蘇教版高二數(shù)學(xué)寒假講義第03講內(nèi)切球與外接球（八大題型）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

題型一：正方體、長方體外接球
題型二：正四面體外接球
題型三：對棱相等的三棱錐外接球
題型四：直棱柱外接球
題型五：直棱錐外接球
題型六：正棱錐外接球以及側(cè)棱相等錐體的外接球
題型七：垂面模型外接球
題型八：錐體內(nèi)切球
【知識點梳理】
知識點一：正方體、長方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
知識點二：正四面體外接球
如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為.
知識點三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題.
如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以.
知識點四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知識點五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑.
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②.
知識點六：正棱錐外接球
正棱錐外接球半徑： .
由此推廣：側(cè)棱相等的錐體外接球半徑：
知識點七：垂面模型外接球
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．

圖1 圖2
知識點八：錐體內(nèi)切球
方法：等體積法，即
【典例例題】
題型一：正方體、長方體外接球
【例1】（2023·天津·高一統(tǒng)考期中）已知棱長為2的正方體的頂點都在球面上，則該球的表面積為（）
A．πB．2πC．4πD．12π
【答案】D
【解析】設(shè)該球的半徑為，由題意可知，該球的直徑為棱長為2的正方體的體對角線，
則，所以，
則該球的表面積，
故選：D.
【對點訓(xùn)練1】（2023·河南洛陽·高一?？计谥校┤粢粋€長方體的長?寬?高分別為4，，2，且該長方體的每個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，長方體的體對角線的交點到各個頂點的距離相等，即球心即為體對角線交點，
半徑為體對角線的一半，即球的半徑，
則球的表面積.
故選：D
題型二：正四面體外接球
【例2】（2023·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谥校┮阎拿骟w的外接球表面積為，則正四面體的棱長為（）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【解析】正四面體的外接球表面積為，
，解得（負值舍去），
設(shè)四面體的棱長為，取的中點，連接，
設(shè)頂點在底面的射影為，則是底面的重心，連接，則外接球的球心在上，設(shè)為，連接，
則，，
則，
所以，
在直角中，，即，
即，得，得（舍或.
故選：D
【對點訓(xùn)練2】（2023·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知正四面體的外接球體積為，則正四面體的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】將正四面體補成正方體，
設(shè)正方體的棱長為，則正四面體的棱長為，
正四面體的外接球半徑為，
由題意可得，解得，
所以，正四面體的棱長為，
因此，正四面體的表面積為.
故選：C.
題型三：對棱相等的三棱錐外接球
【例3】（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知三棱錐，，，，則三棱錐外接球的體積是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】將三棱錐補成長方體，計算出該長方體的體對角線長，即為三棱錐的外接球直徑，利用球體的體積公式可求得結(jié)果.如下圖所示，將三棱錐補成長方體，
設(shè)，，，則三棱錐的外接球直徑為，
由勾股定理可得，
上述三個不等式全加得，解得，
因此，三棱錐的外接球的體積為.
故選：B.
【對點訓(xùn)練3】（2023·河北邢臺·高一?？计谀┰谌忮F中，，則該三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，設(shè)長方體的長寬、高分別為a，b，c，則有整理得，則該棱錐外接球的半徑，球．
故選：C．
題型四：直棱柱外接球
【例4】（2023·重慶·高一校聯(lián)考期中）設(shè)直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，且球的表面積為，，則此直三棱柱的高是（）
A．1B．2C．D．4
【答案】D
【解析】設(shè)外接圓得圓心為，半徑為，直三棱柱得高為，
直三棱柱外接球得球心為，半徑為，
則，且平面，
由正弦定理得，所以，
因為，所以，
所以，所以，
即直三棱柱得高為.
故選：D.
【對點訓(xùn)練4】（2023·安徽·高一安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)直三棱柱的所有頂點都在一個表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，因為，所以.
于是（是外接圓的半徑），.
又球心到平面的距離等于側(cè)棱長的一半，
所以球的半徑為.
所以球的表面積為，解得.
因此.
于是直三棱柱的表面積是
.
故選：D.
題型五：直棱錐外接球
【例5】（2023·河北滄州·高一校聯(lián)考期中）已知三棱錐，底面ABC，，，，則三棱錐外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，，，
由余弦定理可得：，
則，所以.
所以，則為直角三角形，三棱錐補形為長方體，如下圖，

所以，
此三棱錐的外接球直徑即為長方體的體對角線為，
故三棱錐外接球的體積為．
故選：A．
【對點訓(xùn)練5】（2023·湖南衡陽·高一湖南省祁東縣第二中學(xué)校考期中）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，三棱錐P-ABC的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】將三棱錐放在一個長方體中，如圖所示，
則是長方體外接球的直徑，
因為是直角三角形，且，
所以，
所以球的直徑，
所以半徑為，球的表面積為.

故選：C
題型六：正棱錐外接球以及側(cè)棱相等錐體的外接球
【例6】（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈九中校考期中）已知正三棱錐，各棱長均為，則其外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由是正三棱錐，底面是正三角形，邊長為，
則高線的投影在底面正三角形的重心上，則外接球的球心在高線上，且到各個頂點的距離相等，
如圖，取的中點，連接，過作平面，且垂足為，則，
由，
則在中，有，
所以，
則在中，有，
設(shè)外接球的半徑為，
則，即，解得，
故外接球的體積為．
故選：C．
【對點訓(xùn)練6】（2023·安徽池州·高一統(tǒng)考期中）已知正三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，其側(cè)棱長為，底面邊長為4，則球O的表面積是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
設(shè)為正三角形的中心，連接，
則平面，球心在上，
設(shè)球的半徑為，連接，
∵正三角形的邊長為4，∴，
又∵，
∴在中，，
在中，，，，
∴，解得，
∴球的表面積為．
故選：D．
【對點訓(xùn)練7】（2023·重慶巴南·高一重慶市實驗中學(xué)?？计谀┰谌忮F中，，則三棱錐外接球的表面積是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，
可得，所以，
又，且，平面，
所以平面，
故三棱錐的外接球在過底面外接圓圓心且垂直于底面的直線上，
由正弦定理，可得外接圓的半徑為，
所以三棱錐外接球的半徑為，
所以三棱錐外接球的表面積為，
即三棱錐外接球的表面積為.
故選：B.
【對點訓(xùn)練8】（2023·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知是正三棱錐，設(shè)是正棱錐的高，由外接球球心在上，如圖，設(shè)外接球半徑為，
又，則，
由得，解得，
所以表面積為．
故選：D．
題型七：垂面模型外接球
【例7】（2023·湖北恩施·高一校聯(lián)考期末）在三棱錐中，平面平面ABC，，，則該三棱錐外接球的表面積為（）
A．54πB．48πC．42πD．36π
【答案】B
【解析】
，所以的外接圓的圓心為斜邊的中點,
，
為等邊三角形，
連接，，平面平面ABC，平面平面ABC=BC，面ABC，
面，則球心一定在直線AN上.
為等邊三角形，可知O為的外心，則O為該三棱錐外接球的球心．
因為，所以，則該三棱錐外接球的半徑為．
故該三棱錐外接球的表面積為．
故選：B
【對點訓(xùn)練9】（2023·河北滄州·高一?？计谥校┰谌忮FP-ABC中，平面PAB⊥平面ABC.，，，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖，取AB的中點E，BC的中點D，連接PE，△PAB是等邊三角形，則.因為平面PAB⊥平面ABC，平面平面，平面PAB，所以PE⊥平面ABC，又平面ABC，所以.過D作OD⊥平面ABC，則.因為，所以三棱錐P-ABC的外接球的球心在DO上，設(shè)球心為O，連接OB，OP，設(shè)外接球半徑為R，由已知，.，，在直角梯形PEDO中，，，，所以三棱錐P-ABC外接球的表面積.
故選:C.
題型八：錐體內(nèi)切球
【例8】（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）已知正三棱錐中，，，，則正三棱錐內(nèi)切球的半徑為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為三棱錐為正三棱錐，所以，
設(shè)，
因為，所以，
因為，所以，
因為，，
所以，
所以，得，得，
所以，
設(shè)點為的重心，由，
所以,
設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為，設(shè)為正三棱錐內(nèi)切球的球心，
因為，
所以，
所以，
解得
故選：C

【對點訓(xùn)練10】（2023·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)面面積分別為，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑為（）
A．4B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，可得，
解得，，
由勾股定理可得，，
設(shè)中點為，連接，則，且，
所以，
即.
設(shè)該三棱錐內(nèi)切球的球心為，半徑為，
由，
即，
即，
解得.
故選：D.
【真題演練】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當時，，當時，，
所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當且僅當取到，
當時，得，則
當時，球心在正四棱錐高線上，此時，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點，
設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，
設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，
所以，，，
，則，所以，，
又因為，所以，，
所以，，，
因此，這兩個圓錐的體積之和為.
故選：B.
4．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，
即，
所以，這個球的表面積為.
故選：C.
5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，
得，為等邊三角形，
由正弦定理可得，
，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，
，
球的表面積.
故選：A
6．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】
設(shè)球的半徑為，則，解得：.
設(shè)外接圓半徑為，邊長為，
是面積為的等邊三角形，
，解得：，，
球心到平面的距離.
故選：C.
7．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知球的直徑為2，則該球的體積是______.
【答案】
【解析】球的體積為：,
故答案為：
8．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．
【答案】
【解析】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，
其中，且點M為BC邊上的中點，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，

由于，故，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：
，
解得：，其體積：.
故答案為：.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級中學(xué)?？计谥校┌岩粋€鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實心圓柱熔化后鑄成一個球，則這個鐵球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)實心圓柱的高為，
因為實心圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，解得，
則圓柱的體積為，
設(shè)球的半徑為，則，解得，
因此，該鐵球的表面積為.
故選：A.
2．（2023·陜西·高一校聯(lián)考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因為一段“把手給我”的短視頻而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其腳下的半球形工具.如果一個半球的半徑為3，那么這個半球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)半球的半徑為，則，所以這個半球的表面積，
故選：C.
3．（2023·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是腰長為的等腰三角形，則正四棱錐的外接球的體積為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示
設(shè)外接球的球心為O，半徑為R，底面中心為E，連接SE，BO，BE，
因為在正四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是腰長為的等腰三角形，
所以，
在中，，即，
解得，所以外接球的體積為，
故選：C
4．（2023·天津和平·高一耀華中學(xué)校考期中）已知球的內(nèi)接三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，長度分別為和，則此球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可得，球的內(nèi)接三棱錐即三棱錐的外接球即長寬高分別為和的長方體的外接球，
又長方體的體對角線長為外接球的直徑，
所以球的半徑，
球的體積為.
故選：D.
5．（2023·河南鄭州·高一?？计谥校┮阎獔A柱的高為2，側(cè)面積為，若該圓柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上，則該球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由圓柱側(cè)面積，解得，
因為圓柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上，
所以球心在圓柱高的中點處，設(shè)球半徑為，
則由，
所以,
故選：A
6．（2023·山東青島·高一青島二中?？计谥校┮阎蚺c一正方體的各條棱相切，同時該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（）
A．2：3B．3：2C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)正方體棱長為，
因為球與正方體的各條棱相切，所以球的直徑大小為正方體的面對角線長度，
即半徑；
正方體內(nèi)接于球，則球的直徑大小為正方體的體對角線長度，即半徑；
所以球與球的表面積之比為.
故選：A.
7．（2023·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因為一段“把手給我”的短視頻而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其腳下的半球形工具.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，這個內(nèi)接正四棱錐的高與半球的半徑相等且體積為，那么這個半球的表面積為（）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)半球的半徑為，連接交于點，連接，
則，則，
∵內(nèi)接正四棱錐的高與半球的半徑相等且體積為，
∴四棱錐的體積，所以，
所以這個半球的表面積.
故選：B.

8．（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）正四棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，在該四棱錐的內(nèi)部有一個小球，則小球表面積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當小球與正四棱錐各面相切時半徑最大，此時小球表面積的最大，
設(shè)小球的半徑為，

由底面邊長，側(cè)棱，可得正四棱錐的高，
所以，
又側(cè)面面積為，底面面積為，
，解得，
小球表面積的最大值為．
故選：D．
二、多選題
9．（2023·福建廈門·高一廈門一中?？计谥校┮阎獔A臺的上底半徑為1，下底半徑為3，球O與圓臺的兩個底面和側(cè)面都相切，則（）
A．圓臺的母線長為4B．圓臺的高為4
C．圓臺的表面積為D．球O的表面積為
【答案】ACD
【解析】設(shè)梯形ABCD為圓臺的軸截面，則內(nèi)切圓為圓臺內(nèi)切球的大圓，如圖，
設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，半徑分別為，
則共線，且，
連接，則分別平分，
故，，
故，即，解得，
母線長為，故A正確；
圓臺的高為，故B錯誤；
圓臺的表面積為，故C正確；
球O的表面積為，故D正確.
故選：ACD.
10．（2023·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）正四棱錐的底面邊長為，外接球的表面積為，則正四棱錐的高可能是（）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】依題意外接球的球心可能在錐內(nèi)，也可能在錐外，如果在錐內(nèi)如下圖：
其中是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心，
∵ 是正四棱錐，平面ABCD，，
設(shè)外接球的半徑為R，則，，
在中，，；
如果在錐外，如下圖：
；
故選：CD.
11．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中?？计谥校┮阎襟w的棱長為，則（）
A．正方體的外接球體積為B．正方體的內(nèi)切球表面積為
C．與異面的棱共有4條D．三棱錐與三棱錐體積相等
【答案】ACD
【解析】∵正方體外接球的半徑,內(nèi)切球的半徑
∴正方體的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為
A正確，B不正確；
與異面的棱有，共有4條，C正確；
∵，則三棱錐與三棱錐的高，底面積，故體積相等，D正確；
故選：ACD．
12．（2023·吉林長春·高一長春市第二中學(xué)校考期中）如圖，棱長為2的正四面體中，分別為棱的中點，O為線段的中點，球O的表面正好經(jīng)過點M，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．平面
B．球O的體積為
C．球O被平面截得的截面面積為
D．球O被正四面體表面截得的截面周長為
【答案】ABD
【解析】設(shè)分別為的中點，連接，
則,
故，則四邊形為平行四邊形，
故交于一點，且互相平分，即O點也為的中點，
又，故,
平面，故平面，
由于平面，則平面，
故，結(jié)合O點也為的中點，同理可證,
平面，故平面，A正確；
由球O的表面正好經(jīng)過點M，則球O的半徑為,
棱長為2的正四面體中，，M為的中點，
則，故,
則，所以球O的體積為，B正確；
由平面，平面，故平面平面，
平面平面，由于平面，
延長交平面于G點，則平面，垂足G落在上，
且G為正的中心，故，
所以，
故球O被平面截得的截面圓的半徑為，
則球O被平面截得的截面圓的面積為，C錯誤；
由A的分析可知，O也為棱中點連線的中點，
則球O與每條棱都交于棱的中點，結(jié)合C的分析可知，
球O被正四面體的每個面截得的截面都為圓，且圓的半徑都為，
故球O被正四面體表面截得的截面周長為，D正確，
故選：ABD
三、填空題
13．（2023·安徽合肥·高一統(tǒng)考期中）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為32，則這個球的表面積為__________.
【答案】
【解析】由題意知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為32，
故正四棱柱的底面積為8，則底面正方形邊長為，
又因為正四棱柱的體對角線長即為其外接球的直徑，
故外接球半徑為，
故這個球的表面積為，
故答案為：
14．（2023·貴州貴陽·高一貴陽市白云興農(nóng)中學(xué)校考期中）如圖，某幾何體的形狀類似膠囊，兩頭都是半球，中間是圓柱，其中圓柱的底面半徑與半球的半徑都為1，若該幾何體的表面積為，則其體積為________________.

【答案】
【解析】依題意，幾何體可視為半徑為1的球和底面圓半徑為1，高為的圓柱組合而成，
于是幾何體的表面積，解得，
所以該幾何體的體積.
故答案為：
15．（2023·安徽合肥·高一校聯(lián)考期中）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且三條側(cè)棱長分別為，則其外接球的表面積是______．
【答案】
【解析】如圖所示，可把三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補成一個長方體，
則三棱錐的外接球與該長方體的外接球是同一個球，設(shè)外接球的半徑為，
因為長方體的對角線長為，可得，即，
所以外接球的表面積為.
故答案為：
16．（2023·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）如圖，已知球O的面上四點A，B，C，P，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，，，則球O的體積等于____________．

【答案】
【解析】將三棱錐補為一個同一頂點出發(fā)的三條棱長分別為的長方體，
則三棱錐外接球的半徑，即等于該長方體外接球的半徑.
易知長方體外接球的半徑，
所以，球O的體積.
故答案為：.
17．（2023·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biē nà）．已知四面體為鱉臑，平面，且，若此四面體的體積為1，則其外接球的表面積為__________．
【答案】
【解析】由已知，因為平面，可令，
所以，所以，
所以，
由已知，鱉臑的外接球可還原在以為長寬高的長方體中，設(shè)其外接球半徑為，
所以其外接球的半徑，
所以其外接球的表面積.
故答案為：.
18．（2023·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級中學(xué)?？计谀┮阎睦忮F，⊥平面，，，，，且該四棱錐的所有頂點都在球的表面上，則球的表面積是_________.
【答案】/
【解析】如圖，連接，設(shè)四邊形外接圓，，
在中，由余弦定理可得
，
同理在中，，
，
結(jié)合，得，解得，
，，
所以，即，
設(shè)四邊形外接圓的半徑為，則，
又⊥平面，，設(shè)四棱錐外接球的半徑為，
則，
所以外接球的表面積為.
故答案為：
19．（2023·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）阿基米德是偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且內(nèi)切球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論．已知某圓柱的軸截面為正方形，其體積為，則該圓柱內(nèi)切球的表面積為______．
【答案】
【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則其母線長為，
因為圓柱的體積公式為，解得：，
因為圓柱的表面積公式，
所以，
由題知，內(nèi)切球的表面積也是圓柱表面積的，
所以所求圓柱內(nèi)切球的表面積為.
故答案為：
20．（2023·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）已知矩形ABCD的頂點都在球心為O的球面上，，，且四棱錐的體積為，則球O的表面積為_________.
【答案】
【解析】設(shè)球心到面ABCD的距離為，半徑為，由矩形ABCD的頂點都在球心為O的球面上可知球心在底面ABCD的投影為矩形的中心，
易得，，
故.
故答案為：

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