎn)把線段四等分，
所以，即，即，
又因?yàn)椋?br>解得，所以c=2，
所以該雙曲線的焦距為.
故選：D
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，
由于焦點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.
故選：C.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的方程為，
因?yàn)?，所以，則，
所以漸近線方程為.
故選：C.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市八中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為12，則雙曲線C的焦距為（）
A．30B．24C．15D．12
【答案】A
【解析】依題意，右焦點(diǎn)到漸近線的距離，解得，
所以雙曲線C的焦距為30.
故選：A.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】雙曲線的漸近線方程為：，
又；
故選：A.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·四川瀘州·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的漸近線方程為（）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，得，則，
即，所以雙曲線的漸近線方程為，
即.
故選：D.
題型六：求雙曲線的離心率
【例6】（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為3，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由題意雙曲線方程為C：，可知，，
右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其中一條漸近線的方程為，
故右焦點(diǎn)到該漸近線的距離，所以，
所以，
故答案為：．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線的左支上存在一點(diǎn)，使得與雙曲線的一條漸近線垂直于點(diǎn)，且，則此雙曲線的離心率為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為：
，，
一條漸近線方程為，
可得到漸近線的距離為，，
則，，
在直角三角形中，，
在中，可得
，
化為，即有.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·湖北·高二鄖陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作．該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，設(shè)該雙曲線的方程為，右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________．
【答案】/
【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，連接，設(shè)，則，
由雙曲線的定義可得，
由于，則,又，則四邊形為矩形，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
在中，由勾股定理得，即，
．
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則雙曲線的離心率為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】由題知，過(guò)作軸于，則，
，
，解得，
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·四川德陽(yáng)·高二四川省廣漢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的左右焦點(diǎn)別為和，其右支上存在一點(diǎn)P滿足，且的面積為3，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】由雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積，
所以，，
則，
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·天津·高二校聯(lián)考期末）已知圓與雙曲線的漸近線相切，且圓心到雙曲線左頂點(diǎn)的距離為，則該雙曲線的離心率是__________．
【答案】2
【解析】由，得圓心為，半徑為，
設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，
則雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
又圓與該雙曲線的漸近線相切，所以圓心到漸近線的距離為半徑，
所以圓心即雙曲線的右焦點(diǎn)，即.
雙曲線左頂點(diǎn)為，由題意得，
由，得，解得，
所以該雙曲線的離心率是.
故答案為：2.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2023·北京東城·高二北京市第五中學(xué)?？计谥校╇p曲線C：的漸近線與直線交于A，B兩點(diǎn)，且，那么雙曲線C的離心率為_(kāi)___.
【答案】
【解析】由雙曲線的方程可得，且漸近線的方程為：，
與聯(lián)立可得，所以，
由題意可得，解得，又，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F為圓心，OF為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點(diǎn)，若的面積等于2，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】如圖，設(shè)以F為圓心，OF為半徑的圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，過(guò)F作交OA于點(diǎn)M，則M為OA的中點(diǎn)，
因?yàn)镺A為雙曲線的漸近線，其方程為，即，
所以，所以，，
所以的面積為，
所以，所以雙曲線的離心率，
故答案為：．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)雙曲線 (a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為該雙曲線上一點(diǎn)且2|PF1|＝3|PF2|，若∠F1PF2＝60°，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】因?yàn)?|PF1|＝3|PF2|，
所以由雙曲線的定義知，|PF1|－|PF2|＝2a，
故|PF1|＝6a，|PF2|＝4a．
在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acs60°，化簡(jiǎn)整理得到，故．
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線與圓相切，且，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】如圖，設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)M，則，，
取的中點(diǎn)N，連接，
由，可得，
則，，
可得，且為的中點(diǎn)，
則，
故，即有，
由雙曲線的定義可得，即，則，
可得，即，解得，即．
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34】（2023·陜西安康·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，C上一點(diǎn)到軸的距離為，，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.
【答案】/
【解析】設(shè)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，，，則，在中，
由余弦定理得，即，即.
∴的面積為，化簡(jiǎn)得，
同除以可得，解得（負(fù)的舍去）
故答案為：
題型七：求雙曲線離心率的取值范圍
【例7】（2023·貴州黔東南·高二凱里一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，若過(guò)右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，
要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，
需使雙曲線的漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即，即，由，
得，整理得，所以，
因?yàn)殡p曲線中，所以雙曲線的離心率的范圍是，
故答案為：．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練35】（2023·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí)）雙曲線與直線無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍為_(kāi)______．
【答案】
【解析】雙曲線的漸近線方程為，
若雙曲線與直線無(wú)公共點(diǎn)，
等價(jià)為雙曲線的漸近線的斜率，即，
即，即，即，則，則，
，離心率滿足，
即雙曲線離心率的取值范圍是.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練36】（2023·河南駐馬店·高二?？茧A段練習(xí)）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn).若雙曲線上存在一點(diǎn)使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】
如圖所示，，所以，所以，
又因?yàn)椋?，即?br>所以離心率，
所以雙曲線的離心率的取值范圍為，
故答案為: .
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練37】（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】聯(lián)立方程，消去x得：
所以，即，解得，
設(shè)，則可得，
取雙曲線的左焦點(diǎn)為，連結(jié)，由對(duì)稱性知四邊形為平行四邊形，
由可得，
∵，則，
∴，則
即，整理得，解得，
綜上可得：.
故雙曲線的離心率的取值范圍是.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練38】（2023·遼寧錦州·高二?？计谥校┮阎p曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線右支上，滿足，，又直線：與雙曲線的左、右兩支各交于一點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是______.
【答案】
【解析】因?yàn)?，故?br>由雙曲線定義可得，
由勾股定理知：，
整理得，，
又，，，
故，，
解得，
直線：與雙曲線的左、右兩支各交于一點(diǎn)，
則直線的斜率，
所以，
所以.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練39】（2023·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？计谥校┮阎行脑谠c(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別是F?、F?，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF?F?是以PF?為底邊的等腰三角形，若|PF?|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e?、e?，則e?e?的取值范圍是_____.
【答案】．
【解析】設(shè)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，
則，，
在第一象限，則，∴，
，，，，又，∴，
∴，
，
，則，．
故答案為：．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練40】（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)______________.
【答案】
【解析】由題可知雙曲線的漸近線方程為，
由于過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，
則，
因此，，又，
所以，該雙曲線的離心率為取值范圍是.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練41】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若雙曲線上存在一點(diǎn)滿足以為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】由題意，，又，
則，即，得，
∴，所以，
所以，即的取值范圍是．
故答案為：．
題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍
【例8】（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，若C的離心率為，則的值為_(kāi)_____．
【答案】3
【解析】由及雙曲線的定義可得，
所以，，因?yàn)椋谥校?br>由余弦定理可得，
即，所以，
即，解得或（舍去）.
故答案為：3
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練42】（2023·江蘇·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為_(kāi)____________
【答案】
【解析】因?yàn)楸硎倦p曲線的方程，
所以有，因此，
因?yàn)椋?br>所以由
，
即k的取值范圍為，
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練43】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，則，，，
所以，，解得.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練44】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若雙曲線的離心率不大于，則C的虛軸長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br>所以，所以，解得，
則，故虛軸長(zhǎng).
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練45】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】由題意，社區(qū)向的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，且焦點(diǎn)在y軸上，
可得＝，則＝＝，整理得＝，解得＝，
所以，所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練46】（2023·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，則點(diǎn)到的漸近線的距離為_(kāi)_____.
【答案】3
【解析】由題意，雙曲線的離心率為2，
即，解得，
所以雙曲線的一條漸近線的方程為，即，
所以點(diǎn)到的漸近線的距離為.
題型九：雙曲線中的范圍與最值問(wèn)題
【例9】（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考期末）若點(diǎn),在雙曲線的漸近線上,且的面積為1（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)______.
【答案】2
【解析】解:由題知雙曲線方程為,
所以雙曲線漸近線為,
故兩條漸近線斜率之積為-1,
即兩漸近線垂直,
故為直角三角形,
記,
所以,
因?yàn)槿切蔚拿娣e為1,
所以,
即,
解得,
因?yàn)?br>,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,
故長(zhǎng)度的最小值為2.
故答案為:2
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練47】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)雙曲線C：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)A是C右支上的一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.
【答案】8
【解析】由雙曲線C：，可得，，
所以，所以，，由雙曲線的定義可得，
所以，所以，
由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，
所以，記，
設(shè)，則，
所以，即在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)A為雙曲線的右頂點(diǎn)（1，0）．
故答案為：8．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練48】（2023·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市八中?？计谥校┮阎p曲線的方程為，如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則的最小值為_(kāi)______．
【答案】/
【解析】雙曲線的方程為，則，雙曲線焦點(diǎn)為、，
，圓心為，半徑為，
則，
當(dāng)、、共線時(shí)，等號(hào)成立；
又，
當(dāng)、、共線時(shí)，等號(hào)成立，
的最小值為，
故答案為:．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練49】（2023·福建福州·高二福建省福州第二中學(xué)校考期末）有一凸透鏡其劑面圖（如圖所示）是由橢圓和雙曲線的實(shí)線部分組成，已知兩曲線有共同焦點(diǎn)M，N，動(dòng)點(diǎn)A，B分別在左右兩部分實(shí)線上運(yùn)動(dòng)，則△ANB周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____________
【答案】
【解析】由題意，雙曲線，可得，
根據(jù)雙曲線的定義可得，即，
又由橢圓，可得，
根據(jù)橢圓的定義可得，所以，
所以周長(zhǎng)為,
故周長(zhǎng)的最小值為，其中三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練50】（2023·北京·高二期中）已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)M到A的距離比到B的距離多2，則動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為_(kāi)__________.
【答案】4
【解析】點(diǎn)，，且動(dòng)點(diǎn)M到A的距離比到B的距離多2，
所以，
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右側(cè)一支，
則動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和，
當(dāng)且僅當(dāng)M，A，C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為4.
故答案為：4.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練51】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為．若已知點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，則的最小值是______．
【答案】3
【解析】由題意，可知，∴，∴雙曲線的方程為．
由，得，
∴．
又或，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，為3．
故答案為：3.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練52】（2023·江西宜春·高二上高二中?？计谀┦请p曲線的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________．
【答案】9
【解析】由題意，圓的圓心為，半徑為2，的圓心為，半徑為1，故雙曲線焦點(diǎn)即為兩圓圓心.
所以的最大值即：的最大值減去的最小值. 的最大值為，的最小值為，根據(jù)雙曲線的定義可得兩者相減得.
故答案為：9
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練53】（2023·廣西桂林·高二桂林中學(xué)?？计谥校┮阎本€與雙曲線的左、右支各有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由，可得，
依題意有，
解得.
故答案為：.
題型十：焦點(diǎn)三角形
【例10】（2023·安徽滁州·高二?？计谀┤糁本€與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】聯(lián)立方程得,①
若直線與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn)，則方程①有兩個(gè)不等的負(fù)根.
所以
解得.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練54】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，則△的面積為_(kāi)___.
【答案】16
【解析】雙曲線，所以，，所以，，

是雙曲線左支上的點(diǎn)，，，
在△中，由余弦定理得，
，
△的面積為.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練55】（2023·上海普陀·高二?？计谥校c(diǎn)為雙曲線上的點(diǎn)，、為左、右焦點(diǎn)，若，則的面積是__．
【答案】
【解析】由題意得，，且，
由余弦定理得
，
所以,
所以的面積,
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練56】（2023·江蘇泰州·高二靖江高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C與雙曲線E：有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)M是橢圓C與雙曲線E的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦半距為.
令，
，即
因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線E上，所以即,
，即
又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以，即.
因?yàn)闄E圓C與雙曲線E：有相同的焦點(diǎn)，，
所以，，所以橢圓方程為.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練57】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)分別是雙曲線的下、上焦點(diǎn)，若點(diǎn)是雙曲線下支上的點(diǎn)，且，則的面積為_(kāi)_______.
【答案】16
【解析】因?yàn)槭请p曲線下支上的點(diǎn)，所以，兩邊平方得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cs ∠F1PF2==0，
所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練58】（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎?，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，，則______．
【答案】/
【解析】，，則，，，
.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練59】（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線的焦點(diǎn)為，，過(guò)左焦點(diǎn)交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn)，若則等于________.
【答案】8
【解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)
過(guò)左焦點(diǎn)交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn)，
則，
又,
則
故答案為：8
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為，且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題可得，解得，
因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選:C.
2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）方程＋＝1表示的曲線是（）
A．焦點(diǎn)為點(diǎn)(－3,0)與(3,0)，離心率為的橢圓
B．焦點(diǎn)為點(diǎn)(0,－3)與(0,3)，離心率為的橢圓
C．焦點(diǎn)為點(diǎn)(－3,0)與(3,0)，離心率為的橢圓
D．焦點(diǎn)為點(diǎn)(0,－3)與(0,3)，離心率為的橢圓
【答案】B
【解析】由方程可知，它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且a＝5，b＝4，∴c＝3，
所以橢圓的焦點(diǎn)為F1(0,－3)，F(xiàn)2(0,3)，離心率為．
故選：B.
3．（2023·江西·高二校聯(lián)考期中）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】方程表示雙曲線,則，解得或，
故選：D
4．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)M在雙曲線的右支上，滿足軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且，則離心率（）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】，設(shè)M點(diǎn)為，代入，解得，
又，
故，則，即，即，
又，解得．
故選：C．
5．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？计谀┮阎p曲線的離心率e是它的一條漸近線斜率的2倍，則e=（）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】由題意可知，，即，
則，解得：，
所以雙曲線的離心率.
故選：C
6．（2023·安徽滁州·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則（）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
由雙曲線定義得:
即，
解得（舍去）或，
故選：A.
7．（2023·陜西漢中·高二?？计谥校┰O(shè)雙曲線C的方程為，直線l過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．若雙曲線C的一條漸近線與直線l平行，另一條漸近線與直線l垂直，則雙曲線C的方程為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題可知，直線的方程為，即直線的斜率為，
又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，
因?yàn)?，解得?br>故選：D．
8．（2023·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，
設(shè)，則點(diǎn)到漸近線的距離.
由雙曲線的定義可得，故，
所以，即的最小值為，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故選：A.

二、多選題
9．（2023·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市一中?？计谀┤?，則方程可以表示下列哪些曲線（）
A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓
【答案】ABD
【解析】當(dāng)時(shí)，，方程表示雙曲線，
當(dāng)時(shí)，方程為，即，表示兩條直線，
當(dāng)時(shí)，，方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，
當(dāng)時(shí)，，方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，
當(dāng)時(shí)，，方程表示圓.
故選：ABD
10．（2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，左、右焦點(diǎn)為，為雙曲線上一點(diǎn)，則下列正確的是（）
A．離心率為B．漸近線方程為
C．虛軸長(zhǎng)為4D．若，則
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，已知雙曲線，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，所以漸近線方程為，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C，虛軸長(zhǎng)，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，由定義可知，若，
則或（舍），D選項(xiàng)正確；
故選：BCD.
11．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期中）定義：以雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線，以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的有（）
A．與共軛的雙曲線是
B．互為共軛的雙曲線漸近線不相同
C．互為共軛的雙曲線的離心率為，則
D．互為共軛的雙曲線的4個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上
【答案】CD
【解析】對(duì)于A，根據(jù)共軛雙曲線的定義可知，與共軛的雙曲線是，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，的漸近線方程為，
的漸近線方程也為，二者相同，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由題意可得，
故，
由于，故，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；
對(duì)于D，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
其共軛雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
顯然這4個(gè)焦點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，D正確，
故選：CD
12．（2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中學(xué)校考期中）已知雙曲線：與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn).若，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的方程為
C．若，則的內(nèi)切圓面積為
D．過(guò)點(diǎn)與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線有3條
【答案】ACD
【解析】

如圖，設(shè)、與的內(nèi)切圓分別相切與兩點(diǎn)，
所以，且，
因?yàn)?br>，可得，
雙曲線：與橢圓的焦點(diǎn)相同，
所以，可得，所以雙曲線的離心率為，故A錯(cuò)誤；
所以雙曲線的方程為，故B正確；
對(duì)于C，若，設(shè)，則，，
由可得，解得，
可得，
由得，
解得，即內(nèi)切圓的半徑為，
則的內(nèi)切圓面積為故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線與軸垂直時(shí)，其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立
，可得，即直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立
可得，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)可得直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)即時(shí)，由得
，可得，此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；
綜上所述，過(guò)點(diǎn)與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線有4條，故D錯(cuò)誤；
故選：ACD.
三、填空題
13．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的兩條漸近線的夾角的余弦值為_(kāi)_____.
【答案】/0.6
【解析】雙曲線的兩條漸近線為，直線的傾斜角為，，，
所以兩條漸近線的夾角的余弦值為．
故答案為：．
14．（2023·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)，則的焦距為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，故可設(shè)雙曲線的方程為：，
把點(diǎn)代入雙曲線方程可得，
所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，
所以，，，，
所以雙曲線的焦距為．
故答案為：．
15．（2023·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）點(diǎn)是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)做圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，則的最小值為_(kāi)___________.
【答案】
【解析】由題知：設(shè)，，則，
由于是直角三角形，且，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，

則
，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
故答案為:.
16．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知直線與離心率為的雙曲線的一條漸近線平行，則所有可能取的值之和為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由離心率為可得，解得：，
則的漸近線為，
則m可能取的值為，和為0.
故答案為：0．
四、解答題
17．（2023·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┣鬂M足下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)焦點(diǎn)在軸上，焦距是16，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】（1）由題意得：，，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以橢圓方程為：；
（2）依題意，又，所以，所以，
由于雙曲線焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
18．（2023·高二單元測(cè)試）若雙曲線C：上一點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的點(diǎn)，若，求的面積.
【解析】（1）令分別是左右焦點(diǎn)，則，得，
雙曲線的方程為，將點(diǎn) 代入上式，得：
，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由雙曲線的幾何性質(zhì)知：，
，解得，
在△中，，
設(shè)與的夾角為，由余弦定理得：，
；
綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，△的面積為 .
19．（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，右頂點(diǎn)為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程.
【解析】（1）雙曲線的一條漸近線為，故焦點(diǎn)到直線的距離為，所以，又，
所以雙曲線方程為
（2）由題知，直線的斜率必存在.
設(shè)直線方程為：
聯(lián)立，消y得
①當(dāng)時(shí)，上述方程只有一解，符合題意，
所以；
②當(dāng)時(shí)，為使上述方程只有一解即，
，
化解得：，所以，
所以.
綜上，直線方程為：或.
20．（2023·湖南湘潭·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.
【解析】（1）由題意得：，，，
解得：，，，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，
設(shè)直線的方程為，，，，，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
則，
原點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
解得或，故或，
故直線方程為或
21．（2023·重慶璧山·高二重慶市璧山來(lái)鳳中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為．
(1)寫出雙曲線的漸近線方程；
(2)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由已知有，，所以，
所以雙曲線方程為，或，漸近線方程為
（2）設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
聯(lián)立，消去得，
由已知，因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)，
所以解得，
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
22．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，右焦點(diǎn)到的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，求的面積.
【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，
因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，所以，解得.
因?yàn)橛医裹c(diǎn)到的距離為，所以，解得或.
因?yàn)?，所?可得，
所以雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，，
聯(lián)立直線和雙曲線可得，
即，或
不妨設(shè)，，所以.
所以.
即的面積為
橢圓
雙曲線
根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a
根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2（b＞0）
0＜a＜c，
c2－a2=b2（b＞0）
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì)
焦點(diǎn)
，
，
焦距
范圍
，
，
對(duì)稱性
關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱
頂點(diǎn)

軸
實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=
離心率
漸近線方程

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