?第08講 平面上的距離
【題型歸納目錄】
題型一：中點(diǎn)公式
題型二：兩點(diǎn)距離公式
題型三：由頂點(diǎn)判斷三角形的形狀
題型四：由兩點(diǎn)距離公式求最值
題型五：點(diǎn)線距離公式
題型六：面積問題
題型七：由點(diǎn)線距離求參數(shù)
題型八：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
題型九：直線關(guān)于直線對(duì)稱
題型十：平行線間距離公式
題型十一：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
題型十二：將軍飲馬問題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：中點(diǎn)坐標(biāo)公式
若兩點(diǎn)、，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，則此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．
知識(shí)點(diǎn)二：兩點(diǎn)間的距離公式
兩點(diǎn)間的距離公式為．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
此公式可以用來求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決．另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握．
知識(shí)點(diǎn)三：點(diǎn)到直線的距離公式
點(diǎn)到直線的距離為．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離；
（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等．
知識(shí)點(diǎn)四：兩平行線間的距離
本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；
（2）利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式．
【典例例題】
題型一：中點(diǎn)公式
【例1】（2023·浙江·麗水外國(guó)語實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為________．
【答案】
【解析】由題意知：中點(diǎn)坐標(biāo)為，即．
故答案為：．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線l經(jīng)過已知點(diǎn)，且被兩條已知直線截得的線段恰以P為中點(diǎn)，求直線l的方程．
【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線，代入直線得：；代入直線得：，所以中點(diǎn)不是點(diǎn)P，當(dāng)斜率存在時(shí)，
設(shè)直線，聯(lián)立 得： ；
聯(lián)立得：，因?yàn)榻氐玫木€段恰以P為中點(diǎn)，
所以，解得：，所以直線，即：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，求線段的長(zhǎng)．
【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，，則為直角三角形，且為斜邊，
故．
題型二：兩點(diǎn)距離公式
【例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)，，則A，B兩點(diǎn)的距離為（????）
A．25 B．5
C．4 D．
【答案】B
【解析】由兩點(diǎn)間的距離公式得．
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，則為（????）
A．5 B． C． D．4
【答案】A
【解析】.
故選：A
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知點(diǎn)A、B是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（????）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由，
令，得，設(shè)；
令，得，設(shè).
所以.
故選：A
題型三：由頂點(diǎn)判斷三角形的形狀
【例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）以點(diǎn)A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點(diǎn)的三角形是（????）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
【答案】C
【解析】，
，
，
，
所以三角形是直角三角形.
故選：C
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則是（????）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】，，，
，
，，
，
是直角三角形．
故選：A．
題型四：由兩點(diǎn)距離公式求最值
【例4】（2023·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)的最小值是（????）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】，
則其幾何意義為點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和，點(diǎn)表示為橫坐標(biāo)上的點(diǎn)，作出如圖所示：

根據(jù)將軍飲馬模型，作出點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，
則，此時(shí)直線的直線方程為
令，則，故當(dāng)時(shí)，.
故選：A.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·遼寧大連·高二育明高中校考階段練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

由兩點(diǎn)之間距離公式可以得到表示點(diǎn)到的距離，表示點(diǎn)到的距離，
所以代數(shù)式表示，由圖像可知在在運(yùn)動(dòng)，所以易得關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，
連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小，最小值為.
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·北京·高二北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br /> 記點(diǎn)、、，則，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為.

故選：C.
題型五：點(diǎn)線距離公式
【例5】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是（????）
A．10 B． C． D．2
【答案】B
【解析】坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離.
故選：B
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)在直線上，為原點(diǎn)，則的最小值是（????）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】原點(diǎn)到直線的距離為，
根據(jù)垂線段的性質(zhì)可知的最小值是，
故選：A
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·福建泉州·高二校考階段練習(xí)）已知，則的最小值是（????）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】表示原點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的兩點(diǎn)間距離，
所以的最小值是原點(diǎn)到直線的距離.
故選：D
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·河南濮陽·高二?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)到直線的距離為（????）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式可得,
故選：B.
題型六：面積問題
【例6】（2023·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為___________.
【答案】8
【解析】關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；
，，，
的直線方程為，
聯(lián)立，解得，．

；
到的距離；
的面積．
故答案為：．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若過點(diǎn)作四條直線構(gòu)成一個(gè)正方形，則該正方形的面積可以為______．（寫出符合條件的一個(gè)答案即可）
【答案】(答案不唯一，也可填或)
【解析】易得四條直線的斜率都是存在的，
當(dāng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C的直線平行，過點(diǎn)B和點(diǎn)D的直線平行，且兩組平行線互相垂直時(shí)，
設(shè)過點(diǎn)A和點(diǎn)C的直線分別為：即，：即，則過點(diǎn)B和點(diǎn)D的直線分別為：即，：即，
其中和的距離與和的距離相等，即，解得，
故正方形的邊長(zhǎng)為，該正方形的面積為；
當(dāng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線平行，過點(diǎn)C和點(diǎn)D的直線平行，且兩組平行線互相垂直時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線分別為：即和：即，則過點(diǎn)C和點(diǎn)D的直線分別為：即和：即，
其中和的距離與和的距離相等，即，解得，
故正方形的邊長(zhǎng)為，該正方形的面積為；
當(dāng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D的直線平行，過點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線平行，且兩組平行線互相垂直時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A和點(diǎn)D的直線分別為：即和：即，則過點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線分別為：即和：即，
其中和的距離與和的距離相等，即，解得，
故正方形的邊長(zhǎng)為，該正方形的面積為,
故答案為：(答案不唯一，也可填或)
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·廣西梧州·高二?？奸_學(xué)考試）已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，則的面積為________．
【答案】/
【解析】
設(shè)所在直線方程為，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入可求得
，求得，，
直線的方程為，即，
點(diǎn)到直線的距離
．
故答案為：
題型七：由點(diǎn)線距離求參數(shù)
【例7】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知到直線的距離等于4，則a的值為__________．
【答案】10或
【解析】由到直線的距離等于4，
則，解得或．
故答案為：10或．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)A在直線上，且點(diǎn)A到直線的距離為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________________.
【答案】或
【解析】依題意，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
則有，解得或.
故答案為：或.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，則___________.
【答案】3或
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，
所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得：
，
解得或，
故答案為：3或
題型八：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
【例8】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則與點(diǎn)重合的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．
【答案】
【解析】依題意，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱，則折痕所在直線的方程為，
因此點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
所以與點(diǎn)重合的點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）直線恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)N坐標(biāo)為_________．
【答案】
【解析】直線，即，
當(dāng)，即時(shí)，，
故直線恒過定點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)N坐標(biāo)為，
，
，即，
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·重慶九龍坡·高二重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校?？计谀┮阎c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為__________．
【答案】
【解析】點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，即，.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·北京·高二北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______ .
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).
由已知直線的斜率為1，所以，
解得，所以點(diǎn).
故答案為：.
題型九：直線關(guān)于直線對(duì)稱
【例9】（2023·高二單元測(cè)試）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為_______________．
【答案】.
【解析】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則， 解得，即，
將代入的方程得，
所以直線的方程為.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是__.
【答案】
【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則,得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)在直線上，
所以，即.
所以所求直線方程為.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)校考期中）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為________
【答案】
【解析】設(shè)所求直線方程為，且，
直線與直線間的距離為，
則直線與直線間的距離為，又，得，
所以所求直線方程為，
故答案為：.
題型十：平行線間距離公式
【例10】（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．
【答案】3
【解析】因?yàn)橹本€與平行，
所以，解得且，
所以直線為，
直線化為，
因?yàn)閮善叫芯€間的距離為，
所以，得，
因?yàn)?br /> 所以，得，
所以，
故答案為：3
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為__________．
【答案】
【解析】依題意設(shè)直線的方程為，，
則，即，解得，
所以直線的方程為．
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥校┲本€與直線間的距離為__________
【答案】/
【解析】由直線，得，
所以，
由直線，得，
所以，
所以.
所以直線與直線平行，
所以直線與直線間的距離為
.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）若直線：與：平行，則與之間的距離為______．
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€：與：平行，
所以，解得，
所以直線：與：平行，
所以與之間的距離為.
故答案為：.
題型十一：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【例11】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為__________．
【答案】
【解析】在對(duì)稱直線上任取一點(diǎn),設(shè)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，由于在直線上，所以，即，
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥校┡c直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是_________.
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且點(diǎn)到兩直線的距離相等，
設(shè)直線為，則，解得或（舍去），
所以所求直線方程為.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是____________．
【答案】
【解析】設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)，
則關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，
又因?yàn)樵谏希?br /> 所以，即，
故答案為：.
題型十二：將軍飲馬問題
【例12】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（-3，5）和B（2，15），在直線上找一點(diǎn)P，使最小，并求這個(gè)最小值．
【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
線段的中點(diǎn)為，
所以，
解得，即，
所以的最小值為，
此時(shí)直線的方程為，
由解得，所以.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接，取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線.
(1)求直線的方程；
(2)已知兩點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)使得最小，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）因?yàn)榕c直線平行，直線的方程為，故可設(shè)直線的方程為，
由已知，過點(diǎn)作直線，交直線與點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，
因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所?又，
所以,所以，則或
，結(jié)合圖形檢驗(yàn)可得與條件矛盾，所以，故直線的方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，連接與直線交與，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，
由已知，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，聯(lián)立可得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)最小.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面上兩點(diǎn)和，在直線上求一點(diǎn)M．
(1)使最大值；
(2)使最?。?br /> 【解析】（1）若為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在直線上，
所以，得，則，
由，則，
要使最大，只需共線，.

（2）如上圖，要使最小，只需共線，
所以.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習(xí)）直線過點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(1)求直線的方程；
(2)記原點(diǎn)為，直線上有一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）由題意設(shè)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，
所以，
化簡(jiǎn)得，解得，
所以直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，，
則直線與軸交于點(diǎn)，
點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱軸分別為，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
（2）設(shè)原點(diǎn)為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，
所以，
所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
設(shè)，則，解得，即，
所以，
所以直線的方程為，即，
由，解得，即.


【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知直線，相互平行，則、之間的距離為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€，相互平行，
所以，解得，
所以，即，
所以、之間的距離.
故選：A.
2．（2023·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校校考期中）已知直線：過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：距離的最大值是（????）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由題意知，直線：恒過定點(diǎn)，
直線：恒過定點(diǎn)，如圖所示，
過作的垂線段，垂足為，
那么必有，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)取等號(hào)，
從而的最大值為，
即點(diǎn)到直線：距離的最大值是.
故選：D.

??
3．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）點(diǎn)(1,1)到直線的距離是（????）
A．1 B．2 C．
【答案】A
【解析】，
故選：A
4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）兩條平行直線與間的距離為（????）
A． B．2 C．14 D．
【答案】D
【解析】由距離公式可知，所求距離為.
故選：D
5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知到直線的距離等于3，則a的值為（????）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【解析】由距離公式可得，，即解得或.
故選：C
6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，
所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，
當(dāng)線段AB垂直直線時(shí)，線段AB最短，
由直線得其斜率為-1，
則，得，
所以的坐標(biāo)是.
故選：A
7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)C在x軸上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸上，設(shè)點(diǎn)，則，
所以，
化簡(jiǎn)可得：，所以.
故選：D.
8．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）到兩條直線與的距離相等的點(diǎn)必定滿足方程（　?。?
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由題意可得，
即，
化簡(jiǎn)得或，
故選：C
二、多選題
9．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，則下列說法正確的是（????）
A．直線與直線l相互平行 B．直線與直線l相互垂直
C．直線與直線l相交 D．點(diǎn)到直線l的距離為
【答案】ACD
【解析】因?yàn)橹本€，斜率，縱截距為，
選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€，斜率為，縱截距為，所以，，故直線相互平行，故A正確；
選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€，斜率為，所以，故直線相交但不垂直，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，由，解得，所以直線的交點(diǎn)為，故C正確；
選項(xiàng)D，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的公式知，到直線l的距離，故D正確；
故選：ACD.
10．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）下列各結(jié)論，正確的是（????）
A．直線與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，則
B．直線與直線之間的距離為
C．直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小為1
D．點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，
則，故A正確；
對(duì)于B，直線與直線之間的距離為
，故B不正確；
對(duì)于C，直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小為
原點(diǎn)到直線的距離即，故C正確；
對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離為
與點(diǎn)到直線的距離為.
所以點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等，故D正確.
故選：ACD.
11．（2023·山東濟(jì)南·高二?？计谥校┮阎?，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)的值可能為（????）
A． B．3 C． D．1
【答案】AB
【解析】因?yàn)?，兩點(diǎn)到直線的距離相等，
所以，
即，化簡(jiǎn)得，解得，
所以實(shí)數(shù)的值可能為．
故選：AB．
12．（2023·江西宜春·高二校考階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（????）
A．已知點(diǎn)，若直線與線段相交，則的取值范圍是
B．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為
C．直線方向向量為，則此直線傾斜角為
D．若直線與直線平行，則或2
【答案】BC
【解析】選項(xiàng)A，作圖如下：

直線過定點(diǎn)，若與線段相交，則，
直線的斜率，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，
所以點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，故B正確；
選項(xiàng)C，因?yàn)榉较蛳蛄繛椋瑑A斜角的正切為，又，
所以傾斜角為，故C正確；
選項(xiàng)D，由兩直線平行可得，則，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
三、填空題
13．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）傾斜角為，并且與原點(diǎn)的距離是5的直線方程為_______________．
【答案】或
【解析】因?yàn)橹本€斜率為，
可設(shè)直線方程為，即．
由直線與原點(diǎn)距離為5，得，
解得，
所以所求直線方程為或．
故答案為：或.
14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知定點(diǎn)，若直線上總存在點(diǎn)，滿足條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以可設(shè)，
由，得，
由兩點(diǎn)間的距離公式可得

整理可得，
由，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故答案為：
15．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線和直線分別過定點(diǎn)和，則|________．
【答案】
【解析】將直線的方程變形為，由，可得，即點(diǎn)，
將直線的方程變形為，
由，可得，即點(diǎn)，
所以，.
故答案為：.
16．（2023·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是______．
【答案】10
【解析】由得，故,由得,
由于直線與直線互相垂直，所以,
故所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是10
故答案為：10
四、解答題
17．（2023·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎娜齻€(gè)頂點(diǎn)，，.
(1)求直線的方程；
(2)求的面積.
【解析】（1）因?yàn)?，?br /> 所以，所以，化簡(jiǎn)可得.
（2）點(diǎn)到直線的距離，
，
則.
18．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）求滿足下列條件的直線的一般式方程：
(1)經(jīng)過直線,的交點(diǎn)P，且經(jīng)過點(diǎn)；
(2)與直線垂直，且點(diǎn)到直線的距離為．
【解析】（1）聯(lián)立，得，即，
由兩點(diǎn)式得，即.
（2）因?yàn)榕c直線垂直，所以直線的斜率為，
設(shè)直線，即，
依題意得，解得或，
所以直線的方程為或.
19．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，且∥．
(1)求的值；
(2)求兩平行線與之間的距離．
【解析】（1）因?yàn)橹本€，且∥，
所以，解得
（2）由（1）知的方程為，即，
所以與之間的距離為 ．
20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知點(diǎn)到直線的距離，求a的值．
（2）在直線求一點(diǎn)P，使它到原點(diǎn)的距離與到直線的距離相等．
【解析】（1）由題意，，，解得或.
（2）設(shè)點(diǎn)，由題意，.
點(diǎn)P到直線的距離為，
所以，解得.
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
21．（2023·高二單元測(cè)試）已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AC的垂直平分線為l.
??
(1)求直線l的方程;
(2)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|AP|+|BP|最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解析】（1）因?yàn)橹本€AC的斜率為，所以直線l的斜率為.
因?yàn)锳C的中點(diǎn)為，所以直線l的方程為，即.
（2）點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，又點(diǎn)P在線段AC垂直平分線上，
所以，當(dāng)點(diǎn)P位于直線BC與l交點(diǎn)處時(shí)，取最小值，則取最小值.
由得直線BC的方程為，即，
聯(lián)立方程，解得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
22．（2023·上海·高二階段練習(xí)）已知直線和點(diǎn)，若正方形的邊在直線上，點(diǎn)為正方形的中心，求直線和的一般式方程.
【解析】點(diǎn)到直線的距離為，
因?yàn)橹本€與直線平行，設(shè)方程為，
則或（舍去），故直線方程為；
直線與直線垂直，設(shè)其方程為，
則或，
故直線方程為或．


相關(guān)試卷

第14講 拋物線（七大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）：

這是一份第14講 拋物線（七大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版），文件包含第14講拋物線七大題型解析版docx、第14講拋物線七大題型原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共54頁， 歡迎下載使用。

第13講 雙曲線（十大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）：

這是一份第13講 雙曲線（十大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版），文件包含第13講雙曲線十大題型解析版docx、第13講雙曲線十大題型原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共75頁， 歡迎下載使用。

第12講 橢圓（十大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）：

這是一份第12講 橢圓（十大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版），文件包含第12講橢圓十大題型解析版docx、第12講橢圓十大題型原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共66頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第11講 圓與圓的位置關(guān)系（七大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）

第11講 圓與圓的位置關(guān)系（七大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）
第09講 圓的方程（七大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）

第09講 圓的方程（七大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）
第07講 兩條直線的交點(diǎn)（六大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）

第07講 兩條直線的交點(diǎn)（六大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）
第05講 五種直線方程（九大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）

第05講 五種直線方程（九大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部