題型一：不含參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系
題型二：含參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系
題型三：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
題型四：求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)
題型五：求過圓上一點(diǎn)的切線方程
題型六：求過圓外一點(diǎn)的切線方程
題型七：求切線長(zhǎng)
題型八：已知切線求參數(shù)
題型九：求弦長(zhǎng)問題
題型十：已知弦長(zhǎng)求參數(shù)
題型十一：切點(diǎn)弦問題
題型十二：最值問題
題型十三：三角形面積問題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓的位置關(guān)系：
（1）直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)．
2、直線與圓的位置關(guān)系的判定：
（1）代數(shù)法：
判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線與圓C有公共點(diǎn)．
有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相交；
有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相切；
無實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相離．
（2）幾何法：
由圓C的圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系判斷：
當(dāng)時(shí)，直線與圓C相交；
當(dāng)時(shí)，直線與圓C相切；
當(dāng)時(shí)，直線與圓C相離．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長(zhǎng)，一般要用到切線長(zhǎng)、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得．
（2）當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長(zhǎng)的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定理．
（3）當(dāng)直線和圓相離時(shí)，常討論圓上的點(diǎn)到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來解決．
知識(shí)點(diǎn)二：圓的切線方程的求法
1、點(diǎn)在圓上，如圖．

法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率
的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
2、點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．
常見圓的切線方程：
（1）過圓上一點(diǎn)的切線方程是；
（2）過圓上一點(diǎn)的切線方程是
．
知識(shí)點(diǎn)三：求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的方法
1、應(yīng)用圓中直角三角形：半徑，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)具有的關(guān)系，這也是求弦長(zhǎng)最常用的方法．
2、利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)．
【典例例題】
題型一：不含參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系
【例1】（2023·新疆喀什·高二?？计谀┲本€與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相切B．相交但直線過圓心
C．相交但直線不過圓心D．相離
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┲本€與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無法判斷
題型二：含參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系
【例2】（2023·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不能確定
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)，則直線：與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相切C．相交或相切D．相交
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）直線l：與圓C：的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相切C．相離D．與a的值有關(guān)
題型三：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【例3】（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？计谥校﹫A上到直線距離為的點(diǎn)有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．無數(shù)個(gè)
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·高二單元測(cè)試）直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．或B．
C．D．或
題型四：求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)
【例4】（2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）給定四條曲線：①，②，③，④，其中與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)的曲線是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
題型五：求過圓上一點(diǎn)的切線方程
【例5】（2023·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校考階段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為__________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）圓在點(diǎn)處的切線方程為____________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·重慶九龍坡·高二重慶市渝高中學(xué)校?？计谀﹫A的過點(diǎn)的切線方程為___________.
題型六：求過圓外一點(diǎn)的切線方程
【例6】（2023·北京·高二北京一七一中?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)的圓的切線方程為 _________________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·高二單元測(cè)試）經(jīng)過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_______.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)做圓的切線l，則l的方程為________．
題型七：求切線長(zhǎng)
【例7】（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┯芍本€上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為______.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·上海楊浦·高二校考期中）由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·四川綿陽·高二?？计谥校┮阎狿是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為______________．
題型八：已知切線求參數(shù)
【例8】（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中學(xué)?？计谥校┤糁本€與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)?？计谥校┤鬉為射線上的動(dòng)點(diǎn)，B為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．若直線AB與圓相切，則的最小值為________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·高二單元測(cè)試）已知圓與直線相切，則___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·福建漳州·高二校聯(lián)考期中）已知過點(diǎn)的直線與圓C：相切，且與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為___________.
題型九：求弦長(zhǎng)問題
【例9】（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線：被圓截得的弦長(zhǎng)是______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·湖南永州·高二統(tǒng)考期末）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則__________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·上海浦東新·高二上海師大附中校考階段練習(xí)）已知過點(diǎn)的直線l被圓所截得的弦長(zhǎng)為8，則直線l的方程為______.
題型十：已知弦長(zhǎng)求參數(shù)
【例10】（2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥校┰O(shè)直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為，則_____
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·高二單元測(cè)試）過圓內(nèi)一點(diǎn)的最短的弦所在的直線方程是________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線截圓所得弦長(zhǎng)為2，則的最小值為______．
題型十一：切點(diǎn)弦問題
【例11】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為 、，則直線的方程為_______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·江蘇揚(yáng)州·高二?？奸_學(xué)考試）已知圓，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）過直線l：上任一點(diǎn)P向圓C：作兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為________________
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·高二單元測(cè)試）過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程是________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·高二?？紗卧獪y(cè)試）已知點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B．若圓心O到直線的距離的最大值為，則實(shí)數(shù)m=________．
題型十二：最值問題
【例12】（2023·山東聊城·高二?？计谀┮阎獔A經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線上，
(1)求圓的方程.
(2)點(diǎn)在圓上，求的最大值.
(3)直線當(dāng)為何值時(shí)，圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于3.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·浙江杭州·高二期末）已知圓C的方程為．
(1)直線l過點(diǎn)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程；
(2)點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，求的最大值和最小值．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)和且圓心在直線上．
(1)求圓C的方程；
(2)若點(diǎn)P為圓C上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線距離的最大值和最小值．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求：
(1)的最大值；
(2)的最值．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獔A，點(diǎn).
(1)求過點(diǎn)的圓的切線方程；
(2)求的最小值.
題型十三：三角形面積問題
【例13】（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn)，且交直線于，兩點(diǎn).
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求的面積.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·湖南岳陽·高二校聯(lián)考期中）已知直線交圓于兩點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí)，求直線的斜率；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的斜率.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期中）已知圓C的半徑為3，圓心C在射線上，直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為
(1)求圓C方程;
(2)過點(diǎn)的直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，且的面積是為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知圓，直線過點(diǎn).
(1)若直線與圓相切，求直線的方程；
(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的斜率.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34】（2023·安徽亳州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，直線l過原點(diǎn)．
(1)若直線l與圓M相切，求直線l的方程；
(2)若直線l與圓M交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程．
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直線被圓截的的弦長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．
2．（2023·河北石家莊·高二石家莊一中?？茧A段練習(xí)）如圖，從外一點(diǎn)引圓的切線和割線，已知，，的半徑為4，則圓心到的距離為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過三點(diǎn)的圓交于軸于兩點(diǎn)，則＝（ ）
A．B．8C．D．10
4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與圓相交，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（ ）.
A．B．C．D．
6．（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)校考期中）圓上到直線距離為的點(diǎn)有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．無數(shù)個(gè)
7．（2023·高二單元測(cè)試）直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相切C．相交或相切D．不確定
8．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．曲線的方程為B．直線與曲線的位置關(guān)系無法確定
C．若直線與曲線相交，其弦長(zhǎng)為4，則D．的最大值為3
10．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓的方程為，則關(guān)于圓的說法正確的是（ ）
A．圓心的坐標(biāo)為
B．點(diǎn)在圓內(nèi)
C．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為
D．圓在點(diǎn)處的切線方程為
11．（2023·山東日照·高二校考階段練習(xí)）實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值可能為（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·云南臨滄·高二云南省鳳慶縣第一中學(xué)校考期中）已知圓，直線為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則下列各選項(xiàng)正確的是（ ）
A．四邊形面積的最小值為4
B．四邊形面積的最大值為8
C．當(dāng)最大時(shí)，
D．當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為
三、填空題
13．（2023·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的斜率為______.
14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓關(guān)于直線成軸對(duì)稱，則的取值范圍是____．
15．（2023·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中?？计谀┮阎本€與圓，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為__________.
16．（2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）以原點(diǎn)O為圓心作單位圓O，直線l與直線平行，且過點(diǎn)，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線與圓O相切于點(diǎn)B，則面積的最小值為____________．
四、解答題
17．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上．
(1)求圓的方程；
(2)求圓在軸截得的弦長(zhǎng)．
18．（2023·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓過三個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的切線，求：
(1)圓的一般方程；
(2)圓過點(diǎn)的切線方程.
19．（2023·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)在圓上．
(1)求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)；
(2)過點(diǎn)，斜率為的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．
20．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，.
(1)求外接圓的方程；
(2)若直線l：與的外接圓相交于M，N兩點(diǎn)，求.
21．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知直線：與圓O：相交于不重合的A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且A，B，O三點(diǎn)構(gòu)成三角形．

(1)求的取值范圍；
(2)的面積為，求的最大值，并求取得最大值時(shí)的值．
22．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為，．
(1)當(dāng)時(shí)，過原點(diǎn)O作直線l與圓C相切，求直線l的方程；
(2)對(duì)于，若圓C上存在點(diǎn)M，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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