題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行
題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定
題型三：兩條直線垂直的判定
題型四：直線平行與垂直的綜合應(yīng)用
題型五：兩直線的夾角
題型六：已知直線平行求參數(shù)
題型七：已知直線垂直求參數(shù)
【知識點(diǎn)梳理】
知識點(diǎn)一：兩條直線相交、平行與重合
1、代數(shù)方法判斷
兩條直線的位置關(guān)系，可以用方程組
的解進(jìn)行判斷（如下表所示）
2、幾何方法判斷
（1）若兩直線的斜率均不存在，則兩條直線平行．
（2）若兩直線的斜率均存在，我們可以利用斜率和在軸上的截距判斷兩直線的位置關(guān)系，其方法如下：
設(shè)，
（1）與相交；
（2）且；
（3）與重合且．
簡記表：
知識點(diǎn)二：兩條直線的垂直
1、兩條直線垂直的幾何方法判斷
2、兩條直線垂直的代數(shù)方法判斷
已知直線的方程分別是（不同時為0），（不同時為0）
（1）若
（2）若
【典例例題】
題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行
【例1】（2023·高二課時練習(xí)）過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與直線的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．以上都不對
【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）下列與直線平行的直線的方程是（ ）.
A．B．
C．D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·北京·高二人大附中校考期中）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題
①若，則斜率； ②若斜率，則；
③若，則傾斜角；④若傾斜角，則，
其中正確命題的個數(shù)是（ ）.
A．1B．2C．3D．4
題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定
【例2】（2023·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線與直線的位置關(guān)系是（ ）
A．垂直B．平行C．相交D．重合
【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯(lián)考期末）直線和直線的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合
【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·高二課時練習(xí)）以為頂點(diǎn)的四邊形是（ ）
A．平行四邊形，但不是矩形B．矩形
C．梯形，但不是直角梯形D．直角梯形
題型三：兩條直線垂直的判定
【例3】（2023·上海楊浦·高二校考期中）下列各組直線中，互相垂直的一組是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·江西九江·高二校考階段練習(xí)）與直線的垂直的直線是（ ）
A．B．C．D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·山東濰坊·高二?？计谥校┲本€，的斜率是方程的兩個根，則（ ）
A．B．
C．與相交但不垂直D．與的位置關(guān)系不確定
題型四：直線平行與垂直的綜合應(yīng)用
【例4】（2023·甘肅蘭州·高二?？奸_學(xué)考試）菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A(－4,7)，C(6,－5)，BC邊所在直線過點(diǎn)P(8,－1)．求：
(1)AD邊所在直線的方程；
(2)對角線BD所在直線的方程．
【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）的三個頂點(diǎn)分別是，，.
(1)求邊的垂直平分線所在直線方程；
(2)求內(nèi)邊上中線方程.
【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·江西宜春·高二?？奸_學(xué)考試）已知兩條直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)m為何值時，l1與l2：
(1)相交；
(2)平行；
(3)垂直．
【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．
（1）求過點(diǎn)C且與直線AB平行的直線方程，
（2）若點(diǎn)，當(dāng)實(shí)數(shù)取遍一切實(shí)數(shù)時，求直線AD傾斜角的取值范圍．
題型五：兩直線的夾角
【例5】（2023·上海奉賢·高二?？茧A段練習(xí)）直線與直線所成夾角的余弦值等于__________
【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·河南鄭州·高二校考階段練習(xí)）直線與的夾角為________．
【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·高二課時練習(xí)）直線與的夾角的大小_________．
題型六：已知直線平行求參數(shù)
【例6】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線的傾斜角為，直線的斜率為，若∥，則的值為________．
【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·云南臨滄·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線：，：.當(dāng)時，___________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知兩條直線和互相平行，則正數(shù)a的值為____.
題型七：已知直線垂直求參數(shù)
【例7】（2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為________．
【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·云南曲靖·高二宣威市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線與直線垂直，則_________．
【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·高二課時練習(xí)）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，若，則的值為________________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期末）若直線與垂直，則______．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．2或0B．1C．0D．0或
2．（2023·江蘇南通·高二期末）設(shè)，則“直線與直線平行”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件B．充要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
3．（2023·廣西南寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）直線過點(diǎn)且與直線垂直，則的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·高二課時練習(xí)）若直線與直線平行，則a的值為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·高二課時練習(xí)）直線與直線平行，則（ ）
A．2B．2或C．D．或
6．（2023·高二課時練習(xí)）經(jīng)過與的直線與直線互相垂直，則值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知，“直線與平行”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
8．（2023·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)校考期中）已知直線，動直線，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．存在，使得的傾斜角為；
B．對任意的，與都有公共點(diǎn)；
C．對任意的，與都不重合；
D．對任意的，與都不垂直；
二、多選題
9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列各直線中，與直線平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·山東濟(jì)南·高二?？计谥校┤襞c為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是，斜率分別為，則下列命題正確的是（ ）
A．若斜率，則 B．若，則
C．若傾斜角，則 D．若，則
11．（2023·浙江臺州·高二期末）已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在x軸上的截距為B．能表示過點(diǎn)的任意直線
C．若，則或D．若，則
12．（2023·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知直線，，則（ ）
A．恒過點(diǎn)B．若，則
C．若，則D．當(dāng)時，不經(jīng)過第三象限
三、填空題
13．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)共圓，那么的值是________．
14．（2023·安徽六安·高二校考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線：平行，則直線的一般式方程為_________.
15．（2023·北京西城·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，則過線段的中點(diǎn)，且與垂直的直線方程為__________.
16．（2023·江蘇連云港·高二期末）已知直線l與直線平行，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，則直線l的方程是________．
四、解答題
17．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知直線，.
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若直線在兩個坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)的值.
18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由．
(1)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)；
(2)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)．
19．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求證：四邊形為矩形．
20．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，，．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)，滿足，；
(2)若點(diǎn)在x軸上，且，求直線的傾斜角．
21．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）直線l過點(diǎn)P（3，2）且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
(1)若直線l與2x+3y﹣2＝0法向量平行，寫出直線l的方程；
(2)求△AOB面積的最小值；
(3)如圖，若點(diǎn)P分向量AB所成的比的值為2，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)M，動點(diǎn)E、F分別在線段MP和OA上，若直線EF平分直角梯形OAPM的面積，求證：直線EF必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
方程組的解
位置關(guān)系
交點(diǎn)個數(shù)
代數(shù)條件
無解
平行
無交點(diǎn)
而或
或
有唯一解
相交
有一個交點(diǎn)
或
有無數(shù)個解
重合
無數(shù)個交點(diǎn)
或
類型
斜率存在
斜率不存在
條件
對應(yīng)關(guān)系
兩直線斜率都不存在
圖示
對應(yīng)關(guān)系
與的斜率都存在，分別為，則
與中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則與的位置關(guān)系是
圖示

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