?第03講 內(nèi)切球與外接球
【題型歸納目錄】
題型一：正方體、長方體外接球
題型二：正四面體外接球
題型三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球
題型四：直棱柱外接球
題型五：直棱錐外接球
題型六：正棱錐外接球以及側(cè)棱相等錐體的外接球
題型七：垂面模型外接球
題型八：錐體內(nèi)切球
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：正方體、長方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長的一半．
3、補(bǔ)成長方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖4所示

圖1 圖2 圖3 圖4
知識(shí)點(diǎn)二：正四面體外接球
如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為.

知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題.
如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以.

知識(shí)點(diǎn)四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知識(shí)點(diǎn)五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑.

解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②.
知識(shí)點(diǎn)六：正棱錐外接球
正棱錐外接球半徑： .

由此推廣：側(cè)棱相等的錐體外接球半徑：
知識(shí)點(diǎn)七：垂面模型外接球
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．

圖1 圖2
知識(shí)點(diǎn)八：錐體內(nèi)切球
方法：等體積法，即
【典例例題】
題型一：正方體、長方體外接球
【例1】（2023·天津·高一統(tǒng)考期中）已知棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則該球的表面積為（????）
A．π B．2π C．4π D．12π
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·河南洛陽·高一?？计谥校┤粢粋€(gè)長方體的長?寬?高分別為4，，2，且該長方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（????）
A． B． C． D．
題型二：正四面體外接球
【例2】（2023·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谥校┮阎拿骟w的外接球表面積為，則正四面體的棱長為（????）
A．1 B． C． D．2
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知正四面體的外接球體積為，則正四面體的表面積為（????）
A． B． C． D．
題型三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球
【例3】（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知三棱錐，，，，則三棱錐外接球的體積是（????）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·河北邢臺(tái)·高一校考期末）在三棱錐中，，則該三棱錐外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
題型四：直棱柱外接球
【例4】（2023·重慶·高一校聯(lián)考期中）設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的表面積為，，則此直三棱柱的高是（????）
A．1 B．2 C． D．4
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·安徽·高一安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（????）
A． B． C． D．
題型五：直棱錐外接球
【例5】（2023·河北滄州·高一校聯(lián)考期中）已知三棱錐，底面ABC，，，，則三棱錐外接球的體積為（????）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·湖南衡陽·高一湖南省祁東縣第二中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（????）
A． B． C． D．
題型六：正棱錐外接球以及側(cè)棱相等錐體的外接球
【例6】（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？计谥校┮阎忮F，各棱長均為，則其外接球的體積為（????）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·安徽池州·高一統(tǒng)考期中）已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，其側(cè)棱長為，底面邊長為4，則球O的表面積是（????）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·重慶巴南·高一重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是（????）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（????）
A． B． C． D．
題型七：垂面模型外接球
【例7】（2023·湖北恩施·高一校聯(lián)考期末）在三棱錐中，平面平面ABC，，，則該三棱錐外接球的表面積為（????）
A．54π B．48π C．42π D．36π
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·河北滄州·高一?？计谥校┰谌忮FP-ABC中，平面PAB⊥平面ABC.，，，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（????）

A． B． C． D．
題型八：錐體內(nèi)切球
【例8】（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）已知正三棱錐中，，，，則正三棱錐內(nèi)切球的半徑為（????）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)面面積分別為，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑為（????）
A．4 B． C． D．
【真題演練】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（????）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（????）
A． B． C． D．
4．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（????）
A． B． C． D．
5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（????）
A． B． C． D．
6．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（????）
A． B． C．1 D．
7．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知球的直徑為2，則該球的體積是______.
8．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．

【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)校考期中）把一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)球，則這個(gè)鐵球的表面積為（????）
A． B． C． D．
2．（2023·陜西·高一校聯(lián)考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因?yàn)橐欢巍鞍咽纸o我”的短視頻而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其腳下的半球形工具.如果一個(gè)半球的半徑為3，那么這個(gè)半球的表面積為（????）

A． B． C． D．
3．（2023·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是腰長為的等腰三角形，則正四棱錐的外接球的體積為（????）
A． B．
C． D．
4．（2023·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校┮阎虻膬?nèi)接三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，長度分別為和，則此球的體積為（????）
A． B． C． D．
5．（2023·河南鄭州·高一校考期中）已知圓柱的高為2，側(cè)面積為，若該圓柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上，則該球的體積為（????）
A． B． C． D．
6．（2023·山東青島·高一青島二中校考期中）已知球與一正方體的各條棱相切，同時(shí)該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（????）
A．2：3 B．3：2 C． D．
7．（2023·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因?yàn)橐欢巍鞍咽纸o我”的短視頻而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其腳下的半球形工具.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，這個(gè)內(nèi)接正四棱錐的高與半球的半徑相等且體積為，那么這個(gè)半球的表面積為（????）
??
A． B． C． D．
8．（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）正四棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，在該四棱錐的內(nèi)部有一個(gè)小球，則小球表面積的最大值為（????）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023·福建廈門·高一廈門一中校考期中）已知圓臺(tái)的上底半徑為1，下底半徑為3，球O與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面都相切，則（????）
A．圓臺(tái)的母線長為4 B．圓臺(tái)的高為4
C．圓臺(tái)的表面積為 D．球O的表面積為
10．（2023·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）正四棱錐 的底面邊長為 ， 外接球的表面積為 ， 則正四棱錐 的高可能是 （????）
A． B． C． D．
11．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中校考期中）已知正方體的棱長為，則（????）
A．正方體的外接球體積為 B．正方體的內(nèi)切球表面積為
C．與異面的棱共有4條 D．三棱錐與三棱錐體積相等
12．（2023·吉林長春·高一長春市第二中學(xué)校考期中）如圖，棱長為2的正四面體中，分別為棱的中點(diǎn)，O為線段的中點(diǎn)，球O的表面正好經(jīng)過點(diǎn)M，則下列結(jié)論中正確的是（????）

A．平面
B．球O的體積為
C．球O被平面截得的截面面積為
D．球O被正四面體表面截得的截面周長為
三、填空題
13．（2023·安徽合肥·高一統(tǒng)考期中）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為32，則這個(gè)球的表面積為__________.
14．（2023·貴州貴陽·高一貴陽市白云興農(nóng)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某幾何體的形狀類似膠囊，兩頭都是半球，中間是圓柱，其中圓柱的底面半徑與半球的半徑都為1，若該幾何體的表面積為，則其體積為________________.
??
15．（2023·安徽合肥·高一校聯(lián)考期中）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且三條側(cè)棱長分別為，則其外接球的表面積是______．
16．（2023·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）如圖，已知球O的面上四點(diǎn)A，B，C，P，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，，，則球O的體積等于____________．
??
17．（2023·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biē nào）．已知四面體為鱉臑，平面，且，若此四面體的體積為1，則其外接球的表面積為__________．
18．（2023·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎睦忮F，⊥平面，，，，，且該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積是_________.
19．（2023·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）阿基米德是偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且內(nèi)切球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論．已知某圓柱的軸截面為正方形，其體積為，則該圓柱內(nèi)切球的表面積為______．
20．（2023·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球心為O的球面上，，，且四棱錐的體積為，則球O的表面積為_________.


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