題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型二：圓的一般方程
題型三：點與圓的位置關(guān)系
題型四：軌跡問題
題型五：二元二次曲線與圓的關(guān)系
題型六：圓過定點
題型七：與圓有關(guān)的對稱問題
【知識點梳理】
知識點一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
，其中為圓心，為半徑．
知識點詮釋：
（1）如果圓心在坐標(biāo)原點，這時，圓的方程就是．有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標(biāo)軸相切時：；過原點：
（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點．
（3）標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法．
知識點二：點和圓的位置關(guān)系
如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有
（1）若點在圓上
（2）若點在圓外
（3）若點在圓內(nèi)
知識點三：圓的一般方程
當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．
知識點詮釋：
由方程得
（1）當(dāng)時，方程只有實數(shù)解．它表示一個點．
（2）當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．
（3）當(dāng)時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．
知識點四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟
求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：
（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．
（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組．
（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．
知識點五：軌跡方程
求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．
1、當(dāng)動點滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時，常采用直接法；當(dāng)動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當(dāng)動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關(guān)點法）．
2、求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點或線等．
3、求軌跡方程的步驟：
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點的坐標(biāo)；
（2）列出關(guān)于的方程；
（3）把方程化為最簡形式；
（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；
（5）作答．
【典例例題】
題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【對點訓(xùn)練1】（2023·福建漳州·高二校聯(lián)考期中）已知圓C的圓心在直線上，且過點和，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【對點訓(xùn)練2】（2023·高二課時練習(xí)）已知圓的圓心在軸上，半徑長為，且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【對點訓(xùn)練3】（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┮阎粋€圓的方程滿足：圓心在點，且過原點，則它的方程為（ ）
A．B．
C．D．
題型二：圓的一般方程
【例2】（2023·高二課時練習(xí)）過三點的圓的一般方程為（ ）
A．B．
C．D．
【對點訓(xùn)練4】（2023·高二課時練習(xí)）求以為圓心，且經(jīng)過點的圓的一般方程（ ）
A．B．
C．D．
【對點訓(xùn)練5】（2023·高二課時練習(xí)）當(dāng)為任意實數(shù)時，直線恒過定點，則以為圓心，為半徑的圓的一般方程為（ ）
A．B．
C．D．
題型三：點與圓的位置關(guān)系
【例3】（2023·高二課時練習(xí)）點與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．點在圓上B．點在圓內(nèi)C．點在圓外D．不確定
【對點訓(xùn)練6】（2023·全國·高二專題練習(xí)）點與圓的位置關(guān)系是（ ）．
A．點在圓上B．點在圓內(nèi)C．點在圓外D．不能確定
題型四：軌跡問題
【例4】（2023·高二課時練習(xí)）已知線段AB的端點B的坐標(biāo)為，端點A在圓C：上運動，求線段AB的中點P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．
【對點訓(xùn)練7】（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)校考期末）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.
(1)求圓的方程；
(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.
【對點訓(xùn)練8】（2023·高二課時練習(xí)）如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【對點訓(xùn)練9】（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知點，，動點滿足，點的軌跡為曲線C.
(1)求此曲線的方程.
(2)若點Q在直線：上，點為曲線C上的動點，求的最小值.
題型五：二元二次曲線與圓的關(guān)系
【例5】（2023·河南許昌·高二禹州市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程表示圓，則實數(shù)a的可能取值為（ ）
A．B．2C．0D．
【對點訓(xùn)練10】（2023·陜西·高二?？茧A段練習(xí)）若方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【對點訓(xùn)練11】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
題型六：圓過定點
【例6】（2023·高二課時練習(xí)）點是直線上任意一點，是坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（ ）
A．和B．和C．和D．和
【對點訓(xùn)練12】（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校θ我鈱崝?shù)，圓恒過定點，則定點坐標(biāo)為__．
【對點訓(xùn)練13】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為_______
題型七：與圓有關(guān)的對稱問題
【例7】（2023·廣東廣州·高二?？计谀┮阎獔A關(guān)于直線對稱，則___________.
【對點訓(xùn)練14】（2023·湖北十堰·高二校聯(lián)考期中）點在圓上，且點關(guān)于直線對稱，則該圓的半徑是__________.
【對點訓(xùn)練15】（2023·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谥校┮阎獔A與圓關(guān)于直線對稱，則直線方程______．
【對點訓(xùn)練16】（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）圓關(guān)于直線對稱，則實數(shù)________．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┓匠瘫硎疽粋€圓，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·高二課時練習(xí)）已知圓，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高二課時練習(xí)）兩圓和的圓心連線方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·高二課時練習(xí)）若點是圓的弦的中點，則弦所在的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期中）已知點P在圓 上，則點P到x軸的距離的最大值為（ ）
A．2B．3C．D．
6．（2023·高二單元測試）圓關(guān)于直線對稱的圓是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·云南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過圓的圓心，其中，則的最小值為（ ）
A．7B．8C．9D．12
8．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知點，，，點P在圓上運動，則的最大值為（ ）
A．88B．77C．66D．55
二、多選題
9．（2023·高二課時練習(xí)）下列方程不是圓的一般方程的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·廣東惠州·高二惠州一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)有一組圓，下列說法正確的是（ ）
A．這組圓的半徑均為1
B．直線平分所有的圓
C．存在直線被所有的圓，截得的弦長相等
D．存在一個圓與x軸和y軸均相切
11．（2023·湖南郴州·高二?？计谥校﹫A（ ）
A．關(guān)于點對稱B．半徑為
C．關(guān)于直線對稱D．關(guān)于直線對稱
12．（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓和點，，若C上存在點P，使得，則m的可能值是（ ）
A．4B．7C．2D．8
三、填空題
13．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期末）曲線所圍成平面區(qū)域的面積為______．
14．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若表示圓，則實數(shù)的值為______.
15．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點在圓上運動，則線段AP的中點的軌跡方程是______．
16．（2023·高二課時練習(xí)）過圓外一點作圓的兩條切線，切點A、B，則的外接圓的方程是________．
四、解答題
17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）寫出圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內(nèi)？
18．（2023·高二課時練習(xí)）已知圓C的半徑為，圓心在直線上，且過點，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
19．（2023·高二單元測試）已知圓C過點.
(1)求圓C的方程；
(2)求圓C關(guān)于直線對稱圓的方程.
20．（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學(xué)?？计谥校┣筮m合下列條件的圓的方程：
(1)圓心在直線上，且過點的圓；
(2)過三點的圓.
21．（2023·安徽阜陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點，且被直線平分.
(1)求圓的一般方程；
(2)設(shè)是圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程.
22．（2023·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）已知方程表示圓，其圓心為.
(1)求圓心坐標(biāo)以及該圓半徑的取值范圍；
(2)若，線段的端點的坐標(biāo)為，端點在圓上運動，求線段中點的軌跡方程.

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